А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть последовательность (х„) комплексных чисел такая, что последовательность (ю„), где ю„= з„— (у „н ~д! < 1, сходится. Доказать, что последовательность (х„) сходится, и найти ее предел. Н Поскольку последовательность (ю„) сходится, то она ограничена (см, п.2.3), т.е. ЗС > О: тгп Е Ут' )ю ( < С. Пусть М = шах((хз), С). Докажем, что тгп Е О( М )х ((~ (1) 1 ! я Оценим хо Из условия примера получаем х~ = ю1+ сам /х1' < /ю1/+)юу)/ха! < С -~- )д/)ха! < М(1+/у)).
Пусть ус б уч', й > 1, и справедливо неравенство !хь ~ < М(! + !д!+ ... + ~д!"). В силу высказанного предположения имеем ! ь,1! < !юь!+ !р! !хь! < М+ !р!М(1+ !р!+ " + !р! ) = МП + 1р!+ ". + 1р! ' ) Методом математической инаукнии доказано, что )гп б 1Ч выполняется оценка ) ! „!(М~ ~~!" =и <, ь=о (2) (3) Неравенство (1) установлено. Из соотношений 2 2 з + Ч» ~ = ю„+ ею„г+ д х„з = ю +гую„~ + Е ю„, + р х„, = было показано (см.
теорему 1, п. 2.3), что сходимость последовательности комплексных чисел равносильна сходимости последовательностей ее действительной и мнимой частей. Поскольку 2 -1 Кез„= 1 — в + ... + (-1) Т "—,, если и четное, и Ке х„= 1 — —, + ... + ( — 1) з —,„„„если и 1 -ы 3 нечетное, 1гпз„= х- —, +... +(-1) з — „„если и четное, 1гпх„= я — —, +... + (-1) з если и нечетное, то !"л.
2. Комплексные числа н функции комплексного переменном) бб имеем о'(и Е И, р < и — 1) Р . = 'Е ш-- Ч' -Ч"" --,— . (4) й=о Принимая во внимание, что последовательность (ш„) сходится, и обозначая го = 1пп ш„, получаем: — — = ) . Ч"+Ч"" з,.—,— — ~~ „Ч' = ~>,( .— — )Ч'-(Ч"" .— — — ~~, Ч (б) Ч й=о й=о й=о й=рй! Поскольку !Ч( < 1 и !а ( < , ! !, то р-!- ! 1 — ~Ч( при р — ! оо, при возрастании р. Следовательно, ш 2, Чй =. о(1). Каким бы ни было фиксированное р Е (Ч, й=ро! !уг > О 3п, Е И !'оп > п, справедлива оценка г Р Р (ш„й — ш)! <~ ~ (ш„й — ш~ !Ч! < е~~! !Ч~ < г ~~! (Ч~ = г = е!, 1 — ~Ч( й=о й=о й=о й=о г т. е, 2 (ш„й.
— го)Ч = о(1), так как !огп и„= ш. Таким образом, ш и г„— = о(!), 1!гп з„= - п(' 54. Пусть а„= а, + (и — 1)!(, где а, > О, г( > О, и пусть „= П 1+ ! — ~, п Е (й(. ай ~ Доказать: 1) (г„й! — з„! = й!! —; '(! а,' к где г„= г„е'г", г„> О, О < Оо„й! — у!„< —. 2 М 1) Поскольку (" —.',) =П". ай а, й=! (-~'= -==П то 1з ! — г (= !г„~ 1+! (— 2) Из условнб задачи следует, что П '+' —.„=Е" й=! откуда непосредственно следует равенство (о„й! — )о„= ага!а ~/ —. Ч -.
т.е. Ч""'г„„, = о(1). Так как (ш~ Е ширял 2 ,'Чй сходится, тосуммаегоостатка гр —— 2,' Чй О й=о о=ой! й 3. Непрерывные и гладкие кривые, Односвязиьге и многославные области 57 Поскольку агсгй* х прн е- О и ]пп — „=О, то о„, — Ээ„,/ — прн п- со. Поэтому э Иэ г„м — г„1 э/а„ээ — /а„.„э/о,,э — э/о„.„)] 1 агс]й . Ч .Ч -,.и 1+ — — 1 = ]4- — ч-о — — 1 = — — +0(1), ээ„.„— ]э„2 Ч а, 55. Найти !пп (! -Ь э ) м Пусть э„= (1 ь э'-]"--;), тогда и (э„( = 14-, аэйэ„= лаге!и (пэ — !)э ) ' пз Поскшгьку э гэп22 п л = 1, агс]й и п 1]пэ и агсгй !пп — = ], и — 1 ° — и — 1 2 э Ьи 1пп ]з„( = е"- 1 1 1 ~„=! — — =1 — —.
1+ а" а" 1+ — '„ находим: 1!и ь = 1. Пусть теперь !а(= 1 и Чп Е ]э] а" и' — 1. Тогда а = е'е, ]э = агйа, а" = ее" е и соэп]э и' — 1. Для укаэанных значений а имеем Эч ег"' еэ"е(1+е э"") ег""+1 2(сшз эн+]э!а-знсгн-"зн) ! пр + ]!в 1+еэ" (1+ег" )(1+е-ы ) 2(1+с пр) 4соаэ ек 2 2 Последовательность (галан) сходитсЯ лишь пРи ]э = О, т.е. а = 1. ПРи этом полУчаем 1!ш О = -. Слеловательно, последовательность (О„) сходится, если )а( < 1, ]а) > 1 и а = 1. а то 1пп э„= соэ] 4- ээ]о! = е'. М 56.
Выяснить, при каких значениях комплексно~о параметра а сходятся последовательно- а" стн (э„) и (('„), где з„= а ]4-а" и Если ]а( < 1, то иэ равенства (э„( = (а(" следует, что !пп ]з„( = О и Ит " = О. Если Ж ]а~ > 1, то ]э„| +со и з„оо, т.е. последовательность расходящаяся. Пусть ]а! = 1, тогда а = е*", р = ага а и э„= а" = е*"". Поскольку ]э„( = 1, то 1пп (э„) = 1. Последовательность (пр) при р и' О предела не имеет, а при ]э = О йгп пр = О.
В последнем случае а = 1, э„= 1, 1]гп з„= 1. Таким образом, последовательность (э„) сходится лишь для ]а( < 1 и а = 1. Для последовательности ((„) рассмотрим те не сяучаи значений параметра а, которые изучены выше. Если (а| < ], то 1!гп а" = О, 1]ш (1+ а") = 1, 1пп —,„= О, т.е. ]пп ('„= О. Пусть (а( > 1. Тогда 1пп а" = оо и 1!ш — '„= О.
Записывая общий член последовательности ((„) в виде Гл. 2. Комплексные числа и функцив комплексного переменного 57. Доказать сходимость последовательности (Ь„), где и+ 1-Ь па+ (и — 1)з~+ ... + з" 1+и если !4 ( 1 и з Ф 1. Найти ее предел. м Рассмотрим последовательность (г) ), где и„= з(„!гп б г(, и образуем разность и„— („= — 1. Тогда („= -„-'--р-,-'--; Ь вЂ”, ,- з +2 Поскольку /з/ ( 1 и з ~ 1, то последовательность ('...*) ограничена и 1!гп,* ...„', = О. Поэтому последовательность ((„) сходится и !пп („=— 1 — з 58.
Доказать, что все предельные точки последовательности (а„), где 1'+ 2п+ ... -Ь и" а„= 1Е $'., п принадлежат окружности 7 = (з б С: )з) = — ' — ) . 1гыи м Из очевидного неравенства следует, по все предельные точки последовательности (е" '"") принадлежат окружности радиуса 1 с центром в начале координат, а 1 ь=~ 1+В о Поскольку ),~,, ! = -; —;г, то все предельные точки последовательности (а„) принадлежат окружности з. Эдесь воспользовались тем, что функции комплексного переменного можно интегрировать по известным правилам интегрирования функций действительного переменного: если у(*) = Л(э) + (гз(э), У~ б гг(а, Ь), уз б К(о, Ь), то Г Е В(а, Ь! и наоборот, т. е. г" б )2(а, Ь) «з Д б )2(а, Ь) Л )з б )2(а, Ь). Если à — любая первообразная функции у, то ич ~ и Функция э ~-~ — ',, является первообразной функции э ~-~ э' .
° 59. Пусть А С С, В С С, где А = (з Е С: з = д + (я; р б Е, д б Х, пз б г(, и б Ы), В = (з Е С: !з' — 1~ < 1) . Найти предельные точки этих множеств, замыкания и границы, Установить также, будут ли эти множества открытыми, замкнутыми и областями, м Точки множества А на плоскости Гс' имеют каждая обе рациональные координаты. Из анализа известно, что множество () всюду плотно в К. Поэтому в каждой окрестности Оа(з) точки з б С имеется бесконечное множество точек из А. Поэтому А' = С, где А' — множество предельных точек А. Следовательно, А = С.
Отсюда следует, что множество А незамкнуто. Поскольку множество всех иррациональных чисел также всюду плотное в К, то ни одна точка множества А не является внугренней. Поэтому А не является открытым множеспюм, а значит не яюгяегся областью. Установлено, что !уз Е С в каждой ее б-окрестности Оз(з) есть точки множеств А и С!А, т.е. дА =С. бЗ. Непрерывные я гладкие кривые. Одяосвязиые я многосвязные области 59 Полагая х = ке з, у = (т е, множество В заладим в виде В = ((х, у) Е 32 : (х + у ) < (х — у ) ).
Перейдя к полярным координатам, получим: В = ((р, уг) Е Гс~: р' < 2соз 2)г). Граница этого множества дВ = ((р, р) Е !к'; р = 2соз2уг) — лемниската Бернулли. Поэтому множество В есть внутренность этой лемнискаты. Пусть (ро, )го) Е В, тогда ро < 2соз2)го, ро — 2соз 2уго < О. г г Поскольку функция зг г р — 2соз2зг непрерывная, то по свойству устойчивости строгих неравенств для непрерывных фуггкций существует окрестность Ог(ро, (оо) С В, в которой строгое неравенство сохраняется. Поэтому  — открытое множество. Пусть В = В, гг В,, где В,— множество всех точек из В, принадлежащих левой полуплоскости, В, — множество всех точек из В, принадлежащих правой полуплоскости плоскости 22~.
Точка (О, 0) не принадлежит множеству В. Поэтому любую пару точек зг и зг, где з, б Вг, зг б Вг, нельзя соединить ломаной, все точки которой принадлежат множеству В. Поэтому В не является областью. м бО. На примерах множеств Е, = (з Е С; 0 < !е( < -,' ) и Ег —— С убедиться в существенности условий теоремы Бореля — Лебега (см. теорему 3, п. 2.4). м Множество Е, не замкнуто, поскольку ему не принаддежит его предельная точка г = О. Полагаем Уп Е )4 0„= (з 6 С: —,-„-';т < гз( < —,'„). Семейство (б„)„ен открытых множеств б„ покрывает множество Е,.
Однако, никакое конечное семейство (Ог)гол (А — конечное множество) не покрывает множество Е,, поскольку их объединение ( С 0 не содержит множества гол Е', ' = (з Е С: ~г! < г,— „',т), где гп 6 СС вЂ” максимальный элемент множества А. Следовательно, условие замкнутости в теореме Бореля — Лебега играет существенную роль.
Ег = С вЂ” замкнутое, но не ограниченное множество. Открытые множества семейства (6 ) ен, где О„= (з б С: (4 < и), покрывают множество Ег. Вместе с тем, никакое конечное семейство (б„)еел гге образует покрытия комплексной плоскости С. Таким образом, условие ограниченности множества в условиях теоремы Бореля — Лебега является существенным. М 61. Определить кривые, заданные следующими уравнениями !)з=1 — гС, 0<!<2; 2) з = С + гС, -со < С < +со; Зл 3) г = С -'; Ы, — оо < С < чсо; 4) з = а(соз С+ г'ып С), — < С < —, а > 0; 2 2 ' 5)а=С+-, -со<С<0; 6)с=С+о~/1-1, — 1<!<1; 7) з = — С + С~/1 — Сг, — 1 < С < 0; 8) г = а(с + г — ге ' ), -оо < С < +оэ, а > 0; 9) з = га + аС вЂ” гье ™, -гю < С < +со, а > О, Ь > О.
м 1) Пусть г = х + гу. Тогда х = 1, у = -с, -2 < у < О. Кривая, заданная уравнением а = 1 — гС, 0 < С < 2, есть отрезок у = ((х, у) Е !к':х = 1, -2 < и з< О). 2) Если з = х 4-гу = С + Вг, то х = С, у = С', т.е. у = х, -оо < х < 4-оо. Уравнение определяет параболу с вершиной в начале координат и осью симметрии — лучом 7, = (г Е С: Бег = О,!ще > 0).
3) По аналогии с предыдущим х = Сг, у = Сг = хг, 0 < х < +со. При изменении параметра С от -оо до 0 подвижная точка (х(С), у(С)) пробегает всю правую ветвь параболы сверху вниз, а при изменении параметра С от 0 до +ос она пробегает ту же самую ветвь снизу вверх. Уравнение определяет две противоположно ориентированные непрерывные кривые с одним и тем же множеством точек 7 = (а Е С: 0 < Ке з < +ос, 1т е = х') . 4) Уравнение определяет левую полуокружностгь заданную параметрически: * = асозг, у=аз(пС, -"<С<'— . 5) Пусть е = х+ гу. Тогда х = С, у = -, = —,, -со < х < О. Уравнение определяет гиперболу г г (одну ее ветвь, лежащую в третьем квадранте плоскости хОу). 6) Из условий примера следует, что у = г/Т вЂ” х~, )х) < 1. Уравнение определяет верхнюю полуокружность Радиуса ! с центром а точке е = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
