А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 75
Текст из файла (страница 75)
55) г = г ' " г 1гг1гг 11г ' 1гг(гг — 1!г Подставляя (47.55) в (47.17), находим ! ГЕггФгг 1 Фг) И' = ~ — 1.,гФ,Фг + — —, 1-гг).гг — 1гг ~ 2 Теперь энергия магнитного поля выражена в ианом виде через потоки и можно применить формулу (47.48) при Ф, = сопя!. Единственной величиной, зависящей в (47.56) от х, является (.гг, поэтому 1 оИг'г 1 г, Г1- ).ггФг— дх,,в (1 г г1-22 1 гг) о1 гг д1 гг (1.„1., + 1.,г)Ф Фг+ (гг)ггФг) =1' г дх дх (47.57) где учтены равенства (47.55). Как и ожидалось, (47.57) совпадает с (47.54).
Формулами (47.48) и (47.53) следует пользоваться в зависимости от обстоятельств и выбирать ту из них, которая приводит к более простым выкладкам. ! О бъсмные силы, действующие на сжигиаемые магнетики. Имея выра- жение (47.45) для энергии магнетика в магнитном поле, можно, пользуясь соотношением между силами и энергией, получить выражение для сил точно так же, как это было сделано для диэлектриков в 8 19.
Исходим нз выражения (47.45) и рассуждаем так же, как при переходе о г (18,36) к формуле (19.41). Все вычисления также аналогичны, надо лишь учесть, что для диэлектриков сила находится при постоянных зарядах, т. е. по формуле (19.46), а для магнетиков — при постоянных токах, т. е.
по формуле (4753). Это означает, что при вычислении производных энергию надо брать с различными знаками. В резулыате вместо формулы (19.41) получается следующая формула: (47.58) Напомним, что все рассмотрение проводится для изотермических процессов и, следовательно, производная д)гудр„в (47.58) должна вычисляться при Т = сопя!. Формулу (47.58) целесообразно переписать по-другому. Г= — В'8гаг) — — — йгас) В'ри — —— (47.59) чч47 'Энеры1п ма~низкого поля ЗЗЗ о /1) 1 др где учтено, что Н = В )р и дх( р,) рэ дх и т. д. В этом виде (47.59) является более близким аналогом формулы (19.41), поскольку роль полевого вектора в магнетизме играет В, а аналогом е выступает 1/р, Запишем формулу (47.41) в виде 1 1 (47.60) р, р В Пусть намагниченность 1 линейно зависит от плотности р„, т. е.
1 - р . Тогда из (47.60) следует, что (47.61) При этих условиях формула (47.59) принимает вид (47.62) что совпадает с (39.13). Таким образом, формула (39.13) справедлива не только для жестких, но и для сжимаемых магнетиков, у которых намагниченность линейно зависит от плотности массы. Это соблюдастся у газов и у некоторых жидкостей. Э нергия магнизлюго момента во внешнем поле, Так как работа, необходимая для увеличения потока магнитной индукции сквозь поверхность, натянутую на контур с током 1, равна 1с(Ф (дФ вЂ” поток магнитной индукции, создаваемый не током 1, протекающим по контуру, а другими источниками магнитного поля), то энергия, затрачиваемая для создания потока Ф сквозь повсрхносггч ограничиваемую контуром тока 1, равна 1Ф, В случае бесконечно малого контура Ф = В Ь, 1Ф = р„В, где р„= 15 — магнитный момент тока. Следовательно, энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле >у= -р,„В.
(47.63) Минимального значения эта величина достигает цри совпадении направлений р и В. Это означает, что внешнее магнитное поле сирелгится повернугль магнитный момент до совпадения с вектором индукции [см. (39.8)]. Пример 47,1, Вычислить силу, с которой один соленоид втягивиется или вытолкивиется иэ другого (рис. 184). Плотности нимотки и сила токов в них ривны л,, 1э и пг, 1г соответственно, а алощади поперечнык сечений одинаковы. Соленоиды достаточно длинные, а намотка достаточно ллотния. поэтому поле вдали от их концов .чожно описывагпь формулами для бесконечно длинного соленоиди. Зничение х велико, вследствие чего можно пренебречь кроены,ии эффектами.
Найделв взаимную индуктивность, пользуясь формулами (47,48) — (47.49) Перный соленоид создаст через кажлый виток второго соленоида поток рон,),5, а весь ноток через а,х витков второго соленоида в области пересечения равен х Фгг = ропг1гбпгх, откуда получасы взаимную ннлук~ивносчь Вгг = Фгг))г = ролггггбх (ьгг = Егг), (4764] 184 К расчету сизы взаимодействия соленоидов Тогдгг сила равна дмгд = )г1г = Ного~!гаг)м (47.65) Если гаки имеют одинаковое направление, то 1,1г > О, В, > О и, следовательно, соленоиды отталкиваются.
При различных направлениях токов 1,1, < О, !'„< О, что означает пригяженис соленоидов. Пример 47.2. В соленоид, площадь кругового сечеиия катарага 5, д.гила ), и.иеилцеса а вшпкав иа 1 м длины, вдвиггуги магнетик с магнитной «раницаелюстью р (рис ! 85).
Ной ггггг силу, дейсгггвующую на ииеиппик, ггрег сйрегая краевыхсгг зффекгпами, ес:ги иа соленоиду гпечет так гилаи 1. Поскольку мапппная восприимчивость магнетика 2 «1, н первом прнбликении н)пряженность везде можно считать равной Н„ю' = Н„= = л1. Следонагельно, энергия магнитного поли сИстемы равна Иг= ~Н В)2 1 ПгогВго~(1 «))з) 5 !85 К расчету силы взанмолейсгоня соленоида и магнита где В„и В,'~~ — индукция соответственно в магне- тике и вакууме. Учитывая, что В„= рН„, В"' = = РоН)о', полУчасм И =("1'/2) Ь- + ро(1 — х)) 5 и, следовательно, сила равна ггдцгз 1 Р„= ( ) = --. (р — ро) лг1г5 = (и — юо) 5 (47.66) (, дх,гг 2 где н = рггл1')2 = Н„В„12, и --. ропг!'12 = Н„'ЫВ„'"(2 — плотности энергии магнитного поля по разные стороны границы, на которуго действует сила.
Таким образом, поверхностная плотность силы )„= Г„,'В является суммой лвух сил, чеиствуюгцих с разных сторон на границу разлеэа. Поверхностная плотность каждой из сил равг.а ила~ности энергии магнитного поля. 334 8. Злектромагнипгая индукния и каазис)ггннопариыс переменные гокн 48. Цепи квазисгаипоиариого ггсремснзгого гока ЗЗ5 Пример 47.З.
Нычттппь индуктивность коаксиалыгого кабелч д'.тпой 1, Иентралмгая жи.га контролю имеет радиус г,, а обовочка радиусы ге (вн>тренний) и гз (впетпий) (см, рис. 140). 61агнитгзая пронниаемость проводников равна р, и протпрапство я~жду жи.зой и оболочкой зинолнено дизлектриколг. Прежде всего найдем индукцию магнитного поля. Ясно, что поле аксиально-симметрично и силовые линии индукции являются окружностями с центром на оси кабеля. Из закона полного тока имеем (см, пример 35.1): и — 1— 2п (0<г<г,), )'о 2к (гз <г<гг) Вч(г) = (47.67) Р 1 "з г 2п г гз — гз г г (г, <г<г,), (гз < г < сс).
Для вычисления самоиндукции участка кабеля воспользуемся соотиоизеиием И' = 1.(г12. Так как И' = — ~ Н В дУ, то (см. (47.67)1 1 Г 2 з 1г (' .г „1г Г( И' = — — — г — 2лг йг + — — г ° 2аг дг + 2 (2,)г ) ", 2 (2п)г ) гг о + — -. Зз — ( -'- — —.уз 2кгдг = 2 (2п)з ~ з.з (,гзг-гг И( 1 Ио1 гг 1 И1 Г гз гз 1 Згз гг 1 + з з 2 8л 2 2л г, 2 2л ~ (гз — гг) гз 4 гз г— гзз откуда 2 И 1 Г„ гг й ь гз Игз 1.
= — -- = — — И )и — Ъ вЂ” — — — 1и — — — — . г )г.о,г г г 1г" 2л 1 г, (ггз — гг)г гг 2 (гз — гг) Х г з )' (47.68) й 4о. Цепи квазистацнонарного переменного тока Излагаизигся основные лгетоды рисчета цепей квизистациоиарноео переменного тока. Определение, При изучении переменных полей и токов необходимо принять но внимание два фактора; 1) конечную скорость распространения электромагнитных полей (см. й 61); 2) порождение магнитного поля изменяющилчся электрическим полем. Величина 1,. = сзРггдз1 называется объемной плотностью тока смещения (см. ч) 57). 33б 8.
Элскгромвгннсная ннлукцня и кввзисзаинонпрпьы псрсмснныс зеки При не очень большой частоте переменного тока этими факторами можно пренебречь, т. е. считать, что электромагнитные поля распространяются в пространстве мгновенно, а токи смещсния не существуют или, другими словами, магнитное поле порождается только токами проводимости.
Токи и поля, удовлетворяющие этим условиям, называются ивазистацнонарнымн. Выразим критерии квазисгационарности математически. 1. Если имеется периодический процесс, распространяющийся от источника со скоростью с, то длина волны этого процесса, т. е. расстояние, на которое развертывается один период Т изменения процесса во премсни, ранна "г.= сТ, Пренебречь пространственным изменением некоторой величины, характеризующей процесс, можно только в том случае, если она рассматривается в областях, линейные размеры 1 которых много меньше длины волны (1 ~ Х). Это и есть критерий пренебрезкеггсся конечной скоростью распространения элекпгромагнитных полей. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
