А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика (1118159), страница 7
Текст из файла (страница 7)
т Если* Ф 0г(хо), то р(х, 0о(хо)) )- р(хо, х) — 6 ) О, в силу чего открытый шар с центром в точке х н радиусом 6, = р(хо, х) — 6 содерзсится в дополнении шара Оо(хо). Следовательно, это дополнение — открытое множество. Дополнение сферы Я(хо, 6) является объединением открытого шара Оо(хо) и дополнения шара Ог(хо). По теореме 2, п.
3.3, это объединение есть открытое множество. И Теорема 2. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнута. Объединение конечного семейства замкнутых мнахгеств замкнута. м Если уа б А множества Р замкнупв, то множества СГ открыты. Согласно второй формуле в (2), п. 1.4, имеем С[[Р = [)СГ. (1) ол ол По теореме 2, п.3.3, множество [ [ СР„открыто, в силу чего и множество С П Р„является ол ол открытым. Тогла по определению множество [ ) Р замкнуто. ол Докажем вторую часть теоремы. Пусть Р, (! = 1, и) — замкнутые множества.
Перейдя к дополнениям по первой формуле в (2), п. 1.4, получим (2) Так как множества СР; открыты, то, согласно теореме 3, п.3.3, множество [ ) СР, является открытым, а вместе с ним и множество С 0 Р,. Следовательно, множество [ ) Р, замкнуто. и ш! В частности, одноточечное множество замкнуто. Определение 2. Точка хо б Х называвтсл точкой лрикаснавенил мнолсества А С Х, если любая окрестность Оо(хо) имеет с А нвлустае лерегенение, Млахгества всех тачек лрикасноввния множества А называетсл его замыканием и обозначается символом А. Если х б Х вЂ” не точка прикосновения множества А С Х, то х является внутренней точкой дополнения СА.
Поэтому замыкание множества А есп, дополнение множества его внутренних точек: А = С!и! СА. Например, замыкание открытого шара Оо(хо) содержится в замкнутом шаре Оо(хо), но может не совпадать с ним. Поскольку !и! СА есть наибольшее открьпое множество, содержашееся в СА, то А есть наименьшее замкнутое множество, содержашее А. В частности, если А замкнуто, то А = А. Теорема 3. Дол того чтобы точка хо Е Х бота точкой лрикаснавения множества А С Х, необходимо и достаточна, чтобы р(хо, А) = О. т Необходимость. Пусть хо Е Х вЂ” точка прикосновения множества А С Х. Тогда хо б !и! СА и, согласно теореме 3, п.3.4, р(хо, А) = О. Достаточность.
Если р(хо, А) = О, то любая окрестность Оо(хо) имеет с множеством А непустое пересечение. м б 3. Метряческпе прострапетва 17 Теорема 4. Если хь ч Х вЂ” точка лрикосновения мнохсества А С Х и хь в А, то чб ) О множество Ог(хь) п А бесконечное. ц Допустим, что зто не так и для некоторого бь ) О Ог,(хь) и А = (у„у„..., у„).
По предполозсению 2'2, = р(хь, уь) ) О (й = 1, и). Выберем г ) О так, чтобы О (хь) С Оз,(хз) и г < пнп(г„г„..., г„). Тогда 0„(х,) г2 А =2П вопреки предположению, что хь — точка прикосновения множества А. и Определение 3. Точка хь б Х называется предельной точкой множества А С Х, если она является точкой ярикосновения мнохсества А2(хь). Из теоремы 4 слецует, что любая б-окрестность предельной точки множества А С Х содержит бесконечное множество точек из А. Пусть хз б Х вЂ” предельная точка множества А С Х. Рассмотрим последовательность (Ог„(хз)) окрестностей точки хз, где б„= о(1). Тогда чп б (ч) множество Х„= Ог„(хз) г2 А бесконечное. В множестве Х, выберем любую точку х,.
В множестве Х, выберем точку хз Ф х, (зто возможно, поскольку множества Х, и Хз бесконечные). Пусть выбраны различные точки х2, хз, ..., х„, х ч Х () = 1, и). В множестве Х„+2 выберем точку х„ы Ф х, () = 1, 22). По индукции выбрали послецовательность (х„) различных точек х„б А. Из условий р(х„, хз) < б„ н б„= о(!) следует, что хь = !нп х„. Итак, если хь — предельная точка множества А С Х, то из него можно выделить послецовательность различных точек, сходящуюся к х,. Наоборот, если известно, что нз множества А С Х можно извлечь последовательность различных точек, сходящуюся к точке х, б Х, то хз — предельная точка этого множества, так как любая б-окрестность Ог(х,) содержит бесконечное множество точек из А. Можем теперь сформулировать еше одно определение предельной точки множества А С Х, эквивалентное определению 3.
Определение 4. Точка хь б Х называется предельной точкой множества А С Х, если из него мозкно выделить носяедоватеяьность различных точен (х„), сходящуюся к хь яо метрике пространства (Х, р). Предельная точка множества может принадлежать ему или не принадлежать. Выше было показано, что если множество А замкнуто, то А = А, т.
е. замкнутому множеству принадлежат все его точки прикосновения, а значит и все его предельные точки, которые, очевицно, являются точками прикосновения А. Определение 5. Точка хь й Х называется граничной точкой множества А С Х, если она напьется точкой нрикосновения как А, так и СА. Множество ОА всех граничных точек множества А называется его границей. Из определения следует, что ОА = А й СА = д(СА). В силу теоремы 2 множество ОА замкнутое и может быть пусто.
Определение 6. Точка хз 6 А называется изолированной точкой мнозиества А С Х, есяи дб ) О: Ог(хь) П Аг(хз) =й2, т.е. хь — точка прикосновения мнозиества А, не являющаяся его лредеяьной точкой. Определение 7. Пусть Š— нелустое ладмножество мноясества Х. Сужение рЦ2 называется 2 Р расстоянием, индуцированным в Е расстоянием Х К. Метрическое пространство (Е, р), ояредеяенное этим индуцированным расстоянием, называется лодлространством метрического яространства (Х, р). Теорема 5. Пусть (Е, р) — лодяространство полного метрического яространства (Х, р).
Оно яаачетсч лояным метрическим пространством тогда и только тогда, когда Š— замкнутое лодмножеонво множества Х. ц Необходимость. Пусть (Е, р) — полное метрическое пространство. Предположим, что Е не является замкнупям подмножеством множества Х. Тогда существует последовательность (х„) точек множества Е, сходящаяся к некоторой точке х й Х1Е. Поскольку последовательность (х„) фундаментальная (метрика в (Е, р) заимствована из (Х, р)), то вследствие полноты пространства (Е, р) существует 1пп х„= х', х' б Е.
Получили последоватеяьноеть точек пространства (Е, р), имеющую два различных предела — адин в Е, другой — вне Е, что невозможно вследствие единственности предела. Источник противоречия — в предположении, чтп множество Е не замкнуто. Гл. 1. Основные структуры математического анализа !8 Достаточность. Пусть Š— замкнутое подмножество множества Х. Кюкдая фундаментальная последовательность (у„) точек метрического пространства (Е, р) сходится в (Х, р) вследствие полноты последнего, и ее предел принадлежит множеству Е в силу предположенной его замкнутости.
Поэтому множеству Е принадлакат все его предельные точки, т. е. метрическое пространство (Е, р) полное. м $ 4. Компактные множества Определение 1. Множество К С Х лазывоетсл компактным в мегприческом пространс те е (Х, р), если всякая последовательность (х„) элементов из К содержит сходящуюся подлоследовательпость. Если их пределы принадлежат .множеству К, то оно называется компактным и себе, или компактом. Если же зти пределы принадлежат зчножеппсу Х, не принадлежа, может быть, множеству К, то К называется компактным в пространстве (Х, р), или относительно этого пространства. Очевидно, что множество К компактно в себе тогда и только тогда, когда оно компактно в пространстве (Х, р) и замкнуто.
Пример 1. Пусть Х = (О, Ц и ч(х б Х, у б Х) р(х, у) = ~х — у~. Метрическое пространство (Х, р) компактное в силу классической теоремы Больцано — Вейерштрасса. Пример 2. Метрическое пространство (В, р), р(х, у) = !х — у~ У(х б В, у б В) некомпактно, поскольку подмножество его точек И С В не содержит никакой сходящейся последовательности. Однако, всякое ограниченное множес~во Х С В компактно по теореме Бсльцано — Вейерштрасса. Для компактных множеств точек метрического пространства (Х, р) докажем аналог теоремы о вложенных шарах полного метрического пространства без предположения полноты. Теорема 1 (Кантора), )уусть дана убывающая последовательность К).гКз.г ...
ЭК„З непустык замкнутых компактных множеств метрического простралства (Х, р). Тогда пересечение К =. 1 ) Кз не пусто. гт в В кюкдом множестве К, выберем произвольно по точке х,. Получим последовательность (х,), причем (х,; у б ч() С Кы Так хак мнохсество К, компактное, то из послеловательности [х,) можно извлечь сходящуюся подпосле11овательность (х„). Пусть хь — — 1ип х„. ь-. Так как чль б Г( начиная с номера уь > иь все члены этой последовательности принадлежат множествУ К„„и К„, замкнУго, то х, б Кчы Но тогда х, б Д К,.
М з =! Определение 2. Пусть (Х, р) — метрическое пространство и е > О. Множество Х1 С Х называет~я с-сетью множества Хг С Х, если чх б Хз существует такой элемент х, б Хы что р(х, х ) ( г. В частности, множество Х, может совпадать с множеством Х. Определение 3. Множество Е С Х называетсл вполне ограниченным в метрическом пространстве (Х, р), если че ) 0 для него имеется в Х конечная е-сеть. Последнее условие эквивалентно следующему: з(е ) 0 существует такое конечное множество РСХ,чтоухбЕ р(х, Р) <е. Заметим, что из ограниченности множества точек метрического пространства не следует его вполне ограниченность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
