PDF - лекции (1117947), страница 17

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„«¿ ½²®£® ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ²¥®°¥¬®© ® ­¥¿¢­®©´³­ª¶¨¨.³±²¼ P = (P 1; : : : ; P n) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª ¨§ M. ’ ª ª ª ¯®¢¥°µ­®±²¼ °¥£³«¿°­ , ° ­£ ¬ ²°¨¶» Ÿª®¡¨ (@Fi =@xj ) ¢ ²®·ª¥ P ° ¢¥­ k, ¯®½²®¬³ ¨¬¥¥²±¿ ¬¨­®°, ­ ²¿­³²»© ­ ±²®«¡¶» ± ­¥ª®²®°»¬¨ ­®¬¥° ¬¨ i1 < < in;k , ª®²®°»© ­¥ ° ¢¥­ ­³«¾. ®«®¦¨¬ I = fi1 ; : : : ; in;k g, ¨ ¯³±²¼J = fj1; : : : ; jk g | ¤®¯®«­¨²¥«¼­»© ­ ¡®° ¨­¤¥ª±®¢, ².¥. I [ J = f1; : : : ; ng.® ²¥®°¥¬¥ ® ­¥¿¢­®© ´³­ª¶¨¨, ¢ ­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ P ±¨±²¥¬³³° ¢­¥­¨©, § ¤ ¾¹¨µ ¯®¢¥°µ­®±²¼ M, ¬®¦­® ° §°¥¸¨²¼ ®²­®±¨²¥«¼­® ¯¥°¥¬¥­­»µ xj , ² ª¨µ ·²® j 2 J.

Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ RkJ ª®®°¤¨­ ²­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢®, ­ ²¿­³²®¥ ­ ¡ §¨±­»¥ ¢¥ª²®°» ej1 ; : : : ; ejk . ’®£¤ ±³¹¥±²¢³¾²£« ¤ª¨¥ ´³­ª¶¨¨8 i1 i1 j1><x = g (x ; : : : ; xjk );>:xin;k = gin;k (xj ; : : : ; xjk );1®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ V ²®·ª¨ (P j1 ; : : : ; P jk ) 2 RkJ , ² ª¨¥ ·²®;Fp : : : ; giq (xj1 ; : : : ; xjk ); : : : ; xjr ; : : : = 0¤«¿ «¾¡®£® p = 1; : : : ; n ; k.”³­ª¶¨¨ gi ¯®°®¦¤ ¾² £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ G ¨§ V ¢ Rn ² ª:8j j>x =x ;>>><xjk = xjk ;>xi = gi (xj ; : : : ; xjk );>>>:xin ;k = gin;k (xj ; : : : ; xjk ):111111’ ª ª ª F G = 0, ²® ®¡° § ®ª°¥±²­®±²¨ V «¥¦¨² ­ ¯®¢¥°µ­®±²¨ M. ’ ªª ª ¢±¥ ª®®°¤¨­ ²­»¥ ´³­ª¶¨¨, § ¤ ¾¹¨¥ G | £« ¤ª¨¥, ½²® ®²®¡° ¦¥­¨¥¿¢«¿¥²±¿ £« ¤ª¨¬ (¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­¥¯°¥°»¢­»¬).

 ±±¬®²°¨¬ ¯°®¥ª¶¨¾': Rn ! RkJ , ±² ¢¿¹³¾ ª ¦¤®© ²®·ª¥ Q = (Q1; : : : ; Qn) 2 Rn ²®·ª³ QJ =(Qj1 ; : : : ; Qjk ) 2 RkJ . ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ª®¬¯®§¨¶¨¿ ' G ¨ ª®¬¯®§¨¶¨¿G ', ®£° ­¨·¥­­ ¿ ­ G(V ), ¿¢«¿¾²±¿ ²®¦¤¥±²¢¥­­»¬¨ ®²®¡° ¦¥­¨¿¬¨,¯°¨ ½²®¬ ' | ­¥¯°¥°»¢­®. Ž²±¾¤ § ª«¾· ¥¬, ·²® ' | £®¬¥®¬®°´¨§¬.

‚· ±²­®±²¨, G(V ) | ½²® ­¥ª®²®° ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ P ­ ¯®¢¥°µ­®±²¨ M.Ž²®¡° ¦¥­¨¥ G ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ «®ª «¼­»¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥¬ ¯®¢¥°µ­®±²¨M ¢ ¢¨¤¥ £° ´¨ª .‚»¡¥°¥¬ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­®¥ ·¨±«® ²®·¥ª P , ² ª¨µ ·²® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¨¬ ®ª°¥±²­®±²¨ U ¯®ª°»¢ ¾² M (¤®ª ¦¨²¥, ·²® ½²® ¢±¥£¤ ¬®¦­®±¤¥« ²¼), ¨ ° ±±¬®²°¨¬ ²« ±, ±®±² ¢«¥­­»© ¨§ ª °² (U; ').Œ­®£®®¡° §¨¿93’¥®°¥¬ 12.1 ®±²°®¥­­»© ²« ± § ¤ ¥² ­ M ±²°³ª²³°³ £« ¤ª®£® ¬­®-£®®¡° §¨¿.Œ» ¤®«¦­» ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ´³­ª¶¨¨ ¯¥°¥µ®¤ | £« ¤ª¨¥.

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²¨ ´³­ª¶¨¨ | £« ¤ª¨¥, ·²® ¨ § ¢¥°¸ ¥² ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬».°¨¢¥¤¥¬ ¯°¨¬¥°» £« ¤ª¨µ ¬­®£®®¡° §¨©, § ¤ ­­»µ ­¥¿¢­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨.°¨¬¥°. ³±²¼ F (x1; : : : ; xn) | £« ¤ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ­ Rn, ¯°¨·¥¬ ¢ ª ¦¤®©²®·ª¥ P , ² ª®© ·²® F(P) = 0, £° ¤¨¥­² ´³­ª¶¨¨ F ­¥ ° ¢¥­ ­³«¾.

’®£¤ ¯®¢¥°µ­®±²¼ M = fx j F(x) = 0g | £« ¤ª®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥.°¨¬¥°. ’¥®°¥¬³ 12.1 ¬®¦­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²®£®, ·²®¬ ²°¨·­»¥ £°³¯¯», ² ª¨¥ ª ª O(n), SO(n), U(n), SU(n), SL(n) ¨ ¬­®£¨¥¤°³£¨¥, ¿¢«¿¾²±¿ £« ¤ª¨¬¨ ¬­®£®®¡° §¨¿¬¨.“¯° ¦­¥­¨¥ 12.2 „®ª § ²¼, ·²® £°³¯¯ O(n) ®°²®£®­ «¼­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© n-¬¥°­®£® ¯°®±²° ­±²¢ Rn ¿¢«¿¥²±¿ £« ¤ª¨¬ ¬­®£®®¡° §¨¥¬ ¨„®ª § ²¥«¼±²¢®.­ ©²¨ ° §¬¥°­®±²¼ ½²®£® ¬­®£®®¡° §¨¿.SL(n) ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© n-¬¥°­®£®¯°®±²° ­±²¢ Rn, ¨¬¥¾¹¨µ ¥¤¨­¨·­»© ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼, ¿¢«¿¥²±¿ £« ¤ª¨¬¬­®£®®¡° §¨¥¬ ¨ ­ ©²¨ ° §¬¥°­®±²¼ ½²®£® ¬­®£®®¡° §¨¿.“¯° ¦­¥­¨¥ 12.3 „®ª § ²¼, ·²® £°³¯¯ Œ­®£¨¥ ¨§ ° ±±¬®²°¥­­»µ ¬­®£®®¡° §¨© \³±²°®¥­» ®¤¨­ ª®¢®" ± ²®·ª¨§°¥­¨¿ ²®¯®«®£¨¨, ².¥.

£®¬¥®¬®°´­» ¤°³£ ¤°³£³. °¨¢¥¤¥¬ ¯°¨¬¥°.’¥®°¥¬ 12.2 ’°¥µ¬¥°­®¥ ¯°®¥ª²¨¢­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® RP(3) £®¬¥®¬®°´­®¬ ²°¨·­®© £°³¯¯¥ SO(3) ±¯¥¶¨ «¼­»µ (± ®¯°¥¤¥«¨²¥«¥¬ 1) ®°²®£®­ «¼­»µ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© ²°¥µ¬¥°­®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯°®±²° ­±²¢ R3. ¯®¬­¨¬, ·²® ª ¦¤®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ A 2 SO(3), A 6=E, ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¢° ¹¥­¨¥ ¢®ª°³£ ­¥ª®²®°®© ®±¨ ` ­ ­¥ª®²®°»© ³£®«', 0 < ' .  ±±¬®²°¨¬ § ¬ª­³²»© ¸ ° D3 ± ¶¥­²°®¬ ¢ ­³«¥ O ° ¤¨³± ¨ ®¯°¥¤¥«¨¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥ : D3 ! SO(3) ² ª.

®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ²®·ª¥ O 2 D3 ²®¦¤¥±²¢¥­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ E; ®²«¨·­®© ®² O ²®·ª¥„®ª § ²¥«¼±²¢®.Œ­®£®®¡° §¨¿94P 2 D3 , ­¥ «¥¦ ¹¥© ­ £° ­¨¶¥ ¸ ° D3 , | ¢° ¹¥­¨¥ A ¢®ª°³£ ¯°¿¬®©OP ­ ³£®« ' = jP j, ¯°¨·¥¬ ¨§ ¤¢³µ ¢®§¬®¦­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© ½²®£® ²¨¯ ¢»¡¥°¥¬ ²®, ª®²®°®¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±«¥¤³¾¹¥¬³ ³±«®¢¨¾: ¥±«¨ | ¯«®±ª®±²¼, ®°²®£®­ «¼­ ¿ ª `, ¨ v 2 | ¯°®¨§¢®«¼­»© ­¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®°, ²®¯®²°¥¡³¥¬, ·²®¡» °¥¯¥° (v; Av; OP) ¡»« ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®°¨¥­²¨°®¢ ­; ­ ª®­¥¶, ª ¦¤®© £° ­¨·­®© ²®·ª¥ P ¸ ° D3 ¯®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¢° ¹¥­¨¥ ¢®ª°³£ ¯°¿¬®© OP ­ ³£®« (² ª®¥ ¢° ¹¥­¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­® ®¤­®§­ ·­®).Ÿ±­®, ·²® ®¡° § ®²®¡° ¦¥­¨¿ ±®¢¯ ¤ ¥² ± SO(3); ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¢§ ¨¬­®®¤­®§­ ·­® ­ ¢­³²°¥­­®±²¨ ¸ ° D3 ; ª ¦¤®© ¯ °¥ ¤¨ ¬¥²° «¼­® ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»µ ²®·¥ª ¨§ £° ­¨¶» ¸ ° D3 ±² ¢¨²±¿ ®¤­® ¨ ²®¦¥ ¢° ¹¥­¨¥,¯°¨·¥¬ ° §­»¬ ¯ ° ¬ ² ª¨µ ²®·¥ª ±² ¢¿²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ° §­»¥ ¢° ¹¥­¨¿, ®²«¨·­»¥ ®² ²¥µ, ª®²®°»¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾² ²®·ª ¬ ¢­³²°¥­­®±²¨ ¸ ° D3 .

’ ª ª ª ®±¼ ¢° ¹¥­¨¿ ¨ ³£®« ¯®¢®°®² ­¥¯°¥°»¢­® § ¢¨±¿² ®² ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ¬ ²°¨¶» ¯®¢®°®² , ¬» ¯®«³· ¥¬, ·²® SO(3) £®¬¥®¬®°´­® ¤¨±ª³D3 , ³ ª®²®°®£® ®²®¦¤¥±²¢«¥­» ¤¨ ¬¥²° «¼­® ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¥ ²®·ª¨ £° ­¨¶».‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ª ¦¤ ¿ ²®·ª ¯°®¥ª²¨¢­®£® ¯°®±²° ­±²¢ RP3 |½²® ­¥ª®²®° ¿ ¯°¿¬ ¿ ` ¢ R4 ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨ x1 ; : : : ; x4, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ ­ · «® ª®®°¤¨­ ².  ±±¬®²°¨¬ ±² ­¤ °²­³¾ ±´¥°³ S 3 , ¨ ¯³±²¼ S+3 =S 3 \ fx4 0g | § ¬ª­³² ¿ ¯®«³±´¥° . Ÿ±­®, ·²® S+3 £®¬¥®¬®°´­ § ¬ª­³²®¬³ ²°¥µ¬¥°­®¬³ ¤¨±ª³ (£®¬¥®¬®°´¨§¬ § ¤ ¥²±¿ ¯°®¥ª¶¨¥© ­ ²°¥µ¬¥°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® fx4 = 0g).

…±«¨ ` ­¥ «¥¦¨² ¢ fx4 = 0g, ²® ®­ ¯¥°¥±¥ª ¥²¯®«³±´¥°³ S+3 °®¢­® ¢ ®¤­®© ²®·ª¥. …±«¨ ¦¥ ` «¥¦¨² ¢ fx4 = 0g, ²® `¯¥°¥±¥ª ¥² ¯®«³±´¥°³ ¢ ¤¢³µ ¤¨ ¬¥²° «¼­® ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»µ ²®·ª µ. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, RP3 £®¬¥®¬®°´­® ¤¨±ª³ S+3 , ³ ª®²®°®£® ®²®¦¤¥±²¢«¿¾²±¿¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¥ ²®·ª¨ £° ­¨¶». „®ª § ²¥«¼±²¢® § ª®­·¥­®.95Œ­®£®®¡° §¨¿‡ ¤ ·¨ ª «¥ª¶¨¨ 12‡ ¤ · 12.1 ®ª § ²¼, ·²® ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¤¢³µ ª®®°¤¨­ ²­»µ ®±¥© ­¥ ¿¢«¿-¥²±¿ ¬­®£®®¡° §¨¥¬.‡ ¤ · 12.2 „®ª § ²¼, ·²®¬­®£®®¡° §¨¿.GL(n; R), O(n), SO(n) ¨ SL(n; R) | £« ¤ª¨¥‡ ¤ · 12.3 „®ª § ²¼, ·²® £°³¯¯ £®¬¥®¬®°´­ £°³¯¯ O(2)?SO(2) £®¬¥®¬®°´­ ®ª°³¦­®±²¨.—¥¬³‡ ¤ · 12.4 Š ª®¬³ ¬­®£®®¡° §¨¾ £®¬¥®¬®°´­® ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¿¬»µ­ ¯«®±ª®±²¨? ‚±¥µ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­»µ ¯°¿¬»µ ­ ¯«®±ª®±²¨?Œ­®£®®¡° §¨¿ (¯°®¤®«¦¥­¨¥)‹¥ª¶¨¿ 13.96Œ­®£®®¡° §¨¿ (¯°®¤®«¦¥­¨¥) ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥ª¶¨¨ ¬» ¯®ª § «¨, ·²® § ¤ ­­»¥ ±¨±²¥¬®© ³° ¢­¥­¨©°¥£³«¿°­»¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¬­®£®®¡° §¨¿¬¨.

 ¯®¬­¨¬, ·²® ± ¬® Rn ² ª¦¥ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¬­®£®®¡° §¨¥.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ± ¬­®£®®¡° §¨¥¬ (¯®¢¥°µ­®±²¼¾), «¥¦ ¹¨¬¢ ¤°³£®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ (¢ Rn). ²® ° ±±¬®²°¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨² ª ±«¥¤³¾¹¥¬³¢ ¦­®¬³ ¯®­¿²¨¾.13.1®¤¬­®£®®¡° §¨¿®¤¬­®¦¥±²¢® M £« ¤ª®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ N ° §¬¥°­®±²¨n ­ §»¢ ¥²±¿ £« ¤ª¨¬ ¯®¤¬­®£®®¡° §¨¥¬ ° §¬¥°­®±²¨ m, ¥±«¨ ¤«¿ ª ¦¤®©²®·ª¨ P 2 M ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ª °² (U; '), P 2 U, ·²® ¬­®¦¥±²¢® '(M \U) ¿¢«¿¥²±¿ m-¬¥°­®© ¯®¢¥°µ­®±²¼¾.ˆ§ ¤®ª § ­­®£® ¢»¸¥ ¢»²¥ª ¥², ·²® ª ¦¤®¥ ¬­®¦¥±²¢® M \ U ¿¢«¿¥²±¿£« ¤ª¨¬ ¬­®£®®¡° §¨¥¬, ¯®½²®¬³ ¨ ¢±¥ ¬­®¦¥±²¢® M ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¬­®£®®¡° §¨¥¬ (¢ ª ·¥±²¢¥ ²« ± ­ ¤® ¢§¿²¼ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ª °² ¯® ¢±¥¬ M \ U).“¯° ¦­¥­¨¥ 13.1 „®ª ¦¨²¥, ·²® O(n) ¨ SL(n; R) ¿¢«¿¾²±¿ £« ¤ª¨¬¨2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.¯®¤¬­®£®®¡° §¨¿¬¨ ¢ Rn .13.2ƒ« ¤ª¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¬­®£®®¡° §¨©, ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬»³±²¼ M ¨ N | ¤¢ ²®¯®«®£¨·¥±ª¨µ ¬­®£®®¡° §¨¿, ¨ f : M ! N | ­¥¯°¥°»¢­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥.

 ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ²®·ª³ P 2 M, ­¥ª®²®°³¾ª °²³ (U ; ') ­ M, ² ª³¾ ·²® P 2 U , ¨ ­¥ª®²®°³¾ ª °²³ (V ; ) ­ N, ² ª³¾ ·²® f(P) 2 V . ’®£¤ ®²®¡° ¦¥­¨¥ f '; 1 , ®¯°¥¤¥«¥­­®¥¢ ­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ ' (P), ­ §»¢ ¥²±¿ ª®®°¤¨­ ²­®© § ¯¨±¼¾®²®¡° ¦¥­¨¿ f. …±«¨ N = R, ²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ­ §»¢ ¥²±¿ ´³­ª¶¨¥© ­ M, ¥±«¨ N = Rn, ²® f ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®°­®-§­ ·­®© ´³­ª¶¨¥© ­ M.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Ž²®¡° ¦¥­¨¥ £« ¤ª®£® m-¬¥°­®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ ¢ £« ¤ª®¥n-¬¥°­®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥ ­ §»¢ ¥²±¿ £« ¤ª¨¬, ¥±«¨ ª ¦¤ ¿ ª®®°¤¨­ ²­ ¿ § ¯¨±¼ ½²®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿ | £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¨§ ­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨¯°®±²° ­±²¢ Rm ¢ ¯°®±²° ­±²¢® Rn. ƒ« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¨§ £« ¤ª®£®¬­®£®®¡° §¨¿ M ¢ R ­ §»¢ ¥²±¿ £« ¤ª®© ´³­ª¶¨¥© ­ M.…±«¨ ± ²®·ª¨ §°¥­¨¿ ²®¯®«®£¨¨ ¬» ­¥ ° §«¨· ¥¬ £®¬¥®¬®°´­»¥ ¯°®±²° ­±²¢ , ²® ¯°¨ ®²®¦¤¥±²¢«¥­¨¨ £« ¤ª¨µ ¬­®£®®¡° §¨© ¬» ¡³¤¥¬ ¤®¯®«­¨²¥«¼­® ­ ª« ¤»¢ ²¼ ³±«®¢¨¥ £« ¤ª®±²¨ ­ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ £®¬¥®¬®°´¨§¬».

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