PDF - лекции (1117947), страница 19

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’¥¬ ± ¬»¬, ±² ¢¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®¬³ ª ± ²¥«¼­®¬³ ¢¥ª²®°³ = (v1 ; : : : ; vn )¢ ±¬»±«¥ ¯¥°¢®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ vi @=@xi (½²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ³±² ­ ¢«¨¢ ¥²±¿ ¢ ª ¦¤®© «®ª «¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² xi), ¬» ¯®«³· ¥¬ ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·­®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ª ± ²¥«¼­»¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ ¢ ±¬»±«¥ ¯¥°¢®£® ¨ ²°¥²¼¥£® ®¯°¥¤¥«¥­¨©. ’¥¬± ¬»¬, ¬» ¯®ª § «¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¼ ¯¥°¢®£® ¨ ²°¥²¼¥£® ®¯°¥¤¥«¥­¨© ª ± ²¥«¼­®£® ¢¥ª²®° .ˆ² ª, ¤®ª § ­ ²¥®°¥¬ .’¥®°¥¬ 13.1 ’°¨ ¯°¨¢¥¤¥­­»¥ ¢»¸¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ª ± ²¥«¼­®£® ¢¥ª²®° ½ª¢¨¢ «¥­²­».Œ®¦­® ¯®ª § ²¼ (¯®¯°®¡³©²¥ ½²® ±¤¥« ²¼), ·²® ½²® ¢¥ª²®°­®¥¯°®±²° ­±²¢® ¢±¥µ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨© ¢ ²®·ª¥ P , ­¥ ²®«¼ª® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨© ° ±±¬®²°¥­­®£® ¢»¸¥ ±¯¥¶¨ «¼­®£® ¢¨¤ , ¨§®¬®°´­® TP M.‡ ¬¥· ­¨¥.101Œ­®£®®¡° §¨¿ (¯°®¤®«¦¥­¨¥)ˆ­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ª ± ²¥«¼­»µ ¢¥ª²®°®¢ ¢ ²®·ª¥ P ª ª ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨© ¢ ½²®© ²®·ª¥ ¯®§¢®«¿¥² ¢¢¥±²¨ ®¡®§­ ·¥­¨¥ @x@ i ¤«¿ ¡ §¨±­»µ¢¥ª²®°®¢ ei ª ­®­¨·¥±ª®£® ¡ §¨± ª ± ²¥«¼­®£® ¯°®±²° ­±²¢ TP M (¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª «®ª «¼­»¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ xi ).‡ ¬¥· ­¨¥.13.4„¨´´¥°¥­¶¨ « ®²®¡° ¦¥­¨¿, ¯®£°³¦¥­¨¿ ¨ ¢«®¦¥­¨¿³±²¼ f : M ! N | £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ m-¬¥°­®£® £« ¤ª®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ M ¢ n-¬¥°­®¥ £« ¤ª®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥ N, ¨ v 2 TP M | ¯°®¨§¢®«¼­»©ª ± ²¥«¼­»© ¢¥ª²®°.

³±²¼ | ª°¨¢ ¿, ² ª ¿ ·²® (0) = P ¨ (0)_ = v. ±±¬®²°¨¬ ®¡° § ª°¨¢®© ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ f. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¥±«¨ª°¨¢ ¿ § ¤ ¥²±¿ £« ¤ª¨¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬ : [a; b] ! M, ²® ¥¥ ®¡° § |½²® £« ¤ª ¿ ª°¨¢ ¿ ¢ N, § ¤ ­­ ¿ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬ f . Š°¨¢ ¿ f ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ®¡° § f(P) ²®·ª¨ P . Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ w ¢¥ª²®° ±ª®°®±²¨ª°¨¢®© f ¢ ²®·ª¥ f(P ). ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, w 2 TP N. Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ « df ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ª ª ®²®¡° ¦¥­¨¥ ª ± ²¥«¼­»µ ¯°®±²° ­±²¢df : TP M ! Tf (P ) N, § ¤ ­­®¥ ² ª: df : v 7! w.‡ ¯¨¸¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ « df ¢ ª®®°¤¨­ ² µ.

³±²¼ (x1 ; : : : ; xm ) | «®ª «¼­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ­ M ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ P, ¨ (y1 ; : : : ; yn ) | «®ª «¼­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ­ N ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ f(P ). ˆ¬¥¥¬:1nj ; : : : ; @y (P )vj = Jv;(P)vw = dfdt (0) = @yj@x@xj£¤¥ J | ¬ ²°¨¶ Ÿª®¡¨ ª®®°¤¨­ ²­®© § ¯¨±¨ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ P .’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¢¨¤¨¬, ·²® ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ®²®¡° ¦¥­¨¿ f | ½²® «¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ª ± ²¥«¼­»µ ¯°®±²° ­±²¢.Ž²®¡° ¦¥­¨¥ f ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®£°³¦¥­¨¥¬, ¥±«¨ ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ P ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ®²®¡° ¦¥­¨¿ f | ¢«®¦¥­¨¥ ª ± ²¥«¼­®£® ¯°®±²° ­±²¢ TP M ¢ª ± ²¥«¼­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® TP N. ‚ · ±²­®±²¨, m n.

®£°³¦¥­¨¥, ¿¢«¿¾¹¥¥±¿ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­»¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬, ­ §»¢ ¥²±¿ ¢«®¦¥­¨¥¬.“¯° ¦­¥­¨¥ 13.3 Ž¡¿§ ­® «¨ ¢«®¦¥­¨¥ ¡»²¼ £®¬¥®¬®°´¨§¬®¬ ± ®¡° -§®¬ (¢ ¨­¤³¶¨°®¢ ­­®© ²®¯®«®£¨¨)?102Œ­®£®®¡° §¨¿ (¯°®¤®«¦¥­¨¥)‡ ¤ ·¨ ª «¥ª¶¨¨ 13f : S 2 ! RP2, ±®¯®±² ¢«¿¾2­ ±´¥°¥ S ¯°¿¬³¾, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ ­ · «® ª®®°¤¨­ ² ¨‡ ¤ · 13.1 „®ª § ²¼, ·²® ®²®¡° ¦¥­¨¥¹¥¥ ²®·ª¥ p²®·ª³ p, ¿¢«¿¥²±¿ £« ¤ª¨¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬ £« ¤ª¨µ ¬­®£®®¡° §¨©.‡ ¤ · 13.2 „®ª § ²¼, ·²® ¯°¨´¥®¬®°´­».n 6= m ¯°®±²° ­±²¢ Rn ¨ Rm ­¥ ¤¨´-(e1 ; : : : ; en) ¢¥ª²®°®¢ ±ª®°®±²¥© ª®®°¤¨­ ²­»µ ª°¨¢»µ, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ¤ ­­³¾ ²®·ª³, ®¡° §³¥² ¡ §¨± ª ± ²¥«¼­®£® ¯°®±²° ­±²¢ .‡ ¤ · 13.3 „®ª ¦¨²¥, ·²® ­ ¡®°‡ ¤ · 13.4 ®±²°®¨²¼ ¢«®¦¥­¨¥, ­¥ ¿¢«¿¾¹¥¥±¿ £®¬¥®¬®°´¨§¬®¬ ± ®¡° -§®¬.Œ­®£®®¡° §¨¿ (¯°®¤®«¦¥­¨¥)‹¥ª¶¨¿ 14.103Œ­®£®®¡° §¨¿ (¯°®¤®«¦¥­¨¥)‚ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨, ¬­®£®®¡° §¨¿ ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ RN .

’¥¬ ± ¬»¬, ¢¢¥¤¿ ¯®­¿²¨¥ ¬­®£®®¡° §¨¿, ¬» ­¥ ¯®«³·¨«¨ ¡®«¥¥ ¸¨°®ª¨© ª« ±± ®¡º¥ª²®¢, ·¥¬ ¯®¢¥°µ­®±²¨.Ž¤­ ª®, ¢® ¬­®£¨µ § ¤ · µ, ­ ¯°¨¬¥°, ¯°¨ ®¯¨± ­¨¨ ª®­´¨£³° ¶¨®­­»µ¯°®±²° ­±²¢ ´¨§¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬, ¯®­¿²¨¥ ¬­®£®®¡° §¨¿ ¢®§­¨ª ¥² ¡®«¥¥¥±²¥±²¢¥­­®, ·¥¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ½²®¬³ ¬­®£®®¡° §¨¾ °¥ «¨§ ¶¨¿ ¢ ¢¨¤¥¯®¢¥°µ­®±²¨. Š°®¬¥ ²®£®, ¥±«¨ ­ ±, ±ª ¦¥¬, ¨­²¥°¥±³¥² ²®¯®«®£¨·¥±ª®¥³±²°®©±²¢® ª®­´¨£³° ¶¨®­­®£® ¯°®±²° ­±²¢ , ²® ¤«¿ ¥£® ®¯¨± ­¨¿ · ±²®¤®±² ²®·­® §­ ­¨¥ ¢­³²°¥­­¨µ ±¢®©±²¢ ¬­®£®®¡° §¨¿, ².¥. ±¢®©±²¢, ­¥ § ¢¨±¿¹¨µ ®² °¥ «¨§ ¶¨¨ ¢ ¢¨¤¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ¢®§¬®¦­®±²¼°¥ «¨§ ¶¨¨ ¬­®£®®¡° §¨© ¢ RN ¯®§¢®«¿¥² ¤®±² ²®·­® «¥£ª® ¤®ª § ²¼ ¬­®£¨¥ ¢ ¦­»¥ ´ ª²» ® ± ¬¨µ ¬­®£®®¡° §¨¿µ. ‚ ¤ ­­®¬ ° §¤¥«¥ ¬» ¯®ª ¦¥¬,·²® ª ¦¤®¥ ª®¬¯ ª²­®¥ £« ¤ª®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥ ¬®¦­® ¢«®¦¨²¼ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¯°®±²° ­±²¢® ­¥ª®²®°®© ° §¬¥°­®±²¨.14.1‚«®¦¥­¨¿ ¨ ¯®£°³¦¥­¨¿ ¬­®£®®¡° §¨© ¢ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯°®±²° ­±²¢®M | £« ¤ª®¥ ª®¬¯ ª²­®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥ ° §¬¥°­®±²¨ n. ’®£¤ ¬­®£®®¡° §¨¥ M ¬®¦­® ¢«®¦¨²¼ ¢ R2n+1¨ ¯®£°³§¨²¼ ¢ R2n.’¥®°¥¬ 14.1 (’¥®°¥¬ “¨²­¨) ³±²¼‚ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨, ¢® ¬­®£¨µ ±«³· ¿µ ° §¬¥°­®±²¼ ®¡º¥¬«¾¹¥£® ¯°®±²° ­±²¢ ³¤ ¥²±¿ ¯®­¨§¨²¼.

 ¯°¨¬¥°, ±¨«¼­ ¿ ²¥®°¥¬ “¨²­¨ ¯®§¢®«¿¥² ¤®ª § ²¼, ·²® ¢®§¬®¦­® ¢«®¦¥­¨¥ ¢ R2n. „°³£®© ¯°¨¬¥°| ¤¢³¬¥°­»¥ ª®¬¯ ª²­»¥ ¬­®£®®¡° §¨¿ ¬®¦­® ¯®£°³§¨²¼ ¢ R3.‡ ¬¥· ­¨¥.14.2¨¬ ­®¢» ¬­®£®®¡° §¨¿°¨ ¨§³·¥­¨¨ ¯®¢¥°µ­®±²¥© ¬» ¢¢¥«¨ ¯®­¿²¨¥ °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨.  ¯®¬­¨¬, ·²® °¨¬ ­®¢ ¬¥²°¨ª (¢ ®¡« ±²¨ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯°®±²° ­±²¢ ¨«¨­ ¯°®¨§¢®«¼­®© ¯®¢¥°µ­®±²¨) | ½²® ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ­ ¢¥ª²®° µª ± ²¥«¼­»µ ¯°®±²° ­±²¢, £« ¤ª® § ¢¨±¿¹¥¥ ®² ²®·¥ª, ¢ ª®²®°»µ ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ª ± ²¥«¼­»¥ ¯°®±²° ­±²¢ .  ¯°®¸«®© «¥ª¶¨¨ ¬» ®¯°¥¤¥«¨«¨ª ± ²¥«¼­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® £« ¤ª®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ M. Ž¡®¡¹¨¬ ²¥¯¥°¼ ¯®­¿²¨¥ °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨ ­ ±«³· © ¬­®£®®¡° §¨©.‘ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥, § ¤ ­­®¥ ­ ª ¦¤®¬ ª ± ²¥«¼­®¬¯°®±²° ­±²¢¥ TP M ª £« ¤ª®¬³ ¬­®£®®¡° §¨¾ M, ­ §»¢ ¥²±¿ °¨¬ ­®¢®©¬¥²°¨ª®©, ¥±«¨ ®­® £« ¤ª® § ¢¨±¨² ®² ²®·ª¨ P .

®±«¥¤­¥¥ ®§­ · ¥², ·²®¥±«¨ (x1; : : : ; xm ) | «®ª «¼­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ­ M, ²® ª®¬¯®­¥­²» °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨ | £« ¤ª¨¥ ´³­ª¶¨¨ gij (x1; : : : ; xm ) ª®®°¤¨­ ² xi. ƒ« ¤ª®¥Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.Œ­®£®®¡° §¨¿ (¯°®¤®«¦¥­¨¥)104¬­®£®®¡° §¨¥ M, ­ ª®²®°®¬ § ¤ ­ °¨¬ ­®¢ ¬¥²°¨ª , ­ §»¢ ¥²±¿ °¨¬ ­®¢»¬ ¬­®£®®¡° §¨¥¬.‚±¯®¬¨­ ¿ § ª®­ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ª®®°¤¨­ ² ª ± ²¥«¼­®£® ¢¥ª²®° ¯°¨§ ¬¥­¥ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² ­ ¬­®£®®¡° §¨¨, ­¥¬¥¤«¥­­® ¯®«³· ¥¬ § ª®­¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ª®¬¯®­¥­² gij °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨ ¯°¨ ² ª¨µ § ¬¥­ µ (½²®²§ ª®­ ² ª®© ¦¥, ª ª ¨ ¤«¿ ±«³· ¿ °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨ ¢ ®¡« ±²¨ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯°®±²° ­±²¢ ¨ ­ ¯®¢¥°µ­®±²¨). € ¨¬¥­­®, ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¥¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥.0°¥¤«®¦¥­¨¥ 14.1 ³±²¼ xi ¨ xi | ¤¢¥ «®ª «¼­»¥ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ²,®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ­ °¨¬ ­®¢®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M ¢ ­¥ª®²®°®¬ ®²ª°»²®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ U M , gij ¨ gi0 j 0 | ª®¬¯®­¥­²» °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨ ¢ ª®®°¤¨0­ ² µ xi ¨ xi ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.

’®£¤ @xi @xj g :gi0 j 0 = @xi0 @xj 0 ij‘¤¥« ¥¬ ­¥±ª®«¼ª® § ¬¥· ­¨©.1) °¨¬¥°®¬ °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨ ¬®¦¥² ±«³¦¨²¼ ¯¥°¢ ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ ¯®¢¥°µ­®±²¨. ’ ª ª ª, ¯® ²¥®°¥¬¥ “¨²­¨, ª ¦¤®¥ ª®¬¯ ª²­®¥¬­®£®®¡° §¨¥ ¬®¦­® ¢«®¦¨²¼ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯°®±²° ­±²¢®, ¯®«³· ¥¬ ±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ².’¥®°¥¬ 14.2  ª ¦¤®¬ £« ¤ª®¬ ª®¬¯ ª²­®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ ¬®¦­® ¢¢¥-±²¨ °¨¬ ­®¢³ ¬¥²°¨ª³. ± ¬®¬ ¤¥«¥, ²¥®°¥¬ ® ¢«®¦¥­¨¨ £« ¤ª®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¯°®±²° ­±²¢® ­¥ª®²®°®© ° §¬¥°­®±²¨ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¨ ¤«¿ ­¥ª®¬¯ ª²­»µ¬­®£®®¡° §¨©.

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­ ª ¦¤®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ ¬®¦­® ¢¢¥±²¨°¨¬ ­®¢³ ¬¥²°¨ª³.2) Š ª ¨ ¤«¿ ±«³· ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¥©, °¨¬ ­®¢ ¬¥²°¨ª ¯®§¢®«¿¥² ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¤«¨­» ª°¨¢»µ ¨ ³£«» ¬¥¦¤³ ª°¨¢»¬¨.3) Š ª ¨ ¢ ±«³· ¥ ¯®¢¥°µ­®±²¥©, °¨¬ ­®¢³ ¬¥²°¨ª³ gij ³¤®¡­® § ¯¨±»¢ ²¼ ¢ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®© ´®°¬¥, ¨¬¥­­®, ¢ ¢¨¤¥ ds2 = gij dxidxj , ·²®¯®§¢®«¿¥² ¢»·¨±«¿²¼ ª®®°¤¨­ ²» °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨ ¢ «¾¡®© «®ª «¼­®©±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ², ±®¢¥°¸ ¿ ´®°¬ «¼­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿, ¨§¢¥±²­»¥ ¨§ª³°± ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ­ «¨§ .4) Š ª ¨ ¢ ±«³· ¥ ¯®¢¥°µ­®±²¥©, ¬» ¬®¦¥¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¨­¤³¶¨°®¢ ­­³¾ ¬¥²°¨ª³ ­ ¯®¤¬­®£®®¡° §¨¨ ª ª ®£° ­¨·¥­¨¥ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿, § ¤ ­­®£® ­ ®¡º¥¬«¾¹¥¬ ¬­®£®®¡° §¨¨, ­ ª ¦¤®¥ ª ± ²¥«¼­®¥¯°®±²° ­±²¢® ¯®¤¬­®£®®¡° §¨¿.5) …±«¨ ¨¬¥¥²±¿ ¯®£°³¦¥­¨¥ f : M ! N £« ¤ª®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ M ¢£« ¤ª®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥ N, ¨ ­ N § ¤ ­ °¨¬ ­®¢ ¬¥²°¨ª h; iN , ²® ½²³¬¥²°¨ª³ ¬®¦­® ¯¥°¥­¥±²¨ ­ M ² ª:h; iM = df(); df() N ;Œ­®£®®¡° §¨¿ (¯°®¤®«¦¥­¨¥)105².¥.

±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ª ± ²¥«¼­»µ ¢¥ª²®°®¢ ­ M ¢ ² ª®© ¬¥²°¨ª¥h; iM ° ¢­® ±ª «¿°­®¬³ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ¢ ¬¥²°¨ª¥ h; iN ¨µ ®¡° §®¢ ¯°¨¤¥©±²¢¨¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨ « df. …±«¨ yi | «®ª «¼­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ­ N, ¨ ¢½²¨µ ª®®°¤¨­ ² µ ª®¬¯®­¥­²» ¬¥²°¨ª¨ ¨¬¥¾² ¢¨¤ gij , xi | «®ª «¼­»¥ª®®°¤¨­ ²» ­ M, ¨ (f g)ij | ª®¬¯®­¥­²» ¯¥°¥­¥±¥­­®© ¬¥²°¨ª¨, ²® ¤«¿«¾¡»µ ª ± ²¥«¼­»µ ª M ¢¥ª²®°®¢ ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨ i ¨ ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨ i ¢»¯®«­¿¥²±¿@xi @xj k l :(f g)ij i j = gij df()i df()j = gij @yk @yl…±«¨ ®¡ ¬­®£®®¡° §¨¿ M ¨ N ­ ¤¥«¥­» °¨¬ ­®¢»¬¨ ¬¥²°¨ª ¬¨ hij ¨ gij±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ­ §»¢ ¥²±¿ ¨§®¬¥²°¨¥©, ¥±«¨ (f g)ij =hij .

„«¿ °¨¬ ­®¢»µ ¬­®£®®¡° §¨© °®«¼ ¨§®¬®°´¨§¬ ¨£° ¾² ¨§®¬¥²°¨·­»¥ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬». € ¨¬¥­­®, ¤¢ °¨¬ ­®¢»µ ¬­®£®®¡° §¨¿ M ¨ N ­ §»¢ ¾²±¿ ¨§®¬¥²°¨·­»¬¨, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬ f : M ! N,¿¢«¿¾¹¨©±¿ ¨§®¬¥²°¨¥©.‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¨§®¬¥²°¨¨ ±®µ° ­¿¾² ¤«¨­» ª°¨¢»µ ¨ ³£«» ¬¥¦¤³ª°¨¢»¬¨.14.3Ž°¨¥­²¨°³¥¬®±²¼ ¬­®£®®¡° §¨© ¯®¬­¨¬, ·²® ®°¨¥­² ¶¨¥© ¢¥ª²®°­®£® ¯°®±²° ­±²¢ Rn ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¡ §¨±®¢ ½²®£® ¯°®±²° ­±²¢ , ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ¬¥¦¤³ ª®²®°»¬¨ ¨¬¥¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­»© ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼. •®°®¸® ¨§¢¥±²­®, ·²® ³ ª ¦¤®£® ¢¥ª²®°­®£® ¯°®±²° ­±²¢ ±³¹¥±²¢³¥² °®¢­® ¤¢¥ ®°¨¥­² ¶¨¨. Œ»µ®²¨¬ ¯¥°¥­¥±²¨ ¯®­¿²¨¥ ®°¨¥­² ¶¨¨ ­ £« ¤ª¨¥ ¬­®£®®¡° §¨¿ M.

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