А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 20
Текст из файла (страница 20)
бО Гл. 2. Комплексные числа и !Ьункции комплексяого переменного 7) Из условий примера следует, что у = Л вЂ” хз, 0 < х < 1. Уравнение опредеяяет четвертую часть окру;кности радиуса 1 с центром в точке л = О. Все точки кривой принадлежат первому ква- М 2а дразпу плоскости хОу. 8) Уравнение определяет плоскую трансцендентную кривую — цихлоиду, О х являющуюся траекторией точки окруж- ! нос!и, катящейся по прямой линии без вас. 24 скольжения (рис.
24). Ее параметрцческие уравнения имеют вид х = а(1 — яп 1), у = а(1 — со!1), 1 Е К. Исключив параметр Г, получим уравнение циклоиды в декартовых прямоугольных координатах о — у х = а агссоз — зг 2ау — у'. а Циклоида — периодическая кривая, ее период (базис) 00, = 2яо. Точки О, 0„= (2йгго, 0), й б Х, — точки возврата. Точки А, Ас — — ((2Ь х 1)ло, 2а) — вершины. М 9) Из уравнения находим: а х=а 1 — — яп1, у=а 1 — — соз( О х Если Ь > а (Ь < а), то кривая описывается точкой, лежащей вне (внутри) окружности, которая катится по прямой.
В первом случае ее называют удлиненной циклоидой (рис. 25), а во втором — укороченной ццклоидой (рис. 2б). Иногда их называют глрохоцдой. Параметрические уравнения трохоиды записыва!отея в виде х = а! — дяпг, у = о — д сов К где д — расстояние точки М от центра катящейся окружности. и вас. 24 л — л! )сл — л! 1 62. Какая кривая определяется уравнением = 1 ~ ? — ~-( м Очевидно, что 1т -,--,з- = О, - —:";~- = а, а Е В.
Поэтому з = аз + а(л! — л!). Уравнение *!- ! ' н-*! определяет прямую, проходящую через точки л, и л!. и 63. Какие кривые определяются уравнениями 1) а=!а+ай а)0, -оо <!<+ос; 2) л = -вЫсозг — с яп 1), Ь > О, -со < 1 < +со? м 1) Рассматривая вектор а с началом в точке а = О, замечаем, что его конец описывает прямую, параллельную действительной оси (рис. 27). 2) Конец вектара л = Ысоз г4! з!и 1) с началом в точке а = 0 описывает окружность радиуса Ь в положительном направлении.
Вектор у = Ысоа(-! яп1) симметричен вектору л и, следова ьн 03. Непрермвные и гладкие кривые. Одиосвязиые и многосвязные области б1 точка г, = -гУ вЂ” результат поворота вектора У на угол — —,, пробегает указанную окружность в направлении движения часовой стрелки. М 64. Для отображения м = з~ требуется: 1) найти образы линий а) х = с, б) у = с, в) * = у, г) !4 = )2, д) агу з = а и выяснить, какие из них преобразуются взаимно однозначно; 2) найти на х-плоскости прообразы линий и = с, в = с (иг = и + !в).
М Пусть з = х + гу, тогда г' = х' — у + г2ху. Таким образом, и = хз — уз, в = 2ху. а) и = С'-у', в = 2Су и у = зо ~ и = С' — -,$~, если С и' О. Это уравнение параболы. Если С = О, то и = -у', в = О. Получили множество точек полуоси у = ((и, в) Е С: и ( О, в = 0) . б) и = хз — С', в = 2Сх ~ х = зо ~ и = —," г — С, есяи С и О.
Линия у = С (С зч О) отображается на параболу в гшоскости вг. Если С = О, то и = х, в = О. Мнолсество у = г ((и, в) Е С: и > О, в = 0) является пололсительной полуосью. В случаях а) и б) отображения взаимно однозначны, если С ~ О. в) у = х ~ и = О, в = 2хг.
Множество т = ((и, в) Е С: и = О, в > 0) — положительная полуось. Отобрюкение не взаимно однозначно, так как лучи, находяшиеся в первом и третьем квадрантах, переходят в одну и ту же полуось. г) Если ф = )2, то х = 2(е*в, Зр Е Агйз, г' = Н'енв, ~св) = тс'. Окружность радиуса )2 с центром в точке з = 0 отобрахсается на окружность радиуса тт с центром в точке м = О.
Отображение не является взаимно однозначным. д) Образом луча агйз = а является луч агу вг = 2а. Отображение взаимно однозначное. 2) Пусть и = С, тогда получим при С ~ 0 уравнение гиперболы х — у = С. При С = О имеем пару прямьа у = хх. Если в = С, то 2ху = С. При С !а 0 получаем уравнение гиперболы у= —,,анри С=Π— парупрямых в=О и у=О. м с з з 65. Найти !)ш г'(з), если: а) У(з) = —; б) У(з) = —.
=-о у М а) Если з„= х„+ гу„, то у(з„) = — *" = з„. -*,и и так как ! —;" ~ = 1, то ~~(з„)~ = ~з„~ — ~ 0 2 при з„О. Поэтому 1!ш — ' = О. о б) Пусть з„= х„— г 0 при и оо. Тогда )'(з„) = 1, У(з„) -г 1 при и -г со. Если = гу„, у — 0 при и — со, то Г(з„') = ысв — = — 1, 1пп у(х„') = -1. Множество ЕГ(0) частичных пределов функции / в точке з = 0 содержит больше одного элемента, поэтому У не имеет предела в этой точке. М Кез з Кеаз г Кез 66.
ФУнкции Г,(з) = —, Уз(з) = —, /з(з) = —,, 24(х) = — опРеделены на 14' !4' * ~4 множестве Я = Ог(0)с(0), где Оа(0) = (х б С: !4 < б; 6 > 0). Можно ли продолжить нх на множество 00а(О) так, чтобы эти продолжения были непрерывными в точке х = 02 м Пусть г„= ( ~, 0), х„= (О, с ). Тогда последовательности (х„) и (х„') при достаточно больших гс Е р! принадлежат множеству Оз(0) и 1пп г„= !пп з„' = О. Из равенств ус(з„) = 1 и ус(з„') = О, тз(з„) = 1 и уг(х„') = г, уз(з„) = 1 и уз(х„') = -1 следует, что функции тз (у = 1, 2, 3) не имеют пределов в точке з = 0 и поэтому не могут быть продолжены на множество Ое(0) так, чтобы полученные функции были непрерывными при з = О. Рассмотрим функцию 24.
Пусть (З„) = (Х„Ч- ГУ„) — ПРОИЭВОЛЬНал ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ ТОЧЕК Миежсетаа Оз(0), Л„- 0 Д 'ВП Е Р( з„~ О. Тогда *„- 0 н у„- 0 при п — оо. Поскольку )гз(з„)) = !х„) — 0 при и со, то 1вп ~,(а„) = О. Следовательно, функция Оз(0) — С, где ус(а), если х Е Оа(0)!(О), 0 при з=О, непрерывна в точке а = О, м 62 Гл. 2. Комплексные числа в фуикции комплексного переменного 1 1 67. Будут ли функции ~г(х) = —, Уг(а) =,, Вд = Вй = (х б С: )4 < 1) непрерывны, а также равномерно непрерывны? м Пусть ае Е РА — любая ~очка, Тогда 1-хе ~ О и по теореме о непрерывности частного двух непрерывных функций Д непрерывна на множестве РА. Аналогично, функция Гг непрерывна )гз Е Рй. Таким образом, обе функции непрерывны в области определения.
Исследуем их на равномерную непрерывность. Пусть а„' гч 1 — -', ач = 1 — г . Тогда р(е„', га) = !е" — а„'~ = — -~ О при и со. и Вместе с тем г я р(а„, з„) и Р(Уг(з.), Л (з )) = „ = — Ьоо при и оо. !1 — з' !~! — г„"~ 2 Следовательно, функция Д не является равномерно непрерывной на множестве Рд . Пусть г„= г (1 — -'), с„= г (! — -„) . Тогда я я яг Р(а е) р(г„, г„) = — О прн гг со, р(рг( ), Уг(а )) =, = — -';оо при и со. и )! ! аз!(! ! ляг! ФУнкциЯ Уг также не ЯшшетсЯ РавномеРно непРеРывной на множестве Рй ° .
68. Функция у: С -~ С, Рг — — (а Е С: 1х! < 1) равномерно непрерывная в области определения. Доказатгч что для любой точки ( на окружности т = (х Е С: ~з~ = 1) и любой последовательности (з„) точек з„б РР сходящейся к (, существуе~ предел 1пп у(з„). Доказать также, что этот предел не зависит от выбора последовательности (з„) и что функция, доопрелеленная на границе круга при помощи предельного перехода, будет непрерывна во всем замкнутом кРуге К = (а Е С: ~з! < 1) . м Из определения равномерно непрерывной функции следует, что )Гс > О Зб > О: Ч(хг Е ВР хг Е Р!) (Р( и аг) < б) ~ Р(1( д, Т(ег)) < е. (1) г э х ггл г г „г Е ггч„ггг !гагр а — у — г2ау г г аг яг уз +;2ау (аг.!. уг)г Пусть Ь Е ?, з„( Л гуи Е 1Ч а„б ВС Сходящаяся последовательность (я„) является фундаментальной, поэтому лля указанного в условиях (1) б > О существует такое иа Е М, что ч(и > иы р б М) выполняется условие р(з„, з„чр) < б.
Тогда, согласно условиям (1), р(т(а ), у(а чя)) < е, т.е. посггедовательность (у(а„)) фундаментальная и поэтому сходится. Пусть !!ш у( „) = А. Если а„' -ч (, то, как доказано выше, последовательность (г(з„')) сходнтся. Обозначим йщ У(з„') = В и предполохсим, что А Р В. Смешанная последовательность х„хг, аг, хг, ... сходится к точке Ь, а последовательность /(аг), у(г,), у(зг), у(зг)... является фундаментальной и поэтому сходится. Обозначим С = йт 2(а„"), где хя — общий член смешанной последовательности. Поскольку последоватеяьности (а„) и (з„') являются подпоследовательностями смешанной последовательности, то А = С и В = С, т.
е, А = В. Таким образом, 1ап ! (х„) существует и не зависит от выбора последовательности (е„). Доопределяя функцию / на окружности т предельными значениями в ее точках, получим непрерывную на коипакте К функцию. М г 69. Пусть у(а) = е ", Рг —— (а Е С: О < !е) < 22). Является ли функция 2 равномерно непрерывной? м Функция у непрерывна, как композиция двух непРеРывных функций. Для исследования ее на равномерную непрерывносп гюлагаем х = а + гу. Тогда в 4. Дифференцируемые и аналитические функции. С- и !кг -диффереицнруемость Пусть з„' = (О, -1ь ), лн = (О, ~гы) . Тогда ггп Е гч з„' Е Ру, я,", Е РР 1 1 р(е„', ял) = — — — О при и — оо, !по 1п2п р(/(з'„), /(л„')) = еы "- еы" = 2п — и = и -а +со. Следовательно, функция / не является равномерно непрерывной.
> 63 5 4. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Связь между С-дифференцируемостью и К -дифференцируемостью. Аналитические функции /(з) — /(зо) = (з зо)аг(з). Если зо — предельная точка множества РР то число )г(зо) называется в точке зо и обозначается символом /'(го), т.
е. /'(зо) = Чала). Теорема 1. Пусть /: С С, ла Е В) и яо — предельная точка функция / ди4ференцируема в точке го, то существует !пп = / (зо). /(г) — /(зо) Огз *а с го (!) производной 4ункции / (2) множества ВР Если (3) щ Согласно формуле (1), имеем /(л) — /(ло) йгп = !Пп уг(л) = р(яа) = / (ло) огз -о я яо огз -а Пусть, например, /(я) =;--'-~, л Е Сог(-г, о). Вычислим /'(яа), зо 6 ВР Поскольку зо 1 — зза 1 — зла яо г г ( о) г р(л) г аг(со) = г 1 ! г (! ! г) (! ! г)г (1 ! г)(! ! г)' (1 ! г)г ' зо г 1 — л г /(ао) = г и ал Е Ву /(л) = (1 + г)г (1 + г)г ' Теорема 2 (о производной композиции).
Пусть 4ункция /: С а С дифференцируема в точке ла, а функция д: С а С диф4еренцируема в точке ьо. Если яо = д((а) и (о — предельная точка множества Ву,, то композиция /од дифференцируема а точке (о и выполняемое равенства (/'д)'(ьа) = /( о)д'(Ьо). (4) щ Согласно опрелелению дифференцируемости функции / в точке з„существует такая непрерывная в атой точке функция уг; С г С, Ра = ВР что чя Е Р г /(я) — /(яо) = (л — яо)уг(е). Пусть ( Е В г.а. Тогда д(О Е Вг и при этом выйолняется равенство /(д(О) — /(д(Со)) = (д(() д((о)) 9'(У(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
