С.Г. Калашников - Электричество (1115533), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Ее объем и плотность, даже при неизменной температуре, в магнитном поле могут изменяться (явление магяитострпкции). Поэтому магнитная проницаемость, зависящая от температуры и плотности среды, не остается постоянной при намагничивании. Помимо этого, работа источника тока может и не превращаться целиком в энергию магнитного поля. По этим причинам в общем случае формула (97.1) не выражает точно работу при намагничивании и не дает объемную плотность энергии магнитного поля в среде. В дальнейшем мы будем считать, что влияние изменения объема среды пренебрежимо мало (или что объем поддерживается постоянным). Однако формула (97.1) дает внешнюю работу А при намагничивании, если температуру среды поддерживать постоянной, Как и в случае электрического поля, эта работа идет на увеличение энергии магнитного поля Иг и на выделение тепла Я, отводимого от тела (или сообщаемого ему) для поддержания постоянной температуры.
В 2 37 мы уже говорили, что работа внешних сил (в данном случае источника тока), совершаемая над телом при квазистатическом изотермическом процессе, равна приращению свободной энергии тела Следовательно, формула (97.1) выражает не внутреннюю энергию магнитного поля, а ту часть свободной энергии намагниченной среды, которая зависит от магнитного поля. Если тепло с„мало по сравнению с энергией поля И~, то внешняя работа при создании магнитного поля равна энергии этого поля. Это мы и будем предполагать в дальнейшем, еслн не сказано обратное. Предположение о постоянстве д обозначает также, что магнитная индукция В = ддаН есть линейная функция магнитного поля Н. Такая зависимость точно справедлива для вакуума (д = = 1). Ее можно также применять с хорошей точностью для многих веществ (парамагнетиков и диамагнетнков, з 109).
Однако в ферромагнетиках Я 110) зависимость В от Н сильно нелинейна даже при неизменной температуре, и поэтому формула (97.1) к ним неприменима. Более общее выражение для энергии магнитного поля, справедливое при нелинейной, но однозначной зависимости В от Н (отсутствие магнитного гистерезиса), будет дано в 1 111.
9 98. Взаимная индукция Рассмотрим теперь два контура с током, например два круговых витка 1 и й (рис. 151). Часть линий индукции поля, создаваемого контуром 1, будет проходить через контур й, т.е, будет сцеплена с этим контуром. И, обратно, определенное число ли- взлимнля индукция 213 ний индукции, создаваемых контуром У, будет сцеплено с контуром 1.
В этом случае мы говорим, что между обоими контурами существует магнитная связь. Индукция поля контура 1 пропорциональна силе тока гг в этом контуре. Поэтому магнитный поток Фгг через контур 8, создаваемый контуром 1, также пропорционален току 1~: Фгг = Ь|ггы (98.1) Коэффициент Адг называется взаимной индуктиеиостью контуров 1 и 3. Она, очевидно, равна магнитному потоку через контур 9, создаваемому контуром 1 при силе тока в нем, рав- контуров ной единице. Из сравнения (98.1) с (93.1) видно, что размерность Ь~г та же, что и размерность иидуктнвностн, и поэтому взаимная индуктивность измеряется в тех же единицах, что и индуктивность.
Совершенно так же, если в контуре з имеется ток некоторой силы тг, то он создает магнитный поток Фгг через контур 1, причем Фл = лагг. (98.1а) Здесь 1гг есть взаимная индуктивность контуров й и 1. Можно показать (3 99), что для любых двух контуров взаимные индуктивности всегда равны: Егг = 1щ.
(98. 2) Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что прн всяком изменении силы тока в одном из контуров в другом контуре появляется ЭДС индукции. Согласно основному закону электромагнитной индукции (3 91) имеем оФ12 4$1 н+М Й2 йг = — — = — бл —; 3) = — — = — Й~г —, (98.3) Й Зг' Ж дг' где Жг — ЭДС индукции, возникающая в контуре й, а. йг — ЭДС индукции в контуре 1. Взаимная индуктивность зависит от формы и размеров контуров и от их взаимного расположения. Она зависит также от свойств окружающей среды.
Рассмотрим простой пример вычисления взаимной иидуктивности. Пусть имеются две тороидальные однослойные катушки 1 и М, вплотную прилегающие друг к другу (рис. 152). В этом случае все линии индукции, создаваемые одной катушкой, проходят и через вторую катушку. Напряженность магнитного поля катушки 1 равна (3 81) Н~ — — Н~г~/1. 214 ГЛ Х ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Это поле создает магнитный поток сквозь один виток катушки х, равный доН1 О' = !2еМ121О/1, где О' — площадь сечения катушек. Полный поток сквозь все !22 витков катушки Й есть ф !22221'22~ 12 = 21, откуда для взаимной индуктивности получается выражение Ь =!" ' ' . (98.4) -2 Если вычислить магнитный поток, создаваемый катушкой Я сквозь Рис.
152. Две обивтви с магнитной свЯзью катушк" 2 то получится тт 2~212 т !222222 "12 Н2= ф21= 2г. Отсюда мы находим для взаимной индуктивности Ь21 прежнее выражение (98.4) в соответствии с формулой (98.2). В том случае, когда внутри катушек имеется сердечник из вещества с магнитной проницаемостью !2, магнитный поток увеличивается в р раз и коэффициент взаимной индукции будет в !2 раз больше. 9 99. Взаимная энергии двух токов Вычислим энергию магнитного поля, созданного двумя контурами с током.
Рассмотрим самый простой случай двух тороидальных катушек (см. рис. 152), находящихся в вакууме, в которых магнитное поле однородно. Напряженность суммарного поля внутри катушек Н = Н1 ~ Нг = ( 22121 ~ Н222)/1' выбор знака + или — зависит от того, одинаковы или противоположны направления токов в обеих катушках. В единице объема этого поля заключена энергия (Ч 97) реН2/2, а полная энергия, находящаяся во всем объеме поля Г = Я, равна И = = —. !(!2121) + (~222) ~ 2(!2121)(!2222)) Воспользовавшись выражениями для индуктивностей б1 и Ьг обеих катушек (5 93) и их взаимной индуктивности Ь12 (5 98), полученный результат можно представить в виде 14' = 7~121/2 + с'222/2 ~ 2'122 ! 22.
(99.1) 1ша СОХРАНБНИБ ЭНБРГИИ В МАГНИТНОМ ПОЛН 215 Первый член этой формулы дает собственную энергию тока контура 1 Я 96), а второе слагаемое выражает собственную энергию тока контура Й Формула показывает, что энергия двух токов в контурах, обладающих магнитной связью, отличается от суммы собственных энергий токов на величину И'~2 = ~1 1211г2. (99,2) Она получила название взаимной энергии двух токов.
Из сказанного видно, что причина возникновения взаимной энергии токов заключается в том, что в поле нескольких контуров с током складываются нэлряженности поля (принцип наложения или суперпозиции полей, см. ~ 76), в то время как энергия магнитного поля пропорциональна квадрату напряженности, а квадрат суммы не равен сумме квадратов. Представим себе, что мы сначала создаем ток 21 в контуре 1, а ток в контуре й 12 = О. Для этого потребуется работа Ь1гг/2. Создавая затем ток в контуре 9, мы совершим работу, согласно (99.1) равную Ь212/2 ~ 112г1гг. Если бы мы сначала создали ток 22 (а ток 21 был бы равен нулю), то для этого была бы необходима работа Л2121'2. Но тогда последующее создание тока 1г потребовало бы работы Ь|г21/2 ~ б121~г2.
Мы видим, что работа образования тока в контуре в присутствии другого контура с током не равна работе образования того же тока в уединенном контуре, она отличается на величину взаимной энергии обоих токов И'12. Мы полу ти ги формулы (99 1) и (99 2) рассмагривая частный случай тороидальных катушек. Легко убедиться, однако, что этот результат справедлив для контуров произвольной формы, находящихся в любой среде (см. Добавление 6).
й 100. Закон сохранения энергии при наличии магнитного поля Магнитные явления, как и любые другие процессы в природе, подчиняются закону сохранения энергии. Рассмотрим этот вопрос на примере двух контуров. Пусть имеются два произвольных контура с токами гы 12, источниками тока с ЭДС сы, 12 и полными сопротивлениями г1 и Г2. Контуры могут быть как неподвижными, так и движущимися, а токи в них могут изменяться. В каждом из контуров, вопервых, производят определенную работу источники тока. Их работа за бесконечно малое время Ш1 равна ~~г1<И+ 6'гг241. Если источниками тока являются гальванические элементы, то эта работа совершается за счст химических реакций в элементах. 216 гл.
х ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Далее, в контурах выделяется тепло Джоуля-Ленца: Г1 э'1 г(1+ Гге'г й. г г На каждый контур действуют силы магнитного взаимодействия. Поэтому при перемещении контуров (или при их деформации) будет совершена определенная механическая работа. Обозначим ее через бА. Наконец, при движении контуров или при изменении силы токов в них будет изменяться магнитное поле, а следовательно, будет изменяться и его энергия. Согласно 0 99 изменение энергии магнитного поля равно ЛФ' = Н(Х1г1/2+ Хг(г/2 ~ Х12(1ег).
Мы будем считать, что емкость контуров весьма мала, и поэтому энергию электрического поля учитывать не будем. Согласно закону сохранении энергии имеем работа исглочников пгока = = тепло Дзкоуля-Ленца + механическая работа+ + увеличение энергии магниптиого поля. Или, иначе: 01т1 "1+ Ег(г сй = (ГА сЫ+ гг(г й) + бА+ с(И'. (100.1) Если контуров ие два, а больше, то закон сохранения энергии имеет вцц Жьвь й = ~ гьгь й+ бА+ а) ~~~ быгьц(2. (100.1а) ь ь ь ! В этой формуле последний член выражает изменение энергии магнитного поля, бьь обозначает коэффициент самоиидукции й-го контура, а Ьы— коэффициент взаимиой индукции коитуров й и 0 При й = 1 соответствующий член суммы дает собственную энергию й-го контура Ььь1ь/2, а при .2 й ф 1 каждая пара членов суммы Лыгач/2+ Ь|ьцгь/2 = бьпьц представляет взаимную эиергию Й-го и 1-го контуров.
Поясним сказанное иа примерах. П р и м е р 1. Один контур с постоянным током. Так как в данном случае магнитное поле постоянно, то изменение энергии поля равно пулю. Если контур пе деформируется, то и механическая работа дА = О. Поэтому (100.1) дает В этом случае работа источника тока целиком превращается в тепло (рис.
153 а) П р и м е р 2. Одпн контур, е котором рстеноелпеаетсл ток. Зависимость силы тока от времени в процессе его установления выражается, согласно З 95, формулой 1 = со (1 — ехр (- — 1)], 1а =— т . Ф 5 г ~ 100 СОХРАНЕНИЕ ЕНЕРГИИ Н МАГНИТНОМ ПОЛЕ 217 Работа источника тока за время з(1 равна (3збй По сравнению со случаем установившегося тока оиа уменьшается на величину г ззгзю зй — 3'з ой = йе ехр (- — 1 зй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
