А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Есои 1пп У(г) = а, )пп д(г) = )), та 1пп(у~д)(г) =атД !пп(!'д)(г) = а)). Если !) Ф О, та Ощ — (г) = —. ° Ф пусть (г„) — такая произвольная последовательность комплексных чисел, что г„- г, гч г, б Рг г! Р, ((го). тогда, согласно теоРемам о пРеделах последоватеаьностей, имеем Г' 1'Ч! а 1пп (Т( „) ад( „)) = ат 15, 1!гп (Уд)( „) = аД 11щ — (г„) = —. !) Согласно определению 2, п. 2.5, указанные свойства равносильны утверждению, содержащемуся в теореме. и 2.7. Предел и непрерывность композиции функций.
Теорема 2 (о непрерывности композиции функций). Пусть функция ! непрерывна в точке го б Ву, а фУнкЦил Зо непРеРывна а тачке (о б Р . Если Зо((о) = го, та кампазиаиа У о Уо непрерывно в точке (о. и Утверждение является частным случаем теоремы 1, и.6.1, гл. 1. 1ь Справедливо ли аналогичное утверждение для композиции функций ) о уо, имеющих пределы в точках го и (о? Приводимый ниже пример лает отрицательный ответ на этот вопрос. Теоремы о пределе композиции, которые будут доказаны, требуют дополнительных ограничений, накладываемых на функции / и чо. Пример. Пусть у; С вЂ” + С, (о: С С, где ~ ~ г ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ и ! ~ ~ ~ ~ и ! и~ ! ~~ ! 1, если а=О, 2 если (= — '(пбЩ з'(г) = ' , ' (а(() = О, есяи г б Сч(0), ( О, если ( (2 ( „-') и б (ц) .
( О, если (=-(пбЩ Тогда (лп Т(г) = О, )пп зо© = О. Вместе с тем (1 о зо) (() = 1 и о с о ) 1, если Ь'к(-'(нб(ц), Е,. ч (О) = (О, 1), т. е. Ощ (Т о уо) (() не существует. с-о Теорема 2 (о пределе композиции функций). Пусть (о — предельная точка множе- ства ВВ . Если 11ш у(г) = а, Ищ р(й) = го и суи(естаует такая окрестность ОП тачки (о, *о с и чта У( б (Ог П РВ Й(~о) Зо(() ф го, та Игп (у о)о)(() = а. м пУсть ((„) — такая последовательность, что („(о и кп б и („б Вг, '1((о). тогла = )о(Й) го Л г б ВУ'ч(го) Поэтому у(г„) = (у о р) К„) ч а при и оо. Согласно определению, !!щ (у о зо) (С) = а с со Гл.
2. комплексные числа н фуивзваи комплексного переменного 50 Теорема 3. Пусть (ь — предельная тачка мнозкества Вг, . Есеи йш (о(б) = хь и Функция 1 с са непрерывна в точке зь, то Вш (1 о (о) (О = 1(зь). с-с. ч Полагаем / )о((), если Г б Вв'!(ьь), "© 1 зь при С=Се. Функция уз* непрерывна в точке бь. Согласно теореме 1, функция 1 ь ы* непрерывная в этой точке. Поэтому йш (у ь !о) (() = йп! (у ь ы ) (() — (1 ь )ь*)(гь) = 1(вь)' с о с-сь 2,8. Свойства фупкппй, непрерывных на компаате. Теорема 1(о непрерывном образе компакта). Пусть 1: С вЂ” С вЂ” непрерывная функ- ция и Ру — компакт. Тогда многкество Ег компактное в себе, т.
е, непрерывный образ компакта есть компакт. Ч Утверждение является частным случаем теоремы п. 6.1, гл. 1. И Определение. Функция 1; С -ь С называется ограниченной на мноэсестве Рг„есеи существует такое число М б 1х, что Уг б Рг !1(с)~ ( М. уеарема 2 (Вейерштрасса). Пусть 1: С -ь С вЂ” непрерывная функция и Ру — компакт. Тогда функция 1 ограниченная, а ее модуль дктигает на мнонсестве Рг своих наибольшего и наи- меньшего значении. ч Согласно теореме 1, мнозкество Ег яющется компактом, т.е. замкнутым ограниченным множеством. По определению 5 (см. п. 3.2, гл.
1) его диаметр д(Е1) = зцр р( п, сез) ~елг, генг есп конечное число, т. е. д(Е1) б В. Согласно следствию из теоремы и. 3.2, гл. 1, Уюь б С мнозке- СТВО Еу СОДЕРжИтСЯ В ЗаМКНУтОМ ШаРЕ 0„(шь), ГДЕ Г = ПК Р(твь, Ьв) Ьд(Е1). ВЗЯВ Шь = О, ПОЛУ- ее! чнм, по множество Ег содержится в некотором замю!)том шаре конечною радиуса 12 с центром в начале координат. Поэтому )гх б Вг !ю~ = !1(г)~ < Е, т. е. функция 1 ограничена.
Отожле- ствим комплексную плоскость С с плоскостью К'. Тогда непрерывная ограниченная функция Щ принимает на замкнутом ограниченном множестве Вг С К' свои наибольшее и наименьшее зна- чения, согласно теореме Вейерштрасса для непрерывной функции (о: К К. Следовательно, существуют такие точки з! б Ву, гз б Рг что '!у(х!)~ = '"1 11(хП, !1(гз)! = з"Р !1(хН " *епг епг Чг б Вг выполняются неРавенства )1(х!)( ч ~1(зИ ч )1(хзй, и Звмечавве. при определении непрерывной функции у в точке хь предполагали, что у(гь) гь сс, при изучении отображений множеств с помощью аналитических функций целесообразно огкьзьться ог этого ограничения и считать функцию у непрерывной е точке хь, где у(хь) = сс, если !ип у(х) = со.
В этом *ь — )в случае функцию У называют обобщенно-ненрерыеноа например, функция С С, где если г б Сг(0, сс), 1(х)= 0 лри х =со, со лрн с=О, обобщенно-непрерывная в плоскости С. дья нее йщ у(х) = 0 = у(сс), йщ у(г) = со = у(0). 9 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области В курсе математического анализа рассматривается понатие проитодной вектор ягуикции у: К-+В, Вг =(а, Ц, где 1=(уп уз, ", у ) — упорялоченный набор функций 11 (у = 1, пь). 53.
Непрерывные н гладкие кривые. Односвязные и многосвюиые области 5( Вектор-функция у ди<6<йеренцируема на сегменте [а, Ь[ тогда и только тогда, когда на нем диффеРенциРУемы фУнкции У<, и пРи этом ч1 Е [а, Ь] У'(1) = (У'<(1), Уз~(1),, У~ (1)) (в точках а и Ь гчп<+Ьг< речь идет об односторонних производных). Отображение [а, Ь[ — + С можно рассматривать как вектор-Функцию )р = ((р<, урэ) С м~. Тогда, если функции ур< и (оэ дифференцируемы на сегменте [а, Ь], фУнкциЯ (о также диффеРенциРУема и ч1 Е [а, Ь[ УР (1) = УР, < Ц Ч-(УР<(1) = (УР <(1), Уэз(1)). Определение Е Множеапео у С С (ияи т С м~) называется непрерывной кривой (т раенторией), если существует непрерывное отображение [а, Ц т. ]Три этом отображение ур на называется параметрическим представлением кривой у.
Из курса математического анализа известно, что отобрюкение ур = (уч, урэ) непрерывно тогда и только тогда, когда функции р< и (рз непрерывны. Для каждой непрерывной кривой у фиксируется одно из двух взаимно противоположных направлений движения подвижной точки 1 Е [а, Ь], соответствуюшее возрастанию или убыванию параметра. В первом слГ<ае ур(а) есть начало, у<(6) — конец кривой, а во втором случае зти точки меняются местами. Кривая, начальная и конечная точки которой совпадают, называется замкнутой. Если у С В С С (у С Я С С), то говорят, что кривая у лежит в множестве Я или содержится в нем.
Если одна и та же точка кривой т соответствует двум или более различным значениям параметра, из которых по крайней мере одно отлично от а и от Ь, то такая точка называется кратной. Непрерывная кривая, не имеюшая кратных точек, называется жорданоеой нли простой. Другими словами, кривая т С С называется жорда«ооой, если ее параметрическое представление ур является биектнвным отображением.
Если ур(а) = ур(6), то жорданова кривая ниывается замкнутой. Пусть у< и <]< — параметрические представления непрерывной кривой т, Рр = [а, 6], Рр — — [а<, Ь<[. Они называются эквивалентным, если существует такая непрерывная возрастаюшая функция [а, Ь] [а„Ь,], что ур = <(< р ц, В этом случае записываем (р - <]<. Определение 2. Множество т С С (или т С Н~) называется простой гладкой при еой (траенторией), если сущестоует непрерывно дилл]<еренцируел<ое отображение [а, 6] — < у с отличной от нуяя проиэеодиой Рйи этом отображение у< называется параметрическим предстоелениел< сходной кривой у.
Если <6 — лругое параметрическое представление гладкой кривой у, Р„= [ан Ь<], и сушествует такая непрерывно дифференцируемая функция [а, Ь] [а„Ь,], что <у1 Е [а, Ь] П'(1) > О на и <]< о <у = ур, то наралмтрическ<ш представления ур и <6 называются эквиеилгнтными. Определение 3. Множество -у„р всех эквивалентных параметрических представлений простой жадной криной 3 назыеается ее ориентацией. Упорядоченная пара Г = (т, те<) называется ориентированной гладкой кривой Г. Очевидно, что ориентация простой гладкой кривой однозначно определяется указанием ее начальной точки. Ориентацию простой гладкой кривой у с параметрическим представлением у< апрелю<лют также выбором одного из двух возможных направлений единичного касательного вектора г(М) = ~,<'„'~, где М = у<(1) Е у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
