Семинар (8) (1117037), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Корни соответствующего характеристиче⎝ 0 −1 ⎠⎡ −3,IIIского уравнения есть λ1,2=⎢Аналогично случаю II⎣ −1.оба корня действительны и отрицательны. В этом случаетретье стационарное состояние является устойчивым узлом.В окрестности стационарного состояния x1IV = 2, x2IV = 1матрица коэффициентов линеаризованной системы имеет⎛ −2 −2 ⎞вид: ⎜⎟ . Определитель этой матрицы ad − bc = −2.⎝ −2 −1 ⎠В четвертом стационарном состоянии имеем седловуюнеустойчивость.90Семинар 8. Триггерные системы4)Строим фазовый портрет (рис. 8.3).Рис.

8.3. Фазовый портрет системы уравнений, описывающих конкуренцию двух видов (пример 8.1).Получили триггерный режим: два устойчивых и одиннеустойчивый узел разделены седлом. В зависимостиот начальных условий в системе реализуется одно издвух возможных устойчивых стационарных состояния.Результат можно интерпретировать как выживание одного из двух конкурирующих видов.91Учебное пособие «Математические модели в биологии»ПРИМЕР ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕКОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ВИДОВ»«ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ1.

Используя численные значения параметров, найдитекоординаты стационарных состояний, коэффициенты линеаризованной системы в окрестности каждого из стационарных состояний, значения корней характеристических уравнений. Определите тип каждого стационарного состояния, уравненияглавных изоклин системы уравнений:⎧ dx2⎪⎪ dt = p1 x − p2 xy − p3 x ,⎨⎪ dy = p y − p xy − p y 2 .456⎪⎩ dtРезультат занесите в таблицу.2.

Постройтерешения системы.качественныйфазовыйпортрет3. В программе TRAX постройте фазовый портрет решения системы. Обратите внимание на выбор масштаба окнафазовой плоскости. Зарисуйте результат.4. В программе TRAX постройте кинетический портретрешения системы для произвольного начального положенияизображающей точки. Зарисуйте результат.92Семинар 8. Триггерные системыПараметрыКоординаты стационарных состояний итип устойчивостиp1 = 1p2 = 0.5p3 = 1p4 = 1p5 = 0.5p5 = 1x1 =y1 =p1 = 1p2 = 0.5p3 = 1p4 = 0.5p5 = 1p5 = 1x1 =y1 =КоэффициентылинеаризованнойсистемыУравнениеизоклинывертикальныхкасательныхгоризонтальныхкасательныхx2 =y2 =x3 =y3 =x4 =y4 =x2 =y2 =x3 =y3 =x4 =y4 =p1 = 1p2 = 0.5p3 = 0.2p4 = 1p5 = 0.3p5 = 0.1x1 =y1 =x2 =y2 =x3 =y3 =x4 =y4 =93Учебное пособие «Математические модели в биологии»ЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ 88.1. Модель отбора (выбора одного из равноправных),учитывающая ограниченность в питательных ресурсах ибыстрое их поглощение по сравнению с процессами репродукции, в безразмерных величинах имеет вид:⎧ dx⎛ 7.5⎞− (1 + y ) ⎟ ,⎪ = x ⋅⎜⎝ x+ y⎠а) ⎪⎨ dt⎪ dy = y ⋅ ⎛ 7.5 − 1 + x ⎞ .( )⎟⎜⎪ dt⎝ x+ y⎠⎩⎧ dx⎛ 4⎞− (1 + y ) ⎟ ,⎪ = x ⋅⎜⎝ x+ y⎠б) ⎨⎪ dt⎪ dy = y ⋅ ⎛ 4 − 1 + x ⎞ .( )⎟⎜⎪ dt⎝ x+ y⎠⎩Найдите координаты особых точек.

Определите типкаждого, из найденных стационарных состояний.Постройте фазовый портрет системы: а) постройтеглавные изоклины системы (обязательно укажите уравнения, задающие главные изоклины); б) отметьте стационарные точки на фазовой плоскости; в) постройте несколько фазовых траекторий с различными начальнымиусловиями. Стрелкой укажите направление движениявблизи каждого стационара при t → ∞ .8.2. Взаимоотношения типа хищник-жертва или паразит-хозяин могут быть описаны системой уравнений:⎧ dx⎪ = x(6 − 3 y − 0.5 x),а) ⎪⎨ dt⎪ dy = y (5 + 0.8 x − y ).⎪⎩ dt⎧ dx⎪ = x(4 − 3 y − x),б) ⎪⎨ dt⎪ dy = y (3 + 0.2 x − 4 y ).⎪⎩ dtНайдите координаты особых точек. Определите типкаждого, из найденных стационарных состояний.

Постройте фазовый портрет системы: а) постройте главныеизоклины системы (обязательно укажите уравнения, задающие главные изоклины); б) отметьте стационарныеточки на фазовой плоскости; в) постройте несколько фазовых траекторий с различными начальными условиями.Стрелкой укажите направление движения вблизи каждого стационара при t → ∞ .94.

Характеристики

Список файлов семинаров