Главная » Просмотр файлов » А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика

А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 15

Файл №1118159 А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика) 15 страницаА.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159) страница 152019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Пусть точка (О, О, 1) принадлежи~ данной окружности. Тогда Р + С = О и уравнение плос- кости, в которой лежит заланная окружность, примет вид АТ+ Вг) = С(1 — (). Принимая во внимание формулы (2) и (3), п. !.3, получаем в плоскости С прямую Ах + Ву = С, которая и есть образ данной окружности. Из формул (3), п.1.3, получаем, что ( = (1 — ()х, О = (1 — ()у. Поэтому из уравнения плоскости А(+ ВО+С(+ Р = О следует, что С = 1 + л,~~'„' . Тогда, ггодставляя выражения (, О, ( через х и у в уравнение сферы, получаем уравнение кривой в плоскости С: (Р+ С)(х Ч- у ) + Ах+ Ву = — Р.

Если С+ Р эь О (т.е. заданная на сфере Римана окружность не проходит через северный полюс), то эта кривая является окружностью на плоскости С, а если С+ Р = О (т. е. окружность на сфере проходит через северный полюс), то она переходит в прямую на плоскости С. м $2. Топология комплексной плоскости.

Последовательности комплексных чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте 2.1. Тополопап комплексном плоскостп. В пункте !.2 показано, что упорядоченная четверка В = (С, +,, ~ ~) является нормированным векторным пространством над полем !к. Поэтому упорядоченная пара (С, р), где у(аг Е С, зг Е С) я(вп хг) = !аг — а,! = (хг — х,)г+ (уг — у,)', есть метрическое пространство. В множестве С введем в рассмотрение так называемую сферическую метрику р. Гл.

2. Комплексные числа и функции комплексного перемемиого ПУсть Яг((г г)г, ьг), Вг(сг, бы ьг) — сфеРические изобРажениЯ точек х, б С, хг б С. ХРР- дальным Расстояние,и к(Я„В,) между точками Яг и Яг называется евклидова норма вектора (сг сг г)г г)г (г (г), т. е. Й(дг, Яг) = ((г — (г) + (г)г — г)г) + ((г — Сг) .

Полагаем »гг(хг Е С, хг Е С) р(хг, гг) т й(Я», Яг). Согласно основным формулам стереографической проекции имеем 1 +М" 1+! гР' ' 1-~И2' 1+И" ' 1-У~хгР' ' 1Ч-~ гР' Слеловагельно, если хг б С» хг 6 С, то г г г +~ Гг 1+~ Г,) "(, ч~"~г +~ Гг) '), +~ ~г - ~.Г )х»1~ И~ 2(хгхг -Ь угуг + ~хг~~~ г1~) 1+ /хг/г 1+ ~хф (1+ !хг!г) (1Ь !хг!г) (1Ч- /хг/г) (1-Ь )хг!г)' ! г — хг! Р(хг» хг) »гг) + /хг~г»,Л Ч- (хг(г ы Если х Е С, то р(х, со) = ='==.

Таким образом, )хг — хг/ „(, „,,—,) „,,)"г у)'Й,у +~~.~ уг) + ~х~Р' если х»ЕС» хгЕС, если гг Е С, хг = оо. Упорядоченная пара (С, р) является метрическим пространством. Заметим. что в множестве С можно пользоваться сферической метрикой. Пусть А С С— ограниченное множество (напомним, что согласно определению 5, п.3.2, гл.1, применительно к мегрическому пространству (С, р), множество А называется ограниченным, если его диаметр г((А) = щр р(хг, хг) = зор ггг — х,~ конечный).

Пусть О < г( < +оо и»гх Е А ф < Л. *ЫА, » ел »пе н гел Тогда Ч(гг б А, г, б А) имеем р( г, г) гхг — хг! г ~ ~Р(хг хг) ~ ~Р(т хг). (2) 1 + )(' ' ,/1 + !х,/г,/ 1 + ~х,/г В рассмотренном случае метрики р и р зквивалентны. уолологией в метрическом пространстве (Х, р) называется семейство открытых множеств в нем (см. п.б.б, гл. 1). Топология в пространствах (С, Р) и (С, р) осуществляется путем введения в рассмотренные семейства окрестностей.

Пусть е > О и ха Е С. Согласно определению 1, п. 3.2„гл. 1, множество 0,(ха) = (х Е С: 1х — ха! < е) О,(ос)=(хбСгр(х»со)<е)= хЕСг <е = хбСг(4> ~ —,— 1, (3) ф-~-~Да ~ — ~ ~/ ~ ег т. е. множество всех точек комплексной плоскости С, лежащих вне окружности радиуса называется е-окрестностью точки хь в метрическом пространстве (С, р). В метрическом про- странстве (С, р) е-окрестностью точки х = оо является множество в 2. Топология комплексной плоскости 45 Согласно определению 2, и.

3.4, гл. 1, точка» Е А С С (» Е А С С) называется внутренней, если с)чцествует ее е-окрестность О,(») С А. По определению 1, п.3.3 гл. 1, множество О С С (О С С) называется открытым в метрическом пространстве (С, р) ((С, р)), если оно состоит лишь из внутренних точек.

Согласно теореме 1, п. 3.3, гл. 1, каждая е-окрестность в метрическом пространстве (С, р) ((С, р)) является открытым множеством. Определеиие 1. Совокупность всех открытых множеств в комплексной плоскости С (С) называется топологией г этой плоскости, а упорядоченная пара (С, т) ЦС,т)) — таповогическим пространством. Топологическое пространство (С, т) ((С,т)) обладает свойствами: 1) обьединение любого семейства (Ов)„ел аткрытьтмнажеств О„С С (О„С С) и пересечение конечнага семейства их являются открытыми множествами (см.

теорему 2, п. З.З, гл. 1); 2) пустое множества о и множество С (С) являются атнрьнпыми множествами. Согласно определению 3, п. 3.5, гл. 1, точка»л Е С (», Е С) называется тачкой прикосновения лгножеслва А С С (А С С), если любая ее б-окрестность Ог(хл) имеет с А непустое пересечение. Точка»л б С (»в Е С) называется предельной лля множества А С С (А С С), если она является точкой прикосновения множества А)[»л). Из определения прелельной точки множества А следует, что любая ее б-окрестность содержит бесконечное множество точек из А (см. теорему 4, п.

3.5, гл. 1). Из неравенств (2) следует, что если» Ф со — предельная точка множества А в топологическом пространстве (С, г), то она имеет такое же свойство в пространстве (С, г) и наоборот. Поэтому прн определении конечным предельных точек можно пользоваться как евклидовой, так и сферической метрикой. В этом смысле метрики р и р эквивалентные.

Очевидно, что конечное множество А С С не имеет предельных точек. 2.2. Замкнутые множества, отрезок н ломааяя. Связные множества. Согласно определению 1, и.3.5, гл. 1, множество Г С С (Г С С) называется замкиулпым, если его пополнение СГ является открьпым множеством. Замкнутое множество Г содержит все свои точки прикосновения. Множество всех точек прикосновения множества А С С (А С С) называется его замыканием и обозначается А (см.

определение 2, п. 3.5, гл. 1). По определению 5, п.3.5, гл. 1, точка» б С (» Е С) называется граничной точнов множества А С С (А С С), если она является точкой прикосновения как А, так и СА. Множество дА всех граничных точек множества А называется его границей Оно замкнуто и может быть пустым. Пусть», б С>»г Е С. Множество (» б С: - = 1», 4 (1 — О»», 1 б [О, 1]) называется отрвжом на плоскости С, саединпюи(им точки»п»з, и обозначается [»и»,[. Точки», и», называются его концами. Отображение 1 л»(1), где»(1) = 1», + (! — 1)»» лу( б [О, ц, называется парпиев тричесним представлениелг отрезка [»п»г[.

Непрерывная функция [о, Ь[ К называется ломаной (кусочно-линейной), если ее график на плоскости К, отождествленной с плоскостью С, состоит из конечного числа отрезков. Определение 1.Открытое множества О С С (О С С) называется связным, если любые две вга точки можно саединтпл ломаной, все точки которой принадлежат этому множеству. Определевие 2. Замкнутое множество Г С С называетсл связным, если ега нельзя разбипм на две части, расстояние между которыми положительно.

Понятия связности открытых и замкнутых множеств существенно отличаются. Определение 3. Связное открытое множество называетса обдаст ью. Определение 4. Замыкание обласгпи называетсв замкнутой областью. 2.3. Последовательность комплексных чисел я ее предел. Пклвдовательностью (»„) точек метрического пространства (С, р) называется отобрюкенне [л[ -" С (см. общее определение последовательности точек в и. 1,8, гл. 1). Рассмотрим некоторые вопросы теории последовательностей точек метрического пространства, изложенные в З 3, гл. 1, применительно к последовательностям комплексных чисел. Определение 1. Точка» б С «азывавтсч пределом последовательности (»„) (при этом записываем» = 1пп»„иви»„»), если Яе ) 0)(Эп, Е 1Ч) (Уп ~ и,): р(»„, ») = [»„— »[ < е.

46 Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного В этом случае послеловательность называется сходящейся. Из определения следует, что начиная с некоторого номера и, Е (ч( все члены последовательности (»„) содержатся в г-окрестности точки л Е С. Вне окрестности 0,(л) могут находиться лишь точки л„»з, ..., л„, „мнохсество 2 которых ограниченное. Согласно теореме п. 3.2, гл.

1, объединение 0,(л) гз Е двух ограниченных множеств является ограниченным множеством. Следовательно, сходлшаяся последоватеяьность ограниченная (ОМ Е К: Чп Е Н |л,! < М). Для обозначения ограниченных последовательностей (л„) комплексных чисел будем пользоваться символом Ландау л„= 0(1). Определение 2. Последовательность (л„) имеет пределом со (лри этом записываеи 1ип л„= оо или л„ос), если (чуг > 0) (Зп, б 3!) (зги > и,): р(л„, со) ( г. (2) Из определения 2 следует, что, начиная с некоторого номера и, Е 1(, все члены иоследователыгости (л„) удовлетворяют неравенству 1»„! > ()Я вЂ” ! ~ (см. п.

2.1), т. е. находятся вне круга радиуса Ка = .Я-1(. Условие !ип лй тсо равносильно тому, что Бгп !л„! к+со. Для несобственного комплексного числа со понятия действительной и мнимой частей, а также аргумента не вводятся. Согласно теореме 1, и.3.1. гл. 1, сходящаяся в метрическом пространстве (С, р) последовательность (л„) имеет единственный предел. Теорема П (л„л) сь (Ке»„йел) л (1т »„1т л). < Необходимость. Пусть „л, тогда р(л„, ») = 1»„— »! О, и из неравенств ! К廄— Ке л! ч !л„— л(, ! (т л„— 1т л ! < !л„— л!, вьшолняюшихся тгп Е гч, следуют требуемые свойства Кел„Кег, !тл„1тл. Огл "„ 1ии — =— --С. й !ип (л„+(„) = 1!т л„+ !ип Г„, Иги (»„Г„) = )ип л„1ип С„, Теорема 3 (критерий Коши). Посчедоватечьность (л ) сходотся тогда и только тогда, когда она фундаментальная, т.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее