С.Г. Калашников - Электричество (1115533), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Постоянная интегрирования С может быть определена из начального условия. Положим, что источник был выключен в момент времени 1 = О. Тогда начальное условие есть ~ = О, 4 = 1о, откуда С = 1э. Поэтому закон убывания тока принимает вид 1= 1оехр( — 1/Т), (96.1) где (95.2) Т = Ь/г. 1 95 ИСЧЕЗНОВЕНИЕ И УСТАНОВЛЕНИЕ ТОКА 207 Величина Т имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи с индуктивностью и сопротивлением. Из (95.1) видно, что Т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е = 2,71 раза. Чем больше индуктивность и меньше сопротивление, тем медленнее происходит исчезновение тока.
Отметим, что, согласно (95.1), сила тока асимптотически стремится к нулю, так что полное исчезновение тока (1 = О) наступает только через время 1 = оо. Однако практически исчезновение тока обозначает, что его сила сделалась достаточно малой. А такое почти установившееся состояние достигается в конечное время, однако тем большее, чем больше постоянная времени Т. Рассмотрим численный пример. Пусть Х = 1 Рн, а г = 100 Ом.
Тогда Т = 0,01 с и через зто время ток уменьшится в е = 2,71 раза. Ток уменьшится до 0,001 первоначальной величины через время й которое можно определигь из (95Л): 1н У000 = 1/0,01, откуда 1 = 0,009 с. Если в цепи, изображенной на рис. 149, ключ К сначала был замкнут и затем внезапно разомкнут, то в цепи начнется процесс установления тока.
В этом случае в цепи будут действовать ЭДС источника 77 и ЭДС самоиндукции — Ась/сМ, и второе правило Кирхгофа дает гз' = Ж вЂ” Ьй/Ж. Здесь г — полное сопротивление цепи, в которое в данном случае должно быть включено и внутреннее сопротивление источника. Введя новую переменную и = гб — Ж, преобразуем это уравнение к тому же виду, что и выше: Ыи/и = — сЫ/Т, где через Т обозначена постоянная времени, выражаемая формулой (95.2). Поэтому и = С ехр ( — 1/Т). Если начало отсчета времени совпадает с моментом включения источника, то начальное условие имеет вид 8=0: 1=0, и=-1» Это дает С = — Ю, н мы имеем и = 1г — Ф = — й ехр ( — 1/Т). Выражая отсюда силу тока г, находим окончательно (95.3) 208 ГЛ. Х энввгия мАГнитнОГО пОля Сила тока возрастает от начального значения г = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению 1Г/Г.
Быстрота установления тока определяется той же постоянной времени Т,что и исчезновение тока. Влияние индуктивности можно продемонстрировать на опыте, схема которого показана на рис. 150. Здесь имеются две параллельно соединенные ветви, одна из которых содержит большую индуктивность Х в несколько десятков генри (вторичная обмотка высоковольтного трансформатора), а другая — сопротивление Г, равное сопротивлению катушки Ь. Л1 и Лз — одинаковые лампы накаливания, играющие роль демонстрационных амперметров; П вЂ” переключатель, позволяю- 1 Л, щий изменять направление тока; Б — батарея, При замыкании цепи на батарею лампа Лз накаливается быстро, практически мгновенно. Лампа же Л1 накаливается с заметным % запозданием (порядка 1 с) и ее свечение усиливается постепенно. При быстрых непрерывных переключении ях батареи лампа Л| вообще не успевает накалиться за время между переключениями и остается темной.
Этот опыт разъясняет причину так называемого «кажущегося сопротнв- Р— 1 ления» индуктивности в цепи переменного тока, которое мы рассмотрим подробнее в 8 219. Рис. 150. Демон- Для многих целей, например при измерестрацвв влияния ниях на переменном токе, желательно иметь ивлувтивввсти вв катушки сопротивлений, индуктивность котовгвм" Ус™вввв рых по возможности мала. Для устройства таких безындукционных катушек проволоку сгибают посредине и получившуюся двойную проволоку используют для обмотки. Такие бифилярные (двунитные) катушки можно рассматривать как состоящие из двух катушек, токи в которых направлены противоположно.
Магнитное поле таких катушек почти равно нулю, и поэтому их индуктивность ничтожно мала. ГЛАВА Х ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 8 96. Собственная энергия тока Для увеличения тока в электрической цепи необходима некоторая работа. Эту работу производит источник тока, включен- 209 СОВСЧ ВЕННАЯ ЭНЕРГИЯ ТОКА б бб ный в цепь.
Напротив, при вгяком уменьшении тока в цепи освобождается некоторая энергия и источник тока совершает меньшую работу, нежели при постоянном токе. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Вернемся к цепи, изображенной на рис, 149, содержащей индуктивность Ь и имеющей полное сопротивление Г, и предположим сначала, что в ней имеется установившийся постоянный ток. Сила этого тока определяется ЭДС источника тока с. и сопротивлением цепи: 1 = Ж/Г. За время й в цепи будет выделено тепло Джоуля — Ленца Гг~ й. Так как тг' = Р, то Г~~й = йбй. Но правая часть этого равенства выражает работу источника тока за то же время й.
Мы видим, что работа источника в точности равна теплу Джоуля — Ленца, а, значит, для поддержания постоянного магнитного поля не требуется никакой работы. Представим себе теперь, что ток в цепи увеличивается с быстротой й/й. В этом случае в цепи появится еще ЭДС самоиндукции е„которая вызовет экстраток )в,( 1,й б1 = — '= — —. Г ГСВ Он направлен против тока г, и поэтому полная сила тока в цепи будет г — й. В дальней1пем мы будем считать, что процесс увеличения тока происходит весьма медленно (б1 «1), и при расчетах будем удерживать только члены первого порядка малости.
В рассматриваемом процессе за время й выделится тепло Джоуля-Ленца Г(г — й)з й. Оно меныпе по сравнению со случаем постоянного тока на величину ГР й — ф — бг) й = 2гг' й й = 2Хл — ' й = 2И й. я Здесь й — увеличение тока в цепи за время й. За то же время источник тока совершит работу Ф'(г — й) й и поэтому произойдет «разгрузка» батареи на величину работы: Ий — И(г — Й) й = Жйй = Ий. Следовательно, в случае нарастающего тока работа источника тока болыпе количества выделившегося тепла. Избыток работы источника и есть та работа, которая необходима для увеличения силы тока в цепи от значения 1 до 1+ й. Полная работа, необходимая для 21О гл х ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ установления тока ~, равна ИГ = Ь ~ 4 Ыг = Хл~/2. (96.1) а При выключении источника тока работа И' выделяется в цепи; ее совершают зкстратоки размыкания.
Поэтому выражение (96.1) дает энергию, запасаемую контуром с током. Она получила название собстпвенной знереии тока. Именно эта энергия и проявлялась в опыте (рис. 147) в виде отброса стрелки гальванометра и вспышки лампы от экстратоков размыкания.
Полезно сопоставить выражения для собственной энергии контура с током и энергии заряженного конденсатора, равной Я 34) 9г/2С Энергия конденсатора пропорциональна квадрату заряда, энергия же тока пропорциональна квадрату силы тока, т.е. зависит от скорости движения зарядов. В механикс мы встречались с двумя видами энергии: потенциальной и кинетической. Потенциальная энергия сжатой пружины равна Ах~/2, где х — смещение конца пружины, а Й вЂ” ее жесткость, а кинетическая энергия движущегося тела есть ,, г/2 где Гп — масса тела, а и — его скорость, Развивая аналогию между электрическими и механическими явлениями, мы видим, что энергия конденсатора соответствует потенциальной энергии в механике, а собственная энергия тока — кинетической энергии. При этом величина 1/С, обратная емкости, аналогична жесткости пружины, а индуктивность Ь вЂ” массе тела. 9 97.
Энергия магнитного поля Всякий электрический ток всегда окружен магнитным полем. Поэтому можно спросить, где именно сосредоточена, локализована, собственная энергия тока: внутри проводов, где движутся электрические заряды, или в магнитном поле, т.е. в среде, окружающей токи? Ответ на вопрос может быть дан только опытом. Однако пока мы имеем дело с постоянными токами, такие опыты невозможны, так как в этом случае токи всегда окружены магнитным полем и,наоборот, магнитное поле всегда сопровождается токами, его поддерживающими, что относится н к постоянным магнитам, которые также содержат замкнутые молекулярные токи (гл. Х1). 211 ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 1 97 Ответ на поставленный вопрос можно получить, исследуя переменные магнитные поля или электромагнитные волны (гл.
ХХП1). В электромагнитных волнах мы имеем магнитные поля, изменяющиеся в ~тространстве и времени и способные существовать без токов, их поддерживающих. Так как электромагнитные волны заключают в себе и переносят определенную энергию, то отсюда мы делаем вывод, что энергия сосредоточена в магнитном поле. Найдем энергию, заключающуюся в единице объема магнитного поля. Рассмотрим замкнутую тороидэльную катушку. Ее индуктивность Я 93, 94) есть Г, = ддеЛ77Я/1 где 7А — магнитная проницаемость среды, а 7Ао - — магнитная постоянная.
Подставляя это выражение в (96.1), имеем 'т э.2 ИГ = — д7Ае — г . 2 Но №/1 = Н есть напряженность поля внутри катушки (3 81). Поэтому И = д7АОН27/2, где т = О1 — объем катушки. Мы видим, что энергия однородного магнитного поля пропорциональна объему т, занятому полем. Поэтому энергия единицы объема поля, или обэемнал плотлностпь энергии магнитного поля, равна ш = ддоНЕ/2. (97.1) Если магнитное поле неоднородно, то его можно разбить на бесконечно малые элементы объема Йт, в каждом из которых поле можно считать однородным. Энергия, заключенная в элементе объема, есть 7о 717.
Полная энергия любого магнитного поля равна И'= ~ тэйт, (97. 2) т где интегрирование распространяется на весь объем т, занятый магнитным полем. При выводе формул (96.1), а следовательно, и (97.1) мы считали, что индуктивность контура, а значит, и магнитная проницаемость среды остаются постоянными. Мы считали также, что вся работа источника тока превращается в энергию магНитного поля. Это точно выполняется только для вакуума, так что формула (97.1) при 7А = 1 выражает объемную плотность энергии магнитного поля в вакууме. Если же контуры с током находятся в какой-либо среде, то приходится учитывать дополнительные обстоятельства, аналогичные указанным в 3 37 для электрического поля, а именно, при намагничивании среды она 212 ЭНКРГНЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЛ Х может нагреваться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
