Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Наряду с кинетическими характеристиками, которые можно получить на традиционной кинетической модели, прямаямодель позволяет дать трехмерное визуальное представление динамики процессов в системе на разных пространственных и временных масштабах, дает возможность наблюдать за поведением индивидуальных компонентов и получатьстатистические сведения о системе.Прямая компьютерная модельМногочастичная модель является компартментальной и представляет собойтрехмерную сцену (рис.
24.1), в которую включены строма (внутреннее пространство хлоропласта вне фотосинтетической мембраны), мембраны тилакоидаи люминальное пространство. Встроенные в мембрану мультиферментные белковые комплексы (ФСI, ФСII, цитохромный комплекс, АТФ-синтазный комплекс)500ЛЕКЦИЯ 24и мобильные переносчики электрона (Пц в люмене, Фд в строме, PQ внутри мембраны) моделируются как отдельные объекты, расположенные в трехмерном пространстве. Каждый объект обладает набором свойств, таких как координаты, геометрическая форма и размеры, наличие или отсутствие переносимых электронов,параметры взаимодействия с другими объектами.ПРЯМЫЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ В ФОТОСИНТЕТИЧЕСКОЙ501Формирование сцены и расположение объектовПеред началом расчетов по многочастичной модели необходимо сформировать модельную сцену — задать начальное расположение всех объектов на фотосинтетической мембране и вокруг нее. При конструировании сцены требуетсяобеспечить согласие с экспериментальными данными о размерах, плотностии характере распределения белковых комплексов на мембране, а также не допускать пересечения различных объектов.
Для определения плотностей расположения комплексов на мембране и их размеров были использованы данные электронной микроскопии (рис. 24.2 и 24.3).Рис. 24.2. Вид участка тилакоидной мембраны в электронный микроскоп. Размер изображения 4 мкм. Данные по количеству комплексов различных типов на одной гране(грана — структурная единица тилакоида, имеет форму диска диаметром 500 нм и толщиной 15–20 нм) приведены на рис. 24.3.Рис. 24.1. Трехмерная сцена прямой многочастичной модели фотосинтетической мембраны.
Показаны часть мембраны тилакоида, люменальное и стромальное пространства.Вверху: вид сверху под углом. Внизу: вид сбоку, в плоскости тилакоидной мембраны.Рис. 24.3. Распределение комплексов на фотосинтетической мембране по типам [2].502ЛЕКЦИЯ 24ПРЯМЫЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ В ФОТОСИНТЕТИЧЕСКОЙФизические размеры системы таковы: толщина мембраны — около 5 нм,люмен — межмембранная полость толщиной 5–10 нм, пластоцианин и ферредоксин — белки диаметром около 4 нм, цитохромный комплекс, фотосистемы Iи II — 10 нм.
Как видно из приведенных данных, встроенные в мембрану комплексы выступают в люмен на 2–3 нм, что сравнимо с толщиной самого люмена.Плотности распределения комплексов также достаточно высокие, что дополнительно затрудняет формирование сцены. Для решения этой задачи формированиясцены разработаны специальные алгоритмы, описанные, например в статье [28].Моделирование движения мобильных переносчиковДля моделирования движения подвижных переносчиков (Пц в люмене, Фдв строме, PQ в мембране) использовали математический аппарат описания броуновского движения с учетом геометрических ограничений, налагаемых сформированной модельной сценой. Правомерность рассмотрения движения белковыхпереносчиков как броуновских частиц обусловлена их глобулярностью. Предполагается, что движение частицы (шарика с размерами и массой, соответствующими глобуле определенного белка) происходит в вязкой среде под действиемслучайной силы, возникающей из-за столкновений с молекулами среды.
Для описания такого процесса можно использовать уравнение Ланжевена, описывающееизменение каждой координаты со временем под действием случайной силы:ξdx= f (t ).dt(24.1)Здесь f (t) — случайная сила, распределенная по Гауссу с нулевым средними дисперсией, равной 2kTξ, k — постоянная Больцмана, T — температура, ξ — коэффициент трения в среде, вычисляемый (в предположении о сферичности частицы) по формуле ξ = 6πη a, где η — вязкость среды, a — радиус частицы.Уравнение решается численно для каждой из частиц.
Шаг по времени выбираетсянастолько малым, что в течение него частица перемещается меньше чем на ангстрем. Учитывается отражение переносчиков от границ мембраны и их столкновениядруг с другом и с белковыми комплексами.Если выбрать шаг по времени, равный Δt, в разностном виде это уравнениебудет записано какΔx =f x (t )Δtξ.(24.2)Таким образом, перемещение частицы за один шаг Δx описывается случайнойвеличиной, распределенной по Гауссу с нулевым средним и дисперсией, равнойΔx 2 =2kT Δt 2ξ.(24.3)503Итак, Δx можно представить в видеΔx =2kTξN (0,1)Δt.(24.4)Здесь N (0, 1) — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение.Если теперь вычислить средний квадрат перемещения за время t, получим:⎛ 2kT ⎞Δt ⎟ t = σ 2 t .r 2 = x2 + y 2 + z 2 = 3⎜⎝ ξ⎠Здесь σ 2 = 6kT Δt ξ — коэффициент диффузии. Итак, перемещение за одиншаг и коэффициент диффузии связаны следующим соотношением, которое и используется в программе для расчета:Δx =σ 2 Δt3N ( 0,1) .(24.5)Шаг по времени подбирается таким образом, чтобы корень из дисперсии перемещения частицы на каждом шаге (среднее перемещение частицы на каждомшаге) был порядка одной десятой диаметра мобильного переносчика.
Такой выбор шага обеспечивает приемлемые точность вычислений и время расчета. Набоковых границах области моделирования использованы тороидальные (периодические) граничные условия, означающие, что если частица пересекает границумоделируемой области с одной стороны, то точно такая же частица возникает напротивоположной границе.
Такие условия обеспечивают условие сохранениячисла частиц в моделируемом объеме.Также учитывалось отражение частиц от физических поверхностей, включаямембрану и белковые комплексы. Каждый из участников движения может переносить или не переносить электрон, что при визуализации динамики системыизображается условным изменением цвета частицы.Учет столкновений и взаимодействие с белковыми комплексамиВ процессе движения молекула подвижного переносчика может случайнымобразом сталкиваться с другими участниками процесса или образовывать суперкомплекс с встроенными в мембрану мультиферментными комплексами, в котором осуществляется фотосинтетический электронный транспорт.Механизм передачи электрона следующий: если частица подвижного переносчика в результате хаотического броуновского движения приближаетсяк белковому комплексу на расстояние, меньшее некоторого эффективного радиуса взаимодействия между ними, то с некоторой вероятностью происходитпосадка переносчика на комплекс.
Эффективный радиус взаимодействия — этопараметр модели, характеризующий максимальное расстояние, при котором504ЛЕКЦИЯ 24ПРЯМЫЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ В ФОТОСИНТЕТИЧЕСКОЙ505возможен докинг. Эффективные радиусы взаимодействия выбирали равнымиразмерам взаимодействующих белков, т. е. докинг происходил, когда переносчик сталкивался с комплексом. Вероятность посадки на комплекс также является параметром модели. Оценить эффективные радиусы взаимодействия и вероятности посадки подвижных переносчиков на комплексы можно, исследуявлияние этих величин на кинетические константы взаимодействия подвижногопереносчика и комплекса.очень просто определить из ее координат. Если на каком-то шаге частица изячейки i переходит в ячейку j, ее номер исключается из списка частиц в ячейке iи заносится в список частиц в ячейке j.
Время, затрачиваемое на эти операции,мало по сравнению со временем вычислений перемещения по формулам броуновского движения.Рис. 24.5. Поиск частиц, с которыми возможно взаимодействие.Рис. 24.4. Радиус и вероятность взаимодействия.Эффективный радиус взаимодействия r — это параметр модели, характеризующий расстояние между подвижным переносчиком и комплексом, при сближении на которое начинают действовать электростатические силы, приводящиек посадке (докингу) подвижного переносчика на комплекс.
Вероятность p такжеявляется параметром модели. В простейшей версии модели вероятности докинга,рассчитанные из экспериментально найденных кинетических констант скоростейсвязывания подвижного переносчика и комплекса, неявно включают в себя ихэлектростатическое взаимодействие.Для того чтобы эффективно учитывать столкновения с другими частицамии моделировать стыковку переносчика с комплексами, необходим быстрый алгоритм поиска частиц, с которыми возможны столкновения. Перебирать все частицы и определять расстояние до поверхности каждой из них не представляетсявозможным, так как вычислительные затраты при этом будут расти пропорционально квадрату числа частиц.В модели [28] используется следующий алгоритм. Рассматриваемый компартмент покрывается трехмерной сеткой.
Размер ячейки выбирается равным максимальному радиусу взаимодействия между частицами. Поскольку электрическиеполя в рассматриваемой системе сильно экранируются водным раствором, радиусвзаимодействия является величиной порядка 8 нм, что сравнимо с размерамивзаимодействующих частиц. К каждой ячейке сетки привязывается список, кудавносятся номера частиц (переносчиков и комплексов), центры которых на данномшаге модели находятся в этой ячейке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
