А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 72
Текст из файла (страница 72)
$ 46. Дифференциальная формулировка закона элекгромагннтной инду кццн Диепия дц<))<1<ервячиалы<ая формулировка закона электромагнитной индукчаи и обсуясдаются свойства векторного и скалярного потею<палов переменного электрол<агиитиого поля. формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (45.1)1 в виде Е д(= — — ~В дб, <1 Г (46.1) дг " <. 5 где Ь вЂ” контур, 5 — поверхность, на<янутая на контур Ь.
В (46.1) учтены определения: й""'= ) Е.<)1, Ф = ) В. дб. (46.2) 5 Заметим, что между направлением обхода контура Ьи вектором дЯ соблюдается правовинтовое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Ф [см. (462)) поверхность 5, сквозь которую вычисляется поток, является произвольной, натянутой на контур Ь поверхностью. Такое определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чзобы поверхность была ограничена контуром Ь или, как говорят, натянута на контур Ь. Докажем это.
Выберем две какие-либо поверхности 5, и 5,, натянутые на контур Ь. Их совокупность составляет замкнутую поверхность 5 = 5, + 5,, ограничивающую некоторый объем )г между ними. Поток вектора В сквозь замкнутую 1 46. Дифференциальная формулировка закона 319 поверхность 5 равен нулю, поскольку по теореме Гаусса — Остроградского он равен интегралу по объему )г, ограниченному поверхностью Я, от з))у В=О. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через Я, и Бз (знаки потоков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положнзельных нормалей к этим поверхностям). Преобразуем левую часть (46.1) по формуле Стокса: )'Е д)=1гогЕ дВ.
5 В результате получаем (' дВ гог Е сБ = — ~ —. дб, (46.4) д1 5 причем производная по г внесена под знак интеграла на том основании, что плошадь интегрирования не зависит от времени. Так как Я произвольна, то из (46.4) следует, что (46. 3) го1 Е = — дВ)сн. (46.5) Уравяспис (46.5) является дифференциальной записью закона электромагнитной инлукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некоторой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле Е часзо называют индукционным. Непотенциальносгь индукционного электрического поля. В переменном магнитном поле сзВ/дг я О и, следовательно, в соответствии с (46.5) (46.6) го1 Е ~ (). Это означает, чго индукииоаное злеынрическое ноле в онзличие ояз электросгнаглического, норождаелзого ненодвижньзлси зарядами, не являензся нонзенииальным.
Работа перемещения заряда 4 в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю: А =г)$'ьнд = 4Е д)МО. (46.7) Е Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде градиента от некоторой функции, т.е. не может быть представлено в виле (14.27). Необходимо использовать отличное от (14.27) представление. В = го1 А. (46.8) Связь скалярного потенциала с напряженностью электрического Векторный и скалярный потенциалы в переменном электромагнитном поле.
Поскольку закон электромагнитной индукции не затрагивает законов порождения магнитного поля, уравнение (36.4) для дивергенцни магнитного поля остается без изменения, т.е. п(у В = О. Следовательно, без изменения остается и формула (37.2), связывающая векторный потенциал с индукцией магнитного поля.' Зля 8, Электромаппнная инлукиин и квазистацнонарные переменные токи ноля изменяется. Выражая В в (46.5) с помощью (46.8), получаем о дА го! Е = — "— го! А = -го! — —, (46,9) д! дг ' гле последовательность дифференцирований по времени и коорлинатам изменена вслелствие их независимости.
Уравнение (46.9), переписанное в виде дА з го! Е+ —.у! = О, (46.!0) д! г) показывает, жо вектор Е ь дА/дг является потенциальным и, следовательно, может быть представлен в виде градиента некоторой функции Е -'; дзА/дг = — 8гаг( гр, (46.11) гле гр — скалярный потенцигаь Таким образом, в случае переменных полей напряженность электрического поля выражается не только через скалярный, но и через векторный потенциал формулой (46. ! 2) Первое слагаемое в правой части (46,12) учигаывает порождение электрического поля электрическими зарядами, а второе — порождение поля по законе электроиагиитной индукиии Фарадея. Неоднозначность потенциалов, калибровочное преобразование.
Т „ как и в стационарном случае, скалярный и векторный потенциалы являются неоднозначными, т. е, одно и то же электромагнитное поле может быть описано многими скалярными и векторными потенциалами. Пусть поле Е, В описывается потенциалами А, гр по формулам (46,8) и (46.12) и имеезся некоторая произвольная функция у (х, у, г, г). Утверждается, что цо~епциалы А' = А + 8гад т, чз' = <р — Ьр/дг харакгеризуют то же самос поле Е, В, что и потенциалы А, гр.
Для доказагельстяа найдем Е', В'. описываемые потенциалами А', рз' по формулам (46.8) и (46,12): В' = го! А' = го! А + го! 8гаг( у = В, (46.14) тле учтено, что го! 8гад = О и принята во внимание формула (46.8). Для поля Е' получаем Е' = — Вгад гр' — гзА'/дг = — 8гад гр — 8гад (г Х,'дг)— — гА/гг — д(8гаг) т)/дг = — 8гад гр — ОА/гл = Е. (46.15) Таким образом, действигельно потенциалы (46,13) описывают то же самое поле, что и потенциалы А, чх Преобразования (46.13) называют калибровочными. Они позволяют «калиброватьп потенциалы, т. е. наложить на них неко~орое условие, пользуясь их неопнозначносгью (см. ьх !4, 37, 63).
й 47. Энергия магнитно<о поля 32! 5 47. Энергия мягннгноп! поля Выводятся формулы для энергии .магнитного поля контуров с током и вырижепие для плотности энергии. 77 риводятся выражения для энергии лшгнетика во внешнем магнитнол< поле и облемных с<ы, действуюи<их на сжимигмые магнетика -1нергия магнитного поля изолированного контура с током. Для того чтобы в неподвижном кон<урс созлать электрический ток, необхолимо включить в цепь источник сторонних э.
д. с. Если в цспи течет постоянный ток, то энергия, поступающая в цепь из источника сторонних э. д. с., расходуется па выделение джоулевой теплоты и на совершение работы в потрсбизсле энергии. Индукция магнитного поля, как и его энергия, при этом неизменна, Иидукция изменяется с изменением силы тока. Следовательно, источник сторонних э. д. с. передаст в цепь энергию па создание магнитного поля в процессе увеличения силы тока. Бычищ<ив работу, совершаемую источником сторонних э. д. с. для увеличения силы тока от нуля до конечного значения, получим энергию магнитного поля, которое связано с этим <оком.
При изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром, в контуре возннкаег э, д. с. индукции в соответствии с законом (46.1). У изолированного контура поток электромагнитной инлукции Ф возникает за счет магниз ного поля, создаваемого током в контуре (рис. 181). При увеличении силы тока возрастает поток Ф, охватываемый током, и в контуре по закону Фарадея возникает э. д, с. индукции, которая в данном случае называется э.
д, с. самоиндукции. По правилу Ленца, она направлсна так, что препятствует увеличению силы тока. Для у.величения силы тока нсобходнмо, чтобы сторонняя <к д. с. источника была направлена противоположно э. д. с. самоиндукции и равна сй, Таким образом, в пронессе рости силы тока источник. апоронни:с э.
д. с. говери<иет рибату против э. д. с. сал<оиндук<(ни. За промежуток времени й по контуру проходит количество элсктричесгва с)Д = Г й и, следовательно, против э. д. с. самонндукции исгочник сторонних сил в течение й совершает работу с14 = — гр"" 1 с)с = (дФ<<с)г) У й = 1 с1Ф, где для 8""' использована формула (46.1). При совер<пении этой работы происходит превращение энергии источника сгоронних э. д.
с. в энергию магнитного поля тока в контуре. Г!оэтому изменение энергии магнитного поля связано с изменением потока соотношением д И' = Г дФ. (47.2) Индукция магнитного поля тока в соответствии с законом Бно — Савара (10.10) линейно зависит от силы <ока. Поэтому при 1! А ц матвеев 322 8. Элсктромлгуш~авл шыуклия и квзуис1внноизрпыс переменные токи риля 181 При узслпчсини тока источник сторонних з.л.с. совершает рзбоьу против ч л с сымокллуклин 18? К вычислению кляуз~взносы контура ° Г?ачему взаинная инду»- тивмость может быть рассчитана па формуле, в котарунз входят линейные токи, а индуктивность нв нохсет быть выражена через лннейныв токи? Какое свойство нагнитмо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
