Семинар (3) (1117029), страница 2
Текст из файла (страница 2)
При этом, еслиr > 2 , то решение немонотонно.Исследование модели логистического роста показало,что, в отличие от решения дифференциального уравнения, траектории, задаваемые его дискретным аналогом,при определенных значениях скорости прироста r обладают цикличностью, а также могут описывать различныехаотические режимы (так называемые вспышки численности).За ходом решения дискретного логистического уравнения можно проследить с помощью диаграммы (или лестницы) Ламерея.40Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница ЛамереяЛЕСТНИЦА ЛАМЕРЕЯНа рис.
3.1. представлена зависимость численностипопуляции N t +1 от численности на предыдущем шаге N t ,задаваемая логистическим уравнением (3.6):⎛Nt ⎞N t +1 = N t ⋅ e r ⎜⎝1− K ⎟⎠ = F ( N t ) .Рис. 3.1. График функции, задающей дискретное уравнение логистического роста (3.6). Пояснения в тексте.41Учебное пособие «Математические модели в биологии»Пунктирной линией представлена биссектрисаN t +1 = N t . В точках пересечения графика функции F ( N t ) сбиссектрисой выполняется равенство: N t +1 = N t = F ( N t ) ,т.е.
выполняется определение точки равновесия. Такимобразом, точки пересечения графиков N1* (с координатами (0,0)) и N 2* (с координатами (К,К)) являются точкамиравновесия (см. предыдущий подраздел).ШАГ 1. Пусть известна некоторая начальная численность популяции N 0 . Какую последовательность следующих значений численностей {N1 ,N 2 , N 3 ,...} задает логистическое уравнение? Значение N1 определяется равенствомN1 = F ( N 0 ) , т.е. пара значений ( N 0 , N1 ) является координатами соответствующей точки на графике функцииF ( N t ) (рис.
3.2 а). Отложим на координатной плоскости( t , Nt )точки (0, N 0 ) и (1, N1 ) (рис. 3.2 б).ШАГ 2. Следующее значение численности N 2 определяется из соотношения N 2 = F ( N1 ) (рис. 3.2 в). На графике, величина N1 из значения функции должна стать значением аргумента: проводим перпендикуляр от точки(0, N1 ) до пересечения с биссектрисой, затем опускаемперпендикуляр до оси абсцисс N t .ШАГ 3.
Повторяем шаг 1. Теперь наша начальнаяточка — точка N1 , значение численности N 2 есть ордината точки на(рис. 3.3. а, б).42графикефункцииF ( Nt ) :( N1 , F ( N1 ) )Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница ЛамереяШАГ 4. Повторяем шаг 2. Значение N 2 переносим наось абсцисс с помощью отражения от биссектрисы(рис. 3.3 в).ШАГ 5. Повторяем шаг 1. Следующее значение численности N 3 определяем как ординату точки на графикефункции F: ( N 2 , F ( N 2 ) ) (рис.
3.4 а, б).Продолжая повторять шаги построения лестницыЛамерея, получим последовательность значений численности популяции в разные моменты времени. В рассмотренном примере мы получили, что со временем численность в виде затухающих колебаний сходится к равновесному значению K (рис. 3.4 — 3.7, 3.7 в).Характер последовательности значений численностипопуляции, полученной при помощи лестницы Ламерея,может быть монотонным, циклическим, колебательными хаотическим.
Каким он будет, в каждом конкретномслучае определяется формой кривой F ( N t ). В свою очередь, форму кривой определяют значения параметровфункции F ( N t ) (скорость прироста r и емкость экологической ниши K).43Учебное пособие «Математические модели в биологии»ааббввРис. 3.2. Построение лестницы Ламерея.44Рис. 3.3. Построение лестницы Ламерея. Продолжение.Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница ЛамереяааббввРис. 3.4. Построение леРис. 3.5.
Построение лестницы Ламерея. Продолжение. стницы Ламерея. Продолжение.45Учебное пособие «Математические модели в биологии»ааббввРис. 3.6. Построение леРис. 3.7. Построение лестницы Ламерея. Продолжение. стницы Ламерея. Окончание.46Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница ЛамереяЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ 33.1. С помощью диаграммы Ламерея построить график динамики численности популяции, если зависимостьN t +1 = f ( N t ) имеет вид:абвг47.