Н.Н. Шамаров - Расширенный конспект лекций О.Г. Смолянова (1117925), страница 10

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…±«¨| ¬¥° ¨ ¯°®±²»¥¢®§° ±² ¾², ±²°¥¬¿±¼ ª¯°®±²»¥gn > 0ª®­¥·­»©) (g ).fn > 0gfn > 0supn fn = supn gn¢®§° ±² ¾² ª ¯°®±²®©Š ª ±«¥¤±²¢¨¥, ¥±«¨ [¯°®±²»¥, ¯°¨·¥¬ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ª®­¥·­»©)limn (fn ) = lim n (gn ) ., ²® ¨ §­ ·¥­¨¿ (fn )¢®§° ±² ¾², ª ª ¨], ²® (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­®„®ª § ²¥«¼±²¢®. . —²®¡» ¤®ª § ²¼ ¯¥°¢®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ «¥¬¬», ¤®±² ²®·­® ¯°¨¬¥­¨²¼¯°¥¤»¤³¹³¾ «¥¬¬³ ª ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ g , fn . „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¢²®°®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ «¥¬¬» ¯°¨¬¥­¨¬ ¯¥°¢®¥: ²®£¤ 8mlimn (fn ) > limn (min(fn ; gm)) = (gm ) ,¯®½²®¬³ limn (fn ) > limm (gm ) , § ²¥¬, ¢ ±¨«³ ±¨¬¬¥²°¨¨ ° ±±³¦¤¥­¨¿, > ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ ­ =.

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°®¢¥°ª ±µ®¤¨¬®±²¨Plimn fn (x) = sup fn (x) = (Bj ) = (§¤¥±¼ ¨±¯®«¼§³¥¬ ±·¥²­³¾ ¤¤¨²¨¢­®±²¼ )nj 2N;Aj3x37RRP= (j 2Nt;A 3x Bj ) = 1j2N;tA 3x Bj (y ) (dy ) = (jR Pjj 2N;Aj3xR P1Aj (x)1Bj (y ) (dy ) =RR( 1Aj (x)1Bj (y )) (dy ) = ( 1Aj Bj )(x; y )(dy ) = 1AB (x; y ) (dy ) = 1B (y ) (dy ) =j 2Nj 2N (B ) = f0 (x).R„ «¥¥, ¤«¿ ¯°®¢¥°ª¨ ° ¢¥­±²¢ fn = cn . ª ª ¨ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ª®­¥·­®© ¤¤¨²¨¢­®±²¨ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¬¥°, ¯®« £ ¥¬ N = fS : S f1; 2; :::; ngg ; ¤«¿ ª ¦¤®£® S 2 N®¡®§­ ·¨¬ AS = j \=1 ASj , £¤¥ ASj = Aj ¯°¨ j 2 S , ¨ ASj = A n Aj ¯°¨ j 2= S ’®£¤ ±¯° ¢¥¤«¨¢» ° ¢¥­±²¢ :8j 2 f1; 2; :::; ng Aj = S2N;St 3j AS ,fn =RPfn ==/nP1AS S 2NPS 2NPj =1 S 2N ;S 3j!Pj 6n;j 2S(AS ) (Bj ) ,Pj 6n;j 2S! (Bj ) =(AS ) (Bj ) =nPj =1(Aj ) (Bj ) = ±j .„ «¥¥ ²°®©ª [; A; i ² ª®¢ , ·²® A | - «£¥¡° ± ¥¤¨­¨¶¥© =[A , | ¯®«­ ¿ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­ ¿ ·¨±«®¢ ¿ (¢ · ±²­®±²¨, ®£° ­¨·¥­­ ¿) ¬¥° ­ A .‡ ¬¥· ­¨¥ 40 {Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.¬®¤¨´¨ª ¶¨¾ ´³­ª¶¨¨A-¯°®±²»µfng„«¿ ª ¦¤®©A-¨§¬¥°¨¬®© ¨ ¨¬¥¾¹¥© ®£° ­¨·¥­³¾ ±­¨§³­ ©¤¥²±¿ ­¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ¨ ¯.¢.

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„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¯¥°¢®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ¨±¯®«¼§³¥¬ «¨­¥©­®±²¼ ¨­²¥£° « ®² ¯°®±²»µ ´³­ª¶¨© ¨ ¯¥°¥©¤¥¬ ª ¯°¥¤¥«³ ±³¬¬» ¨­²¥£° «®¢ ¨ ª ¯°¥¤¥«³ ª° ²­®©¢¥«¨·¨­». ‚²®°®¥ ®·¥¢¨¤­®. /Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 26. ²®² ª®­³± ®¡®§­ ·¨¬·¥­­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨, ®¡®§­ ·¨¬L01L+1; ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¢ ­¥¬, ®¡° §®¢ ­­®¥ ®£° ­¨-.’¥®°¥¬ 9 .

 L+1 ¨­²¥£° « «¨­¥¥­ (¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¥±«¨ f; g; h 2 L01 , 2 R ¨ h = f + g ,nP+²® (h) = (f ) + (g ) ; ¨ ¥±«¨ gj 2 L1 , j 2 R (j = 1; 2; :::; n) ¨ h =j gj 2 L+1 , ²®h =nPj =1j (gj )L1 = ff , g; f; g 2 L+1 g);  «¨­¥©­³¾ ®¡®«®·ª³ ª®­³± ° §­®±²¥©L+1j =1(±®¢¯ ¤ ¾¹³¾ ± ¬­®¦¥±²¢®¬ ¢±¥µ) ¨­²¥£° « ®¤­®§­ ·­® ¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ± ±®µ° ­¥­¨¥¬±¢®©±²¢ «¨­¥©­®±²¨, ¯°¨ ½²®¬ ¨­²¥£° « ®² ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨ ­¥®²°¨¶ ²¥«¥­ ¨¢»¯®«­¥­® ­¥° ¢¥­±²¢®j (f )j 6 (jf j).„®ª § ²¥«¼±²¢®. . ‹¨­¥©­®±²¼ ¨­²¥£° « ­ ¯°®±²° ­±²¢¥ L01 ¨§¬¥°¨¬»µ ¨ ¨¬¥¾¹¨µ ¤¢³±²®°®­­¥ ®£° ­¨·¥­­³¾ ¬®¤¨´¨ª ¶¨¾ ´³­ª¶¨© ®·¥¢¨¤­ , ¤¤¨²¨¢­®±²¼ ¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­ ¿®¤­®°®¤­®±²¼ ­ L+1 ²®¦¥ (½²¨ ±¢®©±²¢ ¤®ª §»¢ ¾²±¿ ¯¥°¥µ®¤®¬ ª ¯°¥¤¥«³ ¢ «¨­¥©­»µª®¬¡¨­ ¶¨¿µ ¨­²¥£° «®¢ ¯°®±²»µ ´³­ª¶¨©, ¯¯°®ª±¨¬¨°³¾¹¨µ ½«¥¬¥­²» ¨§ L+1 ); ¤ «¥¥, ¥±«¨ g (2 L+1 ) ®£° ­¨·¥­ ¨«¨ > 0, ²® (h) = (f ) + (g ) ¢»²¥ª ¥² ¨§ ²®£®, ·²®g = jj (sgn g), £¤¥ (sgn g) 2 L+1 ¢ ±¨«³ ¤¤¨²¨¢­®±²¨ ¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®¤­®°®¤­®±²¨¨­²¥£° « ­ L+1 .

…±«¨ ¦¥ < 0, ²® g ¢±¥-² ª¨ ®¡¿§ ­ ¨¬¥²¼ ®£° ­¨·¥­­³¾ ¬®¤¨´¨ª nP¶¨¾, ¨ ¢®¯°®± ±¢®¤¨²±¿ ª ° ±±¬®²°¥­­®¬³ ±«³· ¾. „«¿ ±«³· ¿ h = j gj 2 L+1 , ­³¦­® ¢j =1±³¬¬¥ ±®¡° ²¼ ®²¤¥«¼­® ² ª¨¥ ±« £ ¥¬»¥, £¤¥ ®£° ­¨·¥­­» gj ¨«¨ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­» j |½² ¯®¤±³¬¬ 2 L+1 ; ²®£¤ ®±² «¼­»¥ ±« £ ¥¬»¥ ¤®«¦­» ¨¬¥²¼ ®£° ­¨·¥­­»¥ ¬®¤¨´¨ª ¶¨¨, ¨ ±­®¢ ¢®¯°®± ±¢¥«±¿ ª ¯°¥¤»¤³¹¥¬³.’¥¯¥°¼ ¨­²¥£° « ¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ®¤­®§­ ·­® ¯® «¨­¥©­®±²¨ ­ L1 | «£¥¡° ¨·¥±ª¨©´ ª².„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ±¢®©±²¢ ± ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¼¾ ¨ ¬®¤³«¥¬, ¤«¿ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ´³­ª¶¨© f ¯®«®¦¨¬ f+ f 1ff>0g (> 0), f, ,f 1ff<0g (> 0).…±«¨ h = f , g , f; g 2 L+1 , ²® 0 6 h+ 6 f+ + g, ¨ 0 6 h, 6 f, + g+ ; ¯®½²®¬³h+ 2 L+1 3 h, ; ² ª ·²® ¥±«¨ h > 0, ²® h = h+ 2 L+1 , ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¼ ¨­²¥£° « ¤«¿L+1 ¤®ª § ­ . ª®­¥¶, ¥±«¨ h = f , g , f; g 2 L+1 , ²® 0 6 h+ 6 f+ + g, ¨ 0 6 h, 6 f, + g+ , ¯®½²®¬³j (h)j = j (h+ , h, )j = j (h+) , (h,)j 6 (h+ ) + (h, ) = (h+ + h, ) = (jhj)(¢ · ±²­®±²¨, ½²¨¬ ¤®ª § ­®, ·²® jhj 2 L+1 ).

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