А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 11
Текст из файла (страница 11)
< Указанные равенства непосредственно следуют нз формулы (3) н свойств тригонометрических функций. Докажем равенство 2). По определению имеем е'чего = (соз(в+ ! з!и !р)(сов чу+ (з(п(З) = = (соз!рсоа гр — з!п(сз!луч)+ !(з!п у!сов гр+ сов(сз!пгр) = сов((с+ гр)+ !в!п(Ч!+ р) = е! о Показательная форма записи комплексного числа позволяет значительно упростить операции умно;кения и деления комплексных чисел.
Если л, т где*~', г; = )хл1, )г, Е Агкг, (у = 1,2), (5) то г!г! — — (г!гг)е !ч!~гг! — = — егсю (6) л! гг Таким образом, для вычисления произведения комплексных чисел нужно перемножить их модули и сложить аргументы, а при их делении модули дктпся и аргументы отнимаются. в 1. Комплексные числа в комплексная плоскость 29 Полезна (Ьармула лгуавра (1667 — 1754), которая является следствием формулы (3), или может быть установлена с помощью метода математической индукции: если х = (гсозу, гвпу), то табу( а = (гсоау~ гз!пу) = (г созпу, г 5!ппу).
П) Формула Муавра позволяет извлекать корни произвольной целой степени из комплексного числа. Пусть а = (г сову, гоп у) и требуется найти такое комплексное число а, = (г, сову„г, з|пугй чтобы з,'* = з, Тогда, в соответствии с формулой (7), (г", созау„г" ,згпау,) = (гаазу, г ага у). (8) Приравнивая друг другу модули и аргументы, имеем г~" = П пу~ = у+ 2йл, й Е У. Итак, г, = т/гР, у, = с~-„— "-. При й = О, и — ! получаем и разных значений: / „у+ 2(гл у+ 2йл Они лепят окружность радиуса "/~ на и дуг одинаковой длины.
Поле С не является упорядоченнзям В упорядоченном поле Г т(а Е Г, Ь Е Г) а +Ь = Ос.". а = 0 Л Ь = О. В поле С это условие не выполняется, например, ('+ 1' = О, однако ! у О, 1 у О. Отметим, что модуль комплексного числа !Д = хгГзз+ уз удовлетворяет аксиомам нормы (см. !ь2.5, гл.1). Выполнение аксиом 1) и 2) очевидно.
Рассмотрим на рис.10 треугольник с вершинами в точках О, ац а~+ г,. Длины его сторон равны: !хг~ (от 0 до а ), !л~) (от х, ло з, + аз), ~х~ + хз! (от х, + х, до О). Поскольку длина стороны треугольника не больше суммы длин двух других стран и не меньше абсолютной величины их разности, то (~з1! !а2!!» (з! ! а2! ~» 1а!1 + ~хз! Следовательно, модуль удовлетворяет и неравенству треугольника.
Таким образом, упорядоченная четверка Е = (С, +У ч ! !) является нормированным векторным пространством нал полем Рс. Оно превратится в метрическое пространство, если в нем )г(х~ Е С, хз Е С) метрику определить равенством (10) Р(аи зз) = ~х~ — хг~ (см.
и. 3.1, гл. 1). Множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел, несмотря на их существенные различия, имеют много общих признаков, таких как коммутативность и ассоциативность операций сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения, существование единичного элемента относительно операции умножения. Возникает вопрос: можно ли достичь новых результатов, расширяя понятие числа, чтобы упомян)тые общие признаки сохранились? Ответ на поставленный вопрос дает теорема Ф.
Фробениуса (1849 †!917), из которой следует, что поле С комплексных чисел является максимальным числовым полем и дальнейшее расширение понятия числа невозможно. 1.3. Стереогрвфпческвя проекция и ее свойства. Для нужд теории аналитических функций комплексную плоскость С дополняют бесконечна удаленной точкой, соответствующей условному комплексному числу оо. Множество С = С О (оо) называют расширенной комплексной иласиасмыа.
Для наглядного изобрюкения расширенной комплексной плоскости проведем специальное геометрическое построение. Введем в пространстве м~ систему координат 0696 так, чтобы плоскость С совпала с плоскостью м~ и чтобы оси 06 и 09 совпали с осями Ои и Оу комплексной плоскости з. Построим сферу а Радиуса -, с центром в точке !О, О, -,), которая касается комплексной плоскости в начале координат (Рис.
14). Точки (6, а, й) б Я удовлетворяют уравнению ( + г) = ((! О. (1) Гл. 2. Комплексные числа п фуикпии комплексного переменною 30 Реь. 14 Точку (О, О, 1) обозначим через ггг и будем соединять ее с различными точками сферы «'((, ц, (') прямолинейнымн лучами с началом в гУ и отмечать на каждом луче точку г = х+ гу встречи его с плоскостью С. Тогда все точки сферы, за исключением точки Л, спроекгируются на плоскость С. Этим установлено взаимно-однозначное соответствие г г' между множествами С и бт(Х). Если условимся, что г = сс Х, то получим взаимно однозначное соответствие между множествами С и э. Это соответствие называется стереографической проекцией, Сферу Я при этом называют сферой Римана. Установим связь между координатами точек г и г'.
Координаты точки г~ удовлетворяют уравнениюсферы (1), а условие, что точки г, г и з Г лежат на олной прямой, имеет внд ~-О 1-0 (-1 х — 0 у — 0 0 — 1 Следовательно (2) 1-(' Принимая во внимание (1) и (2), имеем !г! = х .1- у г з з С Ьц ( ьс)з откуда 1 (= —, 1-(= 1+ !г!з' !+ !г!з' Получаем обращение формул (2): у !г!' +(!" ' !+!! Соотношения (1), (2), (3) называются основныии формулами стереографической проекции.
Стереографическая проекния имеет два важныл свойства: 1) нри стереографической проекции окрухсности всегда переходят в окружности (лри этом прямая на плоскости С считается окружностью бесконечного радиуса); 2) если две кривые на сфере 5 пересекаются в точке М, а касательные к этим кривым в точке М образуют угол а, то и угол мело)у косатачьными к стереографической проекции этих кривых в тачке М' «х пересечения также равен а, т. е.
величины углов лри стереографической проекции сохраняются. Для большей наглядности изложенного выше воспользуемся географической терминологией. Плоскость, проходящая через нентр сферы параллельно плоскости й = О, называется эгсвоториальной. Согласно принятой терминологии, точка А б Я лежит но параллели с широтой р, если б 1.
Комплексные числа н компвексная плоскость 31 М Воспользуемся правилами действий над комплексными числами и равенством «« = !«~ . Получим: (1 — в)' (1 — в)(1 — в) 11+ в(1 21 2(1 -1- Зв) 1 + Зв 1 3 «2 = — = -+в-; 2 ~1 — 3»Р 5 5 5 «1=2 — + — =2 е'1 =2 е' =2; 12 2 ° »О во ( —; — ) ="(-;,'--::)'=":-'-' = = -2 е' 1 " = -2' (соз ( — + и) + в в!и ( — + х) ) = 2+ в2ь»3. М 2. Найти модули г и аргументы !л комплексных чисел а+ Ьв (а и Ь вЂ” действительные числа): «, = Зв; «1 — — — 2; «1 = 1 1- в! -1- в,' «1 =2+51; «в = 2 — 5в; «» = -2 + 51; «в = -2 — 51; «в = Ьв (Ь и 0); «ю = а + Ьв.
° а Под р понимаем главное значение; — и < а»8 «< х, агс189» — главнаЯ ветвь от — -', до —,. Определя~ь и легче, если нзобрюкать точку «на комплексной плоскости. Имеем Г»шв«11=3,9»1= 1! Г»ш(«»»=2.,В»»=Х' Гз=!«1»=Ъ2,Р»ш В,' ГВ=!«4»=Ъ2вув гв = !«4 = в» 29, Э»1 = агс»8 1; гв = ~«в| = и 29, у»в = — агс»8 1; г» = И = «29, вр» = »г — агс18-,; гв = !«в! = ч29, У»в = агс»8-', — »г; гв = («в!= |Ь(, Рв = —, в' — — 1 зйпь; гвв = («ве(=;»а'+Ь», рвв = агс18 -„, ь вг + агс18 —,, в агс»8 — — »г и а>0, а<о, ь>о, а < о, ь < о.
м 3. доказать, что в)! имеет следующие четыре значения й.- (1/2+ В»2+1~/2 — Ъ»2), ~- (Х/2- Р2+Втв»'2+э»2) . к+ы, де»ь —, э'« = соз.в — 4 — + вмп.» и —, Ь = О, 1, 2, 3. М Пусть « = в, тогда »4 = 1, аг8« = Э» = Получаем четыре различных значения корня: вг»г «е = соз — -1- в з(п— 8 9»г 9« к,, вг «1 = СЗ — +ВМП вЂ” = — СВМ вЂ” — Вйн —, 8 8 8 8' 5и , 5я Зи «1 = СОЗ вЂ” + ВЗ!П вЂ” = — СОБ— 8 8 8 13»г, 1За Зи «1 = Саз — + В В1П вЂ” = СО«в 8 8 8 Звг +вз!п— За — в йп —. 8 радиус-вектор О'А с началом в центре сферы 5 образует угол )» с экваториальной плоскостью, причем в верхней по отношению к этой плоскости части сферы р изменяется от 0 до —,, а в нюкней части сферы — от --", до О.
Точки сферы, имеющие одну и ту»ке широту р, образуют иараллель дан ной широты. Долм»»иойточки А(р, 9, () б Я называют а»8(9+19). Совокупность точек данной долготы Л образует иолумеридиаи этой долготы, Точка»в» называется сел«рным иолюсом, а начзло координат 0 — юэеиым полюсом. Рассмотрим примеры. 1. Представить в виде а + вь (а Е )й, Ь Е 31) следующие комплексные числа: »у!+в') /!+ ЫЗ'в «1= .' «1= .' «1=(1+1~3); «в= ~ — ) !+в 1 — Зв ~1-*) ' ~ 1- ) 32 Гл.
2. Комплексные числа и фуикпии комплексного переменного ПОСКОЛЬКУ |СО5Х! = 3/ 1, |51ПХ| = 3/' г, то 4. Определить комплексные числа г, удовлетворяюшие следуюшим двум условиям: г — !2 5 г — 4! — ~=1. г — 81 3' г — 8~ м Так как ~ —;,', ! = ("-з:-;-'-"ф. = —, !'=5) = 1-;-'- т-"т = 1, то задача сводится к решению системы уравнений 2хг + 2уг+ 27х — 50у+ 38 = О, 8х = 48. Ее решения — 51 — — (6,17), г, = (6, 8), т.
е. г, = 6+ 17П 51 —— 6+ 812 5. Доказать тождество |а+ ь!'+ |а — ь)1 = 4|а|1, если |а| = |ь|. м Воспользуемся очевидным свойством гг1 х г, = г, х г, и тем, что гг = |г!'. имеем: |а + Ь| + |а — Ь! = (а + Ь)(а + Ь) + (а — Ь)(а — Ь) = (а + Ь)(о + Ь) 4 (а — Ь)(а — Ь) = = аа + ОЬ + Ьа + ЬЬ+ аа — аЬ вЂ” Ьа+ ЬЬ = 2(аа + ЬЪ) = 2(|а! + |Ь! ) = 4|о! . ~ 6. Доказать тождество |! — ОЬ|1 — |а — Ь!1 = (1+ |ОЬ!)' — (|а|+ |Ь!)' (а 6 С, Ь 6 С). М Аналогично проделанному выше получим: |1 — ОЬ| — |а — Ь| = (1 — ОЬ)(1 — ОЬ) — (а — Ь)(а — Ь) = = (! — аЬ)(1 — аЬ) — (а — ЬКΠ— Ь) = 1 — аЬ вЂ” аЬ+ ааЬЬ вЂ” аа+ аЬ+ Ьа — ЬЬ = = 1+ |а| |Ь! — (|а! + |Ь! ) = 1+ |аЬ! — (|а| + |Ь!) + 2|ОЬ! = (1+ |ОЬ!) — (|О|+ |Ь!) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
