А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 100
Текст из файла (страница 100)
туре Следовательно, средний квадрат заряда на обкладках конденсатора и средний квадрат силы тока равны (67.7) Исходя из принципа суперпозиции, можно сказать, что (67.7) представляет собой средние квадратичные флуктуации величин заряда и силы тока в колебательном контуре. распределение флуктуаций по частотам.
Формула (67.7) дает лишь полную среднюю квадратичную величину флуктуаций и ничего не говорит о том, как она распределяется по частотам. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо решить уравнение колебаний для контура, на который действуют случайные силы, представив их в виде ряда (ннтеграла) Фурье по частотам; (7=2,У„е' . (67.8) от средней величины, т. е. описывает флуктуации. Ясно, что если имеется некоторое крутильное колебание, то по принципу суперпозицин можно заключить, что (67.4) характеризует флуктуацию квадрата амплитуды. (ввблУктУации в колебательном контУРе. В колебательном конгУРе (рис. 266) происходят колебания с частотой оу = Ц/Ы, физическая сущность которых заключается во взаимопревращении энергии электрического поля в конденсаторе и энергии магнитного поля в нндуктивносги.
Закон сохранения энергии имеет вид Дг/(2С) + /.т'~/2 = сопвг, (67.5) где Д вЂ” заряд на обкладках конденсатора, я' — сила тока в контуре. Нельзя себе представить контур, в котором абсолютно отсутсгвуют токи, а на обкладках конденсатора не возникают заряды. Точнее говоря, такую ситуацию можно себе представить лишь при температуре 0 К. При температуре, отличной от О К, тепловое движение электронов приведет к возникновению зарядов на обкладках конденсатора и токов в контуре, По теореме о равнораспределении имеем (Дг/(2С)'у г(,уг/2У (с7/7„ (67.6) 446 10.
Флуктуации и шумы Уравнение (Ж10) для колебаний заряда коцденсатора принимает вид ЕЦ + КД + Д/С = 2,' (/„еь", (67.Я) (67.12) (67.136) откуда — Ааг + Исо + 1/С ' (67.10) что проверяется дифференцированием. Для среднего квадрата ампли- туды <(ДД*)> = <) Д ~'>, отсюда находим (у„(тое' 'е '"' <~, (-г * ~- л .~"1!сц-с ' — г;- ОО>' и, О' (672 1) Электродвнжущне силы, возбуждающие колебания различных частот, являются независимыми и некоррелированными между собой.
Поэтому при усреднении в (67.11) члены с ш;е ш' пропадают и остается 'Г <(у'.> <(е > <(ы( > ~( г 1/С)г+ иг„ где <м' > и <(у„> — средние значения от действительных квадратов амплитуд соответствующих величин. Теперь перейдем к непрерывному спектру частот, поскольку пред- шествующие вычисления проделаны для дискретно~о спектра лишь с целью упрощения вычислений. Фактический спектр является непре- рывным. От средних квадратичных величин для частот дискретного спектра необходимо перейти к плотностям соответствующих величин. Средний квадрат полного заряда составляется из вкладов отдельных частот.
Поэтому (67.13а) где д <Дг>/дсо — плотность квадратов амплитуд колебаний заряда; д <Д'„> — средний квадрат амплитуды колебаний заряда, приходящейся на интервал частот (ш, а+дев). Под знаком суммы в (67.12) произ- ведем замену: л <(уг> дш понимая под д <(У~>/Йо — плотность распределения квадратов ампли- туд напряжений по частотам. После такой замены можно в (67.12) перейти от суммы к интегралу. В результате получаем <О И <(У-'>/6 16 1 й <К>, <(2г> = „г г " -г — —;--г-= „~ " г)ш, о о й 67. Фпуктуаппи в коп«уре с током.
Шум сопротивления 447 откуда (67.17) Из (67.71 с учетом (67.16) и (67Л7) находим д<(Уг>=(2/п)ййтб . (67.18) Отсюда на основании (67.15) следует, что (2/я) /«Тй с(оз ( ° — 1/С)'+ Кг»г й <17.'> Необходимо обратить внимание на то„что " определяет плотность среднего квадрата амплитуды, отнесенную к интервалу круговых частот ок Очень часто пользуются плотностью среднего квадрата амплитуды, отнесенной не к круговой частоте со = 2я/Т, ( <(гг) а просто к частоте ч=1/Т, т.е.
величиной " . Учитывая, что с1ч со = 2яч, бсв = 2п с(ч, находим л <11г) 1 «1 <(Уг) бсо 2п с(ч Тогда 1см, (67.18)) с( <(уг) = 4(«ТЯ с(ч, (67.21) (67.19) — формула Найквиста: средний квадрат амплитуды наирялсения сблуктуаций пропорционален интервалу частот и зависит только от сопротивления в контуре и температуры. Экспериментально существование бее)= г г г г (67Л5) Щум сопротивления, Средняя энергия гармонических колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому плотность среднего квадрита амплитуды колебаний характеризует плотность их энергии. Дальнейший анализ основывается на предположении, что средняя плот/л <(уг) ность квадратов амплитуд « " = А не зависит от частоты. Обосбы нование его справедливости основывается на случайном характере элекгродвижущих снл.
Поэтому (67Л4) можно записать в виде: (сг (67.16) Ж )=А | (1 1/С)г+йг г л о Интеграл вычисляется элементарными методами и приводит к равенству О | с(ы яС г 1/С)г+ у(г г = о 448 1О. Флуктуация я шумы таких флуктуаций бьшо обнаружено Джонсоном, Эти флуктуации называют шумом сопротивлений ичи шумом Джонсона.
Эквивалентный генератор шума. Флуктуации, обусловленные сопротивлением Я, средний квадрат напряжения которых определяется формулой (67.21), могут быть представлены как результат действия генератора з, д. с. П„и внутреннего сопротивления Я. Эквивалентный генератор тока шунтирован сопротивлением Я и характеризуется (в соответствии с законом Ома) средним квадратом силы тока: д (уз) = 4ЙТг(»7Я. (67.22) Мощность шума генератора.
Антенна, с помощью которой принимаются радиосигналы, направляющиеся затем в приемник, по своей роли в цепи эквивалентна генератору с соответсгвующим внутренним импедансом. Ее согласование с приемником состоит в том, ггобы сделать сумму реактивных составляющих импедансов антенны и приемника равной нулю, а их активные сопротивления равными между собой (см.
з 49). Прн этом максимальная мощность, которую генератор (антенна) может отдать в приемник (см. (49,35)1, равна Р„„„. = ((ГзЯ4Я), (67.23) где ((у'3 — средний квадрат э.д. с. антенны; Я вЂ” ее внутреннее сопротивление, равное сопротивлению нагрузки. Пусть нагрузочное сопротивление Я само по себе не производит шума и является, например, омическим сопротивлением, поддерживаемым вблизи температуры О Х Можно также представить себе в качестве нагрузки идеальный приемник, который сам по себе не обладает никаким внугренннм шумом.
Тем не менее, в принимаемом с антенны сигнале будет содержаться шум, мощность которого в соответствии с (67.23) и (6721) равна бР = — " = (гТг(». б ((г'.> 4Я (67.24) Этот шум в наушниках прн достаточном усилении будет слышен и никакими усовершенствованиями приемника от него избавиться нельзя. Его можно также увидеть на экране осциллографа. Увеличение коэффициента усиления приемника пропорционально увеличит на выходе из приемника как полезньш сигнал, так и шум (67.24), поданный на его вход, не изменив соотношения между ними. Максимальная чувствительность.
Сигнал можно детектироватгч если его мощность будет больше мощности шума. Поэтому из (6724) для минимальной мощности детекгируемого сигнала получается выражение (67.25) дР~ = (гТг(», справедливое для идеального приемника. Эта мощность представляет порог чувствительности приемника. 1 67. Флуктуации в контуре с током. Шум сопротивления 449 Единственной возможностью повышения чувствительности (при фиксированной температуре) является уменьшение ширины полосы используемых частот <Ь. Однако при этом уменьшается количество информации, которую несет с собой сигнал, и в каждом случае имеется нижний предел, до которого можно сужать полосу.
Например, для передачи речи по радио с помощью амплитудной модуляции без очень большого искажения необходимо иметь полосу порядка с)и = 10 кГц. При комнатной температуре 1Т = 290 К) это для минимальной детектируемой мощности дает бр = 1,38 10 " 290 104 Вт = 4 10 " Вт. (67.26) Для передачи телевизионных изображений минимальная ширина полосы должна быть порядка 4 МГц, поскольку объем информации для восстановления изображения значительно больше, чем для восстановления речи.
При этих условиях минимальная мощность сигнала, поливаемого на идеальный приемник, составляет 1,6 1О ьк Вт. ~квивалентная шумовая температура приемника. Фактически приемник сам является источником дополнительных шумов, которые накладываются на шумы антенны. Поэтому мощность бР, минимального сигнала, который может быть детектирован, больше, чем бРо, на мощность ЙР, внутреннего шума приемника; оРс = оРо + оРкк (67.27) Мощность с)Ркр внутреннего шума приемника принято выражать по формуле (6725) посредством эквивалентной шумовой температуры Т, в виде т)Р р И Йч (67.28) У идеального приемника Т, = 0 К. Однако очень близко подходить к этому пределу в практике нет необходимости.
Достаточно эквивалентную температуру сделать примерно раз в десять меньше соответствующей температуры генератора (антенны), чтобы дополнительный шум приемника был практически несуществен. Коэффициент шума приемника. При комнатной температуре на интервал частот сЬ = 1 в соответствии с 167.26) приходится мощность брет = 4 ° 10 з' Вт. Шумовая характеристика приемника описывается коэффициентом шума бР, с)Рок Обычно он выражается в децибелах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
