PDF - лекции (1117947), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Ž±®¡¥­­® ³¤®¡­® ° ¡®² ²¼ ± ª®­´®°¬­®-¥¢ª«¨¤®¢»¬¨ ¬¥²°¨ª ¬¨, ².¥. ¬¥²°¨ª ¬¨, § ¤ ­­»¬¨ ¢ ¢¨¤¥ ds2 = (du2 + dv2 ). „«¿ ²®£®, ·²®¡» § ¯¨± ²¼¬¥²°¨ª³ ¢ ª®¬¯«¥ª±­®© ´®°¬¥, ¢¢¥¤¥¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ª®¬¯«¥ª±­»¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «»:dz = du + i dv; dz = du ; i dv:‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® du2 +dv2 = dz dz, ¯®½²®¬³ ª®­´®°¬­®-¥¢ª«¨¤®¢ ¬¥²°¨ª ds2 = (du2 + dv2) ¢ ª®¬¯«¥ª±­®¬ ¢¨¤¥ ¢»£«¿¤¨² ² ª: ds2 = dz dz .+b³±²¼ z = awcw+d | ¤°®¡­®-«¨­¥©­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥. ’®£¤ d) ; c(aw + b) dw = ad ; cb dw; dz = ad ; cb dw;dz = a(cw +(cw+ d)2(cw + d)2(cw + d)2¯®½²®¬³; cbj2 dw dw;ds2 = dz dz = jjadcw + dj4².¥.

¬¥²°¨ª ¯®-¯°¥¦­¥¬³ ¨¬¥¥² ª®­´®°¬­®-¥¢ª«¨¤®¢ ¢¨¤. ˆ² ª, ¬» ¤®ª § «¨ ±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ².°¥¤«®¦¥­¨¥ 9.6 „°®¡­®-«¨­¥©­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ±®µ° ­¿¾² ª®­´®°¬­®-¥¢ª«¨¤®¢ ¢¨¤ ¬¥²°¨ª¨. ‚ · ±²­®±²¨, ¤«¿ ª®­´®°¬­®-¥¢ª«¨¤®¢»µ ¬¥²°¨ª,¤°®¡­®-«¨­¥©­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ±®µ° ­¿¾² ³£«» ¬¥¦¤³ ª°¨¢»¬¨.°¨¢¥¤¥¬ ¯°¨¬¥° ª®¬¯«¥ª±­®© § ¯¨±¨ ¬¥²°¨ª¨ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨,±´¥°» ¨ ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£®:1) ds2 = dz dz (¬¥²°¨ª ¯«®±ª®±²¨), z = u + iv, (u; v) | ±² ­¤ °²­»¥¥¢ª«¨¤®¢ ª®®°¤¨­ ²»;z2) ds2 = (14+dzjzd2)2 (¬¥²°¨ª ±´¥°»), z = u + iv, (u; v) | ±²¥°¥®£° ´¨j·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨­ ²»;z (¬¥²°¨ª ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® ¢ ¬®¤¥«¨ ³ ­3) ds2 = (14;dzjzd2j )2ª °¥), z = u + iv, (u; v) | ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨­ ²». ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ¥¹¥ ®¤­³ ¬®¤¥«¼ ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£®.

³±²¼w = ;i zz+;ii | ­¥ª®²®°®¥ ¤°®¡­®-«¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¯«®±ª®±²¨. ®±¬®²°¨¬, ª³¤ ¯¥°¥©¤¥² ®ª°³¦­®±²¼ S 1 = fjz j = 1g, ².¥. ¡±®«¾² ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£®. ’ ª ª ª ¤°®¡­®-«¨­¥©­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ¯¥°¥¢®¤¿²®ª°³¦­®±²¨ ¢ ®ª°³¦­®±²¨ (­ ¯®¬­¨¬, ·²® ¯°¿¬»¥ ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ª ª· ±²­»© ±«³· © ®ª°³¦­®±²¥©), ²® ®¡° § ª ¦¤®© ®ª°³¦­®±²¨ ®¤­®§­ ·­®ƒ¥®¬¥²°¨¿ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® (¯°®¤®«¦¥­¨¥)68§ ¤ ¥²±¿ ®¡° § ¬¨ «¾¡»µ ²°¥µ ¥¥ ²®·¥ª, ­¥ ³µ®¤¿¹¨µ ­ ¡¥±ª®­¥·­®±²¼. ‚ª ·¥±²¢¥ ² ª¨µ ²®·¥ª ¢®§¼¬¥¬ ;1, ;i ¨ 1. ˆ¬¥¥¬;1 7! ;i ;;11 +; ii = ;i (;1 + i)(2 ;1 + i) = ;i ;22i = ;1;i 7! 0+ i = ;i (1 + i)(1 + i) = ;i 2i = 1;1 7! ;i 11 ;i22¯®½²®¬³ ¡±®«¾² ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ¢¥¹¥±²¢¥­­³¾ ®±¼. Ž²±¾¤ ¢»²¥ª ¥², ·²®¢­³²°¥­­®±²¼ ¥¤¨­¨·­®£® ª°³£ D2 ¯°¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¨¯¥°¥µ®¤¨² ¨«¨ ¢ ¢¥°µ­¾¾, ¨«¨ ¢ ­¨¦­¾¾ ¯®«³¯«®±ª®±²¼.

—²®¡» ®¯°¥¤¥«¨²¼, ¢ ª ª³¾ ¨§ ¯®«³¯«®±ª®±²¥© ¯¥°¥µ®¤¨² D2 , ° ±±¬®²°¨¬, ª³¤ ¯¥°¥µ®¤¨² 0 2 D2 (¿±­®, ·²® ²³¤ ¦¥ ¯¥°¥µ®¤¨² ¨ ¢­³²°¥­­®±²¼ D2 ). ˆ¬¥¥¬0 7! ;i ;ii = i;¯®½²®¬³ ¢­³²°¥­­®±²¼ D2 ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ¢¥°µ­¾¾ ¯®«³¯«®±ª®±²¼. ˆ§ ¯°¥¤«®¦¥­¨© 9.2 ¨ 9.6 ¢»²¥ª ¥², ·²® ¯°¿¬»¥ ¬®¤¥«¨ ³ ­ª °¥ ¯¥°¥µ®¤¿² ¢ ®ª°³¦­®±²¨ ¨ ¯°¿¬»¥, ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­»¥ ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ®±¨. ² ¬®¤¥«¼ ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® ­ §»¢ ¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¢¥°µ­¥© ¯®«³¯«®±ª®±²¨.‚»·¨±«¨¬, ª ª ¢»£«¿¤¨² ¬¥²°¨ª ‹®¡ ·¥¢±ª®£® ¢ ¬®¤¥«¨ ¢¥°µ­¥© ¯®«³¯«®±ª®±²¨. „«¿ ½²®£®, ¯°¥¦¤¥ ¢±¥£®, ­ ©¤¥¬ ®¡° ²­®¥ ¤°®¡­®-«¨­¥©­®¥¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥, ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ¬®¤¥«¼ ¢¥°µ­¥© ¯®«³¯«®±ª®±²¨ ¢ ¬®¤¥«¼ ³ ­ª °¥.

‚®±¯®«¼§®¢ ¢¸¨±¼ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥¬ 9.4, ­ ©¤¥¬, ·²® ½²® ®¡° ²­®¥¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤ (§ ¤ ¥²±¿ ®¡° ²­®© ¬ ²°¨¶¥©):; 1 iw + 1 w ; iz = ;;iww ; i = w + i = iw + i:Ž²ª³¤ i) ; (iw + 1) dw = ; 2 dw; dz = ; 2 dw;dz = i(w +(w+ i)2(w + i)2(w + i)2dz dz = 4jwdw+ dijw4 ;2+ 1j2)2 = (jw + ij2 ; jw ; ij2)2 =(1 ; jz j2)2 = (jw + ijjw;+jiw4ijjw + ij4(iw ; iw ; iw + iw) 2 = ; 4(w ; w) 2;4jw + ijjw + ij4,4 dz dz = ; 16 dw dw 4(w ; w) 2 = ; 4 dw dw = du2 + dv2 :)(1 ; jz j2)2jw + ij4jw + ij4(w ; w)2v2ˆ² ª, ¤®ª § ­® ±«¥¤³¾¹¥¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥.ds2 =ƒ¥®¬¥²°¨¿ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® (¯°®¤®«¦¥­¨¥)69°¥¤«®¦¥­¨¥ 9.7 ‚ ¬®¤¥«¨ ¢¥°µ­¥© ¯®«³¯«®±ª®±²¨ ¬¥²°¨ª ‹®¡ ·¥¢-±ª®£® ¨¬¥¥² ¢¨¤ :£¤¥22dzds2 = du v+2 dv = ; (z4 dz; z)2 ;z = u + iv | ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ª®¬¯«¥ª±­ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿.70ƒ¥®¬¥²°¨¿ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® (¯°®¤®«¦¥­¨¥)‡ ¤ ·¨ ª «¥ª¶¨¨ 9‡ ¤ · 9.1 „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ w = f(z) | ¤°®¡­®-«¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥, ²® ¤«¿ «¾¡»µ ·¥²»°¥µ ²®·¥ª z , z1, z2 , z3 ¨ ¨µ ®¡° §®¢ w, w1 , w2 , w3¢»¯®«­¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥¥ ° ¢¥­±²¢®:z ; z1 : z2 ; z1 = w ; w1 : w2 ; w1 :z ; z3 z2 ; z3 w ; w3 w2 ; w3z1 z2 ;z1ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¤¢®©­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ zz;;z3 : z2 ;z3 ±®µ° ­¿¥²±¿ ¯°¨ ¤°®¡­®-«¨­¥©­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿µ.

‚»¢¥±²¨ ®²±¾¤ , ·²® ¤«¿ «¾¡»¥ ²°¨ ° §«¨·­»¥ ²®·ª¨ ¬®¦­® ¯¥°¥¢¥±²¨ ¢ «¾¡»µ ²°¨ ° §«¨·­»¥ ²®·ª¨ ± ¯®¬®¹¼¾­¥ª®²®°®£® ¤°®¡­®-«¨­¥©­®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿, ¯°¨·¥¬ ² ª®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ¥¤¨­±²¢¥­­®.‡ ¤ · 9.2 „®ª § ²¼, ·²® ¢±¥ ¤°®¡­®-«¨­¥©­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿, ¯¥°¥¢®-¤¿¹¨¥ ¥¤¨­¨·­»© ª°³£ ¢ ±¥¡¿, ¬®£³² ¡»²¼ § ¯¨± ­» ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¢¨¤¥:z 7! ei' 1z;;zz0z ;0£¤¥' 2 R, z0 | ª®¬¯«¥ª±­®¥ ·¨±«®, ² ª®¥ ·²® jz0 j < 1.‡ ¤ · 9.3 „®ª § ²¼, ·²® ¢±¥ ¤°®¡­®-«¨­¥©­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿, ¯¥°¥¢®-¤¿¹¨¥ ¢¥°µ­¾¾ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ ¢ ±¥¡¿, ¬®£³² ¡»²¼ § ¯¨± ­» ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬¢¨¤¥:+bz 7! azcz + d ;a b£¤¥ ·¨±« a, b, c ¨ d | ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥, ¨ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ¬ ²°¨¶»c d° ¢¥­ ¥¤¨­¨¶¥.„«¿ °¥¸¥­¨¿ ¯°¨¢®¤¨¬»µ ­¨¦¥ § ¤ · ¢®±¯®«¼§³©²¥±¼ ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬®©:’¥®°¥¬ 9.1 ‚±¥ ¤°®¡­®-«¨­¥©­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿, ¯¥°¥¢®¤¿¹¨¥ ¥¤¨­¨·-­»© ª°³£ ¢ ±¥¡¿, ¿¢«¿¾²±¿ ¤¢¨¦¥­¨¿¬¨ ¬¥²°¨ª¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® ¢ ¬®¤¥«¨³ ­ª °¥, ².¥.

­¥ ¬¥­¿¾² ¬¥²°¨ª³ ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£®. ‚±¥ ¤°®¡­®«¨­¥©­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿, ¯¥°¥¢®¤¿¹¨¥ ¢¥°µ­¾¾ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ ¢ ±¥¡¿, ¿¢«¿¾²±¿ ¤¢¨¦¥­¨¿¬¨ ¬¥²°¨ª¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® ¢ ¬®¤¥«¨ ¢¥°µ­¥© ¯®«³¯«®±ª®±²¨, ².¥. ­¥ ¬¥­¿¾² ¬¥²°¨ª³ ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£®.A = (1=2; 1=2),¢ ±«³· ¥, ª®£¤ ª®®°¤¨­ ²»‡ ¤ · 9.4 „ ­» ¤¢¥ ²®·ª¨ ­ ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£®:B = (0:3; 0:9). ©²¨ ±¥°¥¤¨­³ ®²°¥§ª ²®·¥ª ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ABƒ¥®¬¥²°¨¿ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® (¯°®¤®«¦¥­¨¥)711) ¢ ¬®¤¥«¨ ³ ­ª °¥;2) ¢ ¬®¤¥«¨ ¢¥°µ­¥© ¯®«³¯«®±ª®±²¨.‡ ¤ · 9.5 „®ª § ²¼, ·²® ®²°¥§®ª ¯°¿¬®© ­ ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£®¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨B.A ¨ B ¥±²¼ ª° ²· ©¸ ¿ ª°¨¢ ¿, ±®¥¤¨­¿¾¹ ¿ ²®·ª¨ A ¨‡ ¤ · 9.6  ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨ ­ ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® |½²® ¤«¨­ ®²°¥§ª ¯°¿¬®© ‹®¡ ·¥¢±ª®£® ¬¥¦¤³ ½²¨¬¨ ²®·ª .

 ©²¨° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨ ­ ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® ¢ ¬®¤¥«¨ ³ ­ª °¥ ¨ ¢ ¬®¤¥«¨ ¢¥°µ­¥© ¯®«³¯«®±ª®±²¨.„¢¨¦¥­¨¿ ¨«¨ ¨§®¬¥²°¨¨ °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨‹¥ª¶¨¿ 10.72„¢¨¦¥­¨¿ ¨«¨ ¨§®¬¥²°¨¨ °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨„«¿ ¨§³·¥­¨¿ £¥®¬¥²°¨¨ ¢ ¦­»¬ ®¡º¥ª²®¬ ¿¢«¿¾²±¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿, ±®µ° ­¿¾¹¨¥ ¢±¥ ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ±¢®©±²¢ . ’ ª¨¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ­ §»¢ ¾²±¿¤¢¨¦¥­¨¿¬¨.³±²¼ Rn | ­¥ª®²®° ¿ ®¡« ±²¼.  ±±¬®²°¨¬ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­®¥£« ¤ª®¥ ¢ ®¡¥ ±²®°®­» ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ®¡« ±²¨ ­ ±¥¡¿, § ¤ ­­®¥ ¢ ¢¨¤¥81><y = y1 (x1; : : : ; xn)>yn :=: :yn (x1; : : : ; xn)::’ ª¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ­ §»¢ ¾²±¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿¬¨ ®¡« ±²¨ . Ž²¬¥²¨¬,·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© ®¡« ±²¨ ®¡° §³¥² £°³¯¯³, ¢ ª®²®°®©³¬­®¦¥­¨¥ | ½²® ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨©.„ «¥¥, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¢ ®¡« ±²¨ § ¤ ­ ­¥ª®²®° ¿ °¨¬ ­®¢ ¬¥²°¨ª gij .

°¥®¡° §®¢ ­¨¥ f ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª § ¬¥­³ ª°¨¢®«¨­¥©­»µ ª®®°¤¨­ ², ¯®½²®¬³ ­ ¸ ¬¥²°¨ª ¢ ª®®°¤¨­ ² µ yi § ¯¨¸¥²±¿ ² ª:@xi @xj g ;x1 (y1 ; : : : ; yn ); : : : ; xn(y1 ; : : : ; yn )hkl (y1 ; : : : ; yn ) = @yk @yl ij°¥®¡° §®¢ ­¨¥ f ­ §»¢ ¥²±¿ ¨§®¬¥²°¨¥© ¨«¨ ¤¢¨¦¥­¨¥¬ ¬¥²°¨ª¨ gij ,¥±«¨;hij (y1 ; : : : ; yn ) = gij x1 (y1 ; : : : ; yn ); : : : ; xn(y1 ; : : : ; yn ) :‹¥£ª® ¯°®¢¥°¿¥²±¿, ·²® ²®¦¤¥±²¢¥­­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ®¡« ±²¨ ­ ±¥¡¿¿¢«¿¥²±¿ ¤¢¨¦¥­¨¥¬, ®¡° ²­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ;1 | ¤¢¨¦¥­¨¥, ² ª¦¥ ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¤¢¨¦¥­¨© | ¤¢¨¦¥­¨¥, ¯®½²®¬³ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¤¢¨¦¥­¨© ®¡° §³¥² £°³¯¯³, ­ §»¢ ¥¬³¾ £°³¯¯®© ¤¢¨¦¥­¨© ¨«¨ £°³¯¯®© ¨§®¬¥²°¨© °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨ gij .Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¡±®«¾²­® ­ «®£¨·­»¬ ®¡° §®¬ ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¤¢¨¦¥­¨¿ «¾¡®© ¯®¢¥°µ­®±²¨, ².¥.

¤¢¨¦¥­¨¿ ¨­¤³¶¨°®¢ ­­®© ­ ¯®¢¥°µ­®±²¨¬¥²°¨ª¨. ±±¬®²°¨¬ ¯°¨¬¥°».10.1„¢¨¦¥­¨¿ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¬¥²°¨ª¨1) Ž¯¨¸¥¬ ¢±¥ ´´¨­­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ¯°®±²° ­±²¢ Rn, ±®µ° ­¿¾¹¨¥¥¢ª«¨¤®¢³ ¬¥²°¨ª³. ³±²¼ A = (aij ) | ¬ ²°¨¶ ² ª®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿, c| ±¤¢¨£. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ³±²°®¥­® ² ª: x 7! Ax+c, £¤¥x 2 Rn. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¥£® ¬ ²°¨¶ Ÿª®¡¨ ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ ±®¢¯ ¤ ¥² ±¬ ²°¨¶¥© A. “±«®¢¨¥ ±®µ° ­¥­¨¿ ¬¥²°¨ª¨ ¢»£«¿¤¨² ² ª:ij = aki alj kl ;„¢¨¦¥­¨¿ ¨«¨ ¨§®¬¥²°¨¨ °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨73¨«¨, ¢ ¬ ²°¨·­®¬ ¢¨¤¥, AT A = E, £¤¥ E | ¥¤¨­¨·­ ¿ ¬ ²°¨¶ .

 ¯®¬­¨¬,·²® ² ª¨¥ ¬ ²°¨¶» A ­ §»¢ ¾²±¿ ®°²®£®­ «¼­»¬¨.ˆ² ª, ¬» ¤®ª § «¨ ±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ².A ¿¢«¿¥²±¿¤¢¨¦¥­¨¥¬ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¬¥²°¨ª¨ ¯°®±²° ­±²¢ Rn ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨AT A = E , ².¥. A | ®°²®£®­ «¼­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥.°¥¤«®¦¥­¨¥ 10.1 €´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ± ¬ ²°¨¶¥©Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ®°²®£®­ «¼­»µ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© ¯°®±²° ­±²¢ Rn ®¡° §³¥² £°³¯¯³, ®¡®§­ · ¥¬³¾ O(n). Š°®¬¥ ²®£®, «¥£ª® ¢¨¤¥²¼,·²® ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ª ¦¤®£® ®°²®£®­ «¼­®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ¨«¨ ° ¢¥­ 1,¨«¨ ;1 (det(AT A) = (det A)2 = det E = 1). Œ­®¦¥±²¢® ®°²®£®­ «¼­»µ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© ± ®¯°¥¤¥«¨²¥«¥¬ 1 ®¡° §³¥² ¯®¤£°³¯¯³ ±¯¥¶¨ «¼­»µ ®°²®£®­ «¼­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨©, ®¡®§­ · ¥¬³¾ ·¥°¥§ SO(n).…±«¨ n = 1, ²® ¨¬¥¥²±¿ °®¢­® ¤¢ ®°²®£®­ «¼­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿: x 7!x ¨ x 7! ;x.

¥°¢®¥ ¨§ ­¨µ ¿¢«¿¥²±¿ ±¯¥¶¨ «¼­»¬ ®°²®£®­ «¼­»¬.a b…±«¨ n = 2, ²® ³±«®¢¨¿ ®°²®£®­ «¼­®±²¨ ¬ ²°¨¶» A = c d ¨¬¥¾²¢¨¤:a2 + c2 = 1; b2 + d2 = 1; ab + cd = 0:…±«¨ ' ¨ | ¯®«¿°­»¥ ³£«» ²®·¥ª ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨ (a; c) ¨ (b; d), ²®, ² ªª ª ¢¥ª²®°» (a; c) ¨ (b; d) ®°²®£®­ «¼­», ³£«» ' ¨ ±¢¿§ ­» ¤°³£ ± ¤°³£®¬² ª: = ' =2 + 2k. Ž²ª³¤ ¬ ²°¨¶ A ¨¬¥¥² ®¤¨­ ¨§ ¤¢³µ ¢®§¬®¦­»µ¢¨¤®¢: cos ' ; sin ' cos ' sin ' A = sin ' cos '¨«¨ A = sin ' ; cos ' :¥°¢ ¿ ¨§ ½²¨µ ¬ ²°¨¶ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ±¯¥¶¨ «¼­®© ®°²®£®­ «¼­®© £°³¯¯¥.Œ®¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ´´¨­­»¬¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿¬¨ ± ®°²®£®­ «¼­»¬¨ ¬ ²°¨¶ ¬¨ ¨±·¥°¯»¢ ¾²±¿ ¢±¥ ¤¢¨¦¥­¨¿.

ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨,¢¥°­ ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ : £°³¯¯ Iso(Rn) ¢±¥µ ¤¢¨¦¥­¨© ¥¢ª«¨¤®¢ ¯°®‡ ¬¥· ­¨¥.±²° ­±²¢ Rn | ½²® £°³¯¯ ¢±¥µ ´´¨­­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨©, ¬ ²°¨¶»ª®²®°»µ | ®°²®£®­ «¼­».10.2“­¨² °­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ±±¬®²°¨¬ ª®¬¯«¥ª±­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® C n .  ­¥¬ ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥: ¤«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ¢¥ª²®°®¢ z = (z 1 ; : : : ; z n) ¨ w =(w1; : : : ; wn) ¯®«®¦¨¬nXhz; wiC = z k wk :k=1²® ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨:74„¢¨¦¥­¨¿ ¨«¨ ¨§®¬¥²°¨¨ °¨¬ ­®¢®© ¬¥²°¨ª¨1) hz; wiC = hz; wiC ; hz; wiC = hz; wiC ,2) hw; z iC = hz; wiC ,3) hw1 + w2; z iC = hw1; z iC + hw2; z iC ; hw; z1 + z2 iC = hw; z1iC + hw; z2 iC ,4) hz; z iC > 0 ¯°¨ z 6= 0.‘ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥¥ ¯¥°¥·¨±«¥­­»¬ ±¢®©±²¢ ¬,­ §»¢ ¥²±¿ ½°¬¨²®¢»¬.Š ª ¢»£«¿¤¿² ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ¯°®±²° ­±²¢ C n , ±®µ° ­¿¾¹¨¥ ½°¬¨²®¢®±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥? ³±²¼ A | ­¥¢»°®¦¤¥­­ ¿ ª®¬¯«¥ª±­ ¿ ¬ ²°¨¶ .® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, ¤«¿ «¾¡»µ z ¨ w ¨¬¥¥¬ hAz; AwiC = hz; wiC , ¨«¨(Az)T (Aw) = z T AT Aw = z T w;®²ª³¤ , ¢ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ z ¨ w, ¯®«³· ¥¬, ·²®AT A = E; ¨«¨ AT A = E:Œ ²°¨¶», ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥ ¯®±«¥¤­¥¬³ ³° ¢­¥­¨¾, ­ §»¢ ¾²±¿ ½°¬¨²®¢»¬¨.

Ž­¨, ®·¥¢¨¤­®, ®¡° §³¾² £°³¯¯³, ®¡®§­ · ¥¬³¾ ·¥°¥§ U(n). Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ A | ½°¬¨²®¢ ¬ ²°¨¶ , ²® = det(A)det(A) = j det(A)j = 1;det(AT A) = det(A) det(A)¯®½²®¬³ det A = ei' .‘°¥¤¨ ½°¬¨²®¢»µ ¬ ²°¨¶ ¢»¤¥«¿¾²±¿ ¬ ²°¨¶» ± ®¯°¥¤¥«¨²¥«¥¬, ° ¢­»¬ 1. Ž­¨ ­ §»¢ ¾²±¿ ±¯¥¶¨ «¼­® ½°¬¨²®¢»¬¨ ¨ ² ª¦¥ ®¡° §³¾² £°³¯¯³,ª®²®° ¿ ®¡®§­ · ¥²±¿ ·¥°¥§ SU(n).10.3„¢¨¦¥­¨¿ ±´¥°» ·­¥¬ ±® ±«¥¤³¾¹¥£® § ¬¥· ­¨¿.

Характеристики

Список файлов лекций