А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Сравнивая (47.29) с (47,5), получаем (47.30) Формулы (47.!6а) для взаимной индуктивпости при переходе к обьемным токам (1Л вЂ” )П)г) принимают внд (47.31) аналогичный (47.30). Однако формула (47.30) нс может быть выражена через линейные токи. Если это сделать формально, то нодынтегральное выражение в (47.30) принимает внд 1~ с)1. г)г/г и абра!настая в бесконечность при совпадении элементов интегрирования, когда Л = = с)1', поскольку при этом г = О, Поэтому интеграл расходится и формула для индуктивности теряет смысл. Эта ситуация аналогична ситуации прн вычислении собственной энергии заряда, когда собственная энергия обращается в бесконечность для точечного заряда. Доле соленоида. В качестве примера использования полученных в эзом пара~рафе формул рассмотрим поле соленоида.
Как было показано, индукция поля вне соленоида равна нулю, а внутри соленоида определяется равенством (38.40), т. с. В = Нл!, (47. 32) где н — число витков на 1 м длины соленоила. Поток индукции поля, охватываемый одним витком соленоида, равен (47,33) Ф, = В5 = Нп!5, где Я вЂ” площадь поперечного сечения соленоида. Поток, охватываемый М витками соленоида, которые занимают длину соленоида 1= М/гь равен Фн = Ф,М = Нп!5г/ = Н/ЯХ'/1. (47.34) Следовательно, индуктивность Х витков соленоида равна 1-н = Фн/! = НВ/9 /!. (47.35) 328 8. Электромагнитная индукпяя и квазистаяяокарные переменные токи Энергия, сосредоточенная на длине 1, равна 1, 1 НР(-'7 1,з 1 РР= — (.я)з = — 8= — р '!за!= — НВИ 2 2 ! 2 2 (47.36) где рпкуз = Н)), Я = )г — объем участка соленоида, в котором вычисляется энергия поля.
гРорлеула (47.3б) позволяет определять энергию поля как через ток и индуктивность, так и через плотность энергии поля. Найдем вектор-потенциал бесконечно длинного соленоида. Целесообразно исходить из формулы (47.22). Вследствие аксиальной симметрии задачи будем вести расчет в цилиндрической системе координат с аксиальной осью, совпадающей с осью соленоида. Обозначим: гр— аксиальный угол, а г — расстояние от оси до точки, в которой вычисляется потенциал.
В качестве контура Е в (47.22) выберем окружность радиусом г, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси соленоида, и с центром на оси. Тогда Ф = ) В. г(Б = 7 А д( =- у А г г(гр = 2кгА,„ к г где принято во внимание, что Ая = сопвг при г = сонм. Следовательно, вектор-потенциал равен А (г) = -- — ~ В гБ, 5 где 5 — площадь круг а, ограничиваемого окружностью радиусом г. Отсюда рп!г(2 (О < г < а), А„= Пп1аз!(2г) (и < г < оо). )Ро = — ~ Но Во г1 ~'.
2~ (47.37) Предположим, что вес пространство заполнено однородным магнетиком с магнитной проницаемостью р = сонм, а поле создается тем же распределениеле токов. Как было показано [см. (3822)1, напряженность магнитного поля в магнетике не изменится (Н = Но), а индукцня будет равна В = рН. Следовательно, при наличии магнетика энергия поля 14 = — ~Н, ВЙК 2~ (47.38) Это означает, что при заполнении всего пространсгва магнетиком энергия поля увели«ивастся. Источником этой энергии являются, .:р нергия магнетика во внешнем магнитном поле, Пусть имеется фиксированное распределение токов, которое в свободном пространстве создает магнитное поле, иидукцня которого Во(х, у, к) = роН(х, у, з), а энергия й 47.
Энергия мя~иитио~о поля 327 в частности, сторонние электродвижущие сильь с помощью которых поддерживаются неизменными токи при заполнении пространства магнетиком. Поскольку после заполнения пространства магнетиком все источники, благодаря которым возникло дополнительное поле, идентичны тем, которые создавали поле до заполнения прошрансгва, можно считать, что энергией магнетика во внешнем поле Но является величина И~и = И/ — И~о = - ~ (Но  — Н, Во) г(К (47.39) Подынтегральное выражение можно преобразоватзп Но.  — Но.
Во = (Р Ро) Ло = — В Во = Л. Во, Р— Ро РРо (47.40) где Р РоВ Л =хН= — - —-- Ро Р Р Ро Рро (47.41) Следовательно, энерпяя магнетика в магнитном поле равна И. = — ~ 3. В,ОР. (47.42) где 1( И'.,= Т1(В.-Н,-В'Н.)4Р (47.44) Выражение (47.43) аналогично формуле (18.31) с измененным знаком перед интегралом. Хотя эта формула и выведена для бесконечного магнетика, она справедлива и для ограниченно~о магнетика.
В этом случае интеграл распространяется по объему магнетика. Напряженность Это выражение аналогично формуле (18.30) для энергии диэлектрика во внешнем электрическом поле, но отличается знаком в правои части. Формула (47.42) выведена для магнетика, заполняющего все пространство с Р = сопки Однако она имеет вид инзеярала от плотности энергии магнетика и поэтому следует ожидать ее оправе чливости в произвольном случае. Соответствующие вычисления подтверждают этот вывод.
Ввиду их громоздкости они здесь не приведены. Теперь можно вычислить энергию магнетика с магнитной проннцаемостью Р,, находЯщегосЯ в сРедс с магнитной пРоницаемостью Рь Будем опять рассматривать бесконечный магнетик и исходить из формулы (47.42) так же, как при выводе формулы (!8.30)„с той лишь разницей, что в электростатике данное распределение зарядов создает в различных средах одинаковое поле 13, а в теории стационарного магнитного поля данное распределение токов создаст в различных средах одинаковое поле Н. Тогда = И'- — И'- =)(Р— Рз)н,.н,би, (47.43» 336 8. Электроыагинпша инлукннн и квазистанионарные переменные токи На является напряженностью поля, создаваемого в точках объема магнетика, если бы его проницаемость была равной магнитной проницаемости р, среды; Н, — фактическая напряженность в магнетике с магнитной пропнцаемостью р,, погруженном в среду с магнитной проннцаемостью ра.
Предположим, что магнитная проницаемость среды изменяется на бесконечно малую величину бр. При этом энергия магнетика, находящегося в магнитном поле Н, изменяется на Ь)к'„. Полагая в (47.43) бр = рк — рг На = Н, Нк = Н+ ЬН и отбрасывая брбН Н как величину высшего порядка малости, получаем (47.45) где р может быть функцией гочки н других параметров. Эта формула отличается от аналогичной формулы (!8.36) для диэлектриков лишь знаком. вычисление сил из выражения для энергии. Рассмотрим систему контуров, по которым текут токи. При перемещении и деформации контуров за счет сторонних электродвнжущих сил производится механическая работа. Энергия источника сторонних элеккродвижущих сил расходуется на создание магнитного поля и на совершение механической работы.
Работа сторонних элсктродвижущих сил определяется формулой (47.2), а механическая работа прн изменении параметра гн, характеризующего конфигурацию системы, равна по определению г) г)еы где Е; — обобщенная сила, отпесеннан к параметру ~;. Закон сохранения энергии записывается в виде Г 1з 6Ф, = г))к'+ ~ Е, Щ. (47.46) з Рассмотрим прежде всего виртуальные процессы, в которых сохраняются магнитные потоки, ы е. г)Ф~ —— О. Уравнение (47.46) принимает вид О=(бИ),+2„Р, 8ы (47.47) $ откуда с учетом независимости г)ен получасы (47 48) где индекс Ф у частной производной в явном виде показывает, что она берется при постоянных значениях потоков Ф,.
Чтобы пользоваться формулой (47.48), необходимо энергию магнитного поля выразить в виде функции от Ф; и гн как независимых параметров. Для практических применений во многих случаях удобнее выразить обобщенную силу в ниле производных от энергии по обобщенным параметрам при постоянных токах. Энергия магнитного поля (47.18) 4 47. Энергия магнитного поля 331 с учетом гого, что (см. (47.6)1 Ф, = ~7.и)ь (47.49) выражается в виде (47.50) При постоянных силах токов (1, = сопы) из (47.50) следует, что (г(И )г = — ~1,. г)Фг (47.51) н поэтому формула (47.46) приводится к виду (д)Р)г = ,'Г Г, 05„.
(47,52) Отметим, что зта формула справедлива лишь при постоянных токах. Принимая во внимание независимосгь е„находим выражение для обобщенных сил: (47,53) (47.54) Аналогично определяются и лругие компоненты силы. Индуктивность 7.гя является геометрической величиной и ее зависимость от х можно найти с помощью формулы (47,19). где индекс ! у частной производной показывает, что она берется при посзоянных токах. Для использования (47.53) Иг должна быть выражсна в виде функции от сил токов и параметров гя. Рассмотрим в качестве примера два взаимодействующих контура с токами, энергия магнитного поля когорых определяется формулой (47.17).
Рассчитаем по (47.53), например, л-ю компоненту силы, которая действует со стороны первого контура на второй. В качестве обобщенной координаты возьмем значение координаты х некоторой точки второго контура, считая первый контур неподвижным. В качестве виртуального перемещения, связанного с этой координатой, необходимо взять смещение второго контура вдоль оси Х без деформаций и вращений и выразить энергию магнитного поля через эту координату и другис независимые параметры, которые нас сейчас ие интересуют.
Вся зависимость энергии магнитного поля от х содержится во взаимной иидуктивпости Сгя = Ваь поскольку индуктивности 1,, и пе зависят от изменения взаимного расположения когпуров. Обобщенная сила, связанная с декартовой координатой х, есть проекция обычной силы Ро Поэтому (47.53) принимает вид "7" гэ сх ЗЗЗ 8.
Элекгромагнигная индукция и квазистационарныс переменные токи Ясно, что значение силы не зависит от того, по какой формуле ее вычислять. Поэтому к значению силы (47.54) мы придем также, если ее вычислять по формуле (47.48). Проведем это вычисление. В (47.48) в качестве выражения для И' нельзя взять (47.17), поскольку в него входят в явном виде силы тока. Исключим их с помопгью формул (47.10), нз которых следует: Т ггФг — (.ггфг 1 ! г)Фг 1-ггФг (47.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
