А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Электромагнитная инлукния и кяазис~ационаоные переменные токи принимает при т > 0 вид (48.10) е)г С Решение этого уравнения при начальном условии 1(О) = Раув выражается формулой 1(г) = -- — ехр [ — г/(ЯСД, К (48.11) т. е. с течением времени сила тока в цепи убывает от максимального значения Уо)й до нуля. График 1(г) аналогичен графику, показанному на рис. 189, а время убывания силы тока т = КС. Поэтому если емкость С достаточно велика, то ток после выключения постоянного напряжения может существовать заметное время. Лампа, включенная в цепь, сначала вспыхнет, а затем постепенно погаснет.
После того как сила тока упала до нуля, конденсатор оказывается заряженным до разности потенциалов, равной сторонней з. д, с., но противоположно направленной. Они компенсируют друг друга. При выключении сторонней э. д. с., например путем закорачивання полюсов батареи, разность потенциалов на обкладках конденсатора оказывается нескомпенсированной. По цепи начинает течь ток, начальная сила которого равна Уо/Я, а закон уменьшения силы тока полностью совпадает с (48.11) с тем же временем убывания силы тока. епь с емкостью, индуктивностью, сопротивлением и источником Ц сторонних э, д. с.
Эта цепь показана на рис. 192. На основании (48.3) и (43.6) уравнение для тока в цепи имеет вид 1К = (1 — 1,— — —. 61 Я Й С (48.12) Дифференцируя обе части (48.12) по 0 перепишем уравнение в виде + Я вЂ” + — 1 = — — У. лт1 н1 1 л (43.13) с)гт т)г С е(г Различные частные случаи решения этого уравнения были рассмотрены раньше. 11 = 11ое'"', (48,14) то очевидно, что сила тока в (48.13) также должна изменя1ься со временем по закону церемонный ток.
Наиболее важным является анализ гармонического переменного тока, поскольку с помощью представления произвольной функции в виде ряда или интеграла Фурье к этому случаю может быть сведен и любой другой. Для рассмотрения этих вопросов целеотобразно пользоваться комплексной формой представления гармонически изменяющихся величин. Будем рассматривать установившийся режим. Если сторонняя э.д.с. изменяется по закону а 48. Цени «аатистациоиариого иереиеииого тока 341 7 =1ае', (48.15) причем 7, (/, 1„(/е в формулах (48.14) и (48.15) являются, вообще говоря, комплексными величинами.
Из (4834) и (48.15) следует, что с!(7, г)7 — =!ви, — =!в!, е!г ' е)г (48,16) и поэтому уравнение (48.13) принимает вид ( — ва(. + !вЯ 4- 1/С) ! = !в(/. (48.17) Разделив обе части уравнения (48Л7) на не, представим его в виде и=и, (48.18) где Л = !! + ! (вЬ вЂ” 1/(вС)1 (48.19 а) называется импедаисом. Уравнение (48.18) имеет вид закона Ома, в который входит импеданс. Для переменного тока импеданс играет роль сопротивления, однако, будучи комплексной величиной, он посредством (48.18) позволяет учесть не только соотношение между амплитудами силы тока и напряжении, но н соотношения между их фазами.
В уравнении (48.18) все величины являются, вообще говоря, комплексными. Взяв модули от обеих частей экого уравнения, найдем связь между амплитудами силы тока и напряжения: 1(~~к~ =- !(г~, (48.19б) где ! У ! = )/й~ + (вЕ. — 1/(вС)) . Таким образом, если интересоваться только амплитудами силы тока и напряжения, то уравнение (48.19б) полностью эквивалентно закону Ома для постоянного тока, однако величина ) е, ~, играющая роль сопротивления, зависит от частоты тока в соответствии с (48,19в). (48.20) векторные диаграммы. Представим комплексные числа векторами на комплексной плоскости. Гармонически изменяющаяся величина изображена вектором, вращающимся с частотой в вокруг своего начала против часовой стрелки. Длина этого вектора равна амплитуде колебаний соответствующей физической величины. Графический метод решения уравнения (48.18) очевиден из рис.
193, если учесть, что умножение комплексной величины на ! означает ее поворот на я/2 против часовой стрелки без изменения длины, а умножение на ( — !) — поворот на л/2 по часовой стрелке. Из рис. 193 видно, что угол ер определяется из уравнения в/. — !/(вС) 18!р = Я 342 8. Электромнгнитнкя индукция и квггтис~ипиондрныс переменные гокн l l — г — ( гц( цг( 25 сс 75 Хт 194 Метод «онтурных токов Вскторивя дивгрвмл1а нелряжеиий в цепи переменного тока ° Инпедансон учитывается ие тольно оническае сопротивление цепи, но и ве индуктивное и еикостное сопротивления.
Будучи «онплекснай величиной инпеданс появоляетучесть не тольио соотноцление между анплитуданн силы тока н напрянсения, но и соотнолцени» нежду нх фаяани. Следовательно, гр изменяется в пределах (+к/2, — к/2) в зависимости от соотношения между импедаисами раэличньы элементов цепи и частотой, при этом внешнее напряжение с( по фазе может изменяться от совпадения с напряжением на индуктивности до совпадения с напряжением на емкости. Более удобно зто выразить в виде соотношения между фазами напряжений на элементах цспи и фазой внешнего напряжения, 1) фаза напряжения на индуктивности ((гг = (охи) всегда опсРежает фазУ внешнего напряжения на угол между О и к; 2) фаза напряжения на емкости 1(гг = = — 11/(стС)3 всегда отстает от фазы внешнего напряжения на угол между О и — я; 3) фаза напряжения на сопротивлении может как опережать, так и отставать от фазы внешнего напряжения на угол между 4-к/2 и — к(2, причем отстает при преимущественно индуктивной нагрузке, когда суС> > 1((атС), а опережает при преичуществеуно ечкостной нагрузке, когда стБ < 1гг(отС).
Диаграмма (рис. 193) позволяет также сформулировать следующие утверждения о соотношении между напряжениями и силами гоков на различных элементах цепи, причелт отсчет удобно вести от силы тока, поскольку он на всех элементах цепи имеет одну н ту же фазу: 1) фаза напряжения на индуктивности опережает фазу силы тока 'на к~2; 2) фаза напряжения на емкости отстает на к/2 от фазы силы тока; 3) фаза напряжения на сопротивлении совпадает с фазой силы тока; 4) фаза внешнего напряжения может как опережать, так и отставать от фазы силы тока, что определяется нагрузкой.
П равила Кирхгофа. Уравнение (48.18) позволяет решать все задачи, касающиеся переменного тока в цепи с индукзивностью, емкостью и сопротивлением аналогично тому, как соответствующие задачи решаются с помощью закона Уча для цепи с сопротивлением в случае постоянного тока. Анализ разветвленных ! 43. Цени кннзнс~нннонарнсгс неременно~с ~окв 343 цепей переменного тока аналогичен анализу цепей постоянного тока (см. 4 28). Так как для переменного тока в замкнутом контуре справедлив закон (48.19), а в каждом узле справедлив закон сохранения заряда, то правила Кирхгофа (28.4) и (28.5) для постоянного з ока обобщаются на переменные токи следующим образом: 1) для всякого замкнугного контура ~(+) 1гтг = ~(Ь) ()к~ (48.21) к 2) в каждом уз,ге 2 (+)1, =О.
Это обобщение правил Кирхгофа на разветвленные цепи переменного ~ ока было осуществлено в 1886 Д. У. Рэлеем (1842 — 1919). Следует сделать замечание о знаках величин в (48.21) и (48.22). Хотя каждая из величин 1н (ги входящих в эти формулы, является комплексной и содержит в себе фазу (а следовательно, и знак), при составлении уравнений необходимо проставлять знаки. потому что один и тот же участок может принадлежать разным контурам и, слегтовательно, проходится при составлении уравнений в противоположных направлениях. Аналогичное замечание касается и знака !)к. Решение уравнений позволяет найти как амплитуды, так н фазы всех сил токов.
Ввиду комплексности всех величин число существенных уравнений при этом в два раза больше, чем было бы в аналогичном случае постоянных токов. (48.22) (48.24) Поэтому можно сказать, что при параллельном соединении складываются проводимости: «=«г+«г (48.26а) С помощью проводимости закон Ома записывается в виде 1 = у(/. (48.26б) Последовагельпое и параллельное соединения импедансов. Из формулы (43,18), аналогично случаю постоянных токов, шгедует, что при последовательном соединении к,=7г+кп (48.23) а при параллельном ! 1 ! — = — + —. У 2~ сг Это обстоятельство делает анализ элскгрических цепей переменного тока аналогичным анализу цепей постоянного тока и нет необходимости более подробно останавливаться на этом вопросе.
Величина, обратная импедансу, называется проводимостью: У = 1г'с. (48.25) 344 8, Злектроыагнн~нвя ннлукиня н квазнстационврные переменные токи Метод контурных токов, При расчете сложных цепей значительные упрощения вносит метод контурных токов, копюрый явпяется прямым следствием правая Кмрхгойза. Сложный контур состоит из системы простых замкнутых контуров. На рис.
194 изображен сложный контур, состоящий из трех простых контуров. В уравнении Кнрхгофа при обходе замкнутого контура на каждом его участке между узлами берется сила тока, действительно протекающего по этому участку. На каждом участке контура сила тока, вообще говоря, различна. В методе контурных токов принимается, что на вгех участках каждого зимкнутого контура течет один и тот же ток. Эти токи называются контурными.
Полная сила тока, текущего по участку контура, равна при этом алгебраической сумме сил контурных токов, для которых этот участок является общим. Уравнение Кирхгофа для каждого контура пишется с учетом этого обстоятельства, т. е. выражается через контурные токи. Полный импеданс для каждого участка контура между узлами (рис. 194) обозначен соответствующим индексом, Положительное направление обхода взято по часовой стрелке. Уравнения для контурных токов, число которых совпадает с числом простых контуров, имеют вид: г ы1, + 2з?1? + г.?з(з = 1' 2?Л + т??1? + ~?з)з = О, г„у, + 2„1, ч- г„), = (), (48.'27) где г,?о г,??, е.зз — собственные имцедансы контуров, равные сумме импедансов участков соответствующих контуров; к„=к, +г,+к,, х„=г,+г, +7,+у,, л„= Кз + ~в + ~? (48.28) (48.29) Нетрудно вилетгч что го = Кл. (48.30) Изложенное делает почти очевидным тот факт, что уравнения (48.27) объединяют в себе оба правила Кирхгофа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
