С.Г. Калашников - Электричество (1115533), страница 119
Текст из файла (страница 119)
й 242. Энергия электромагнитных волн Мы видели (2 241), что электромагнитные волны способны производить различные действия: они накаливают нить лампы, включенной в диполь, вызывают отклонение стрелки гальванометра, соединенного с детектором, и т.п. Это показывает, что электромагнитные волны переносят определенную энергию. Рассмотрим в поле электромагнитной волны произвольную площадку Я (рис. 420) и вычислим энергию ЬИ», переносимую электромагнитной волной через эту площадку за малое вре- Рис.
420. К вычислению потока энергии электромагнитных волн мя сзс. Для этого построим на площадке Я, как на основании, параллелепипед, ребра которого параллельны скорости распространения волны з» и имеют длину исзь. Объем этого параллелепипеда равен »'.зт = ЯНЬгсозст, где сг — угол между нормалью и к площадке Я и скоростью ч. Так как за время Ьс волна проходит расстояние и Ь|, то очевидно, что через нашу площадку пройдет энергия ЬИ», заключенная внутри указанного параллелепипеда. Поэтому, если и есть энергия единицы объема поля (объемная плотность энергии), то ЬИ» = иЬт = НЯНЕ соз ст.
Объемная плотность энергии электромагнитной волны складывается из энергии электрического поля аеоЕ2(2 и энергии магнитного поля дроН2»2: и = (ееоЕ~+ 2зроН~)/2. Напряженности Е и Н в электромагнитной волне связаны соотношением .к»» ео Е = /рдо Н. Поэтому можно также написать и = аеоЕ = »г»зоН = ~/ерзlкодоЕН. 568 СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ ХХП1 Учитывая вщв, что о = 1/ /Е11 /голо, имеем ЛИ1 = ЕН$ сов о Ы. Следовательно, энергия, проходящая через площадку 5 в единицу времени, или дИ'/д~, равна дИ'/д1 = ЕНБ соэ О.
Полученный результат можно представить в более удобной форме. Введем вектор потока электромагнитной энергии, определяемый следующим образом: Р = [ЕН). (242.1) В электромагнитной волне Е и Н перпендикулярны друг к другу, и поэтому поток электромагнитной энергии Р = ЕН. Направление жс вектора Р перпендикулярно к Е и Н, т.е. совпадает с направлением скорости распространения волны т.
Тогда (242.1) можно представить в виде дИ'/д1 = Р„Я. (242.2) Здесь Р„= Рсоэс1 есть проекция вектора Р на направление нормали и к площадке Я. Таким образом, движение энергии в электромагнитном поле можно вполне охарактеризовать при помощи потока энергии Р. Его направление дает направление движения энергии. Модуль же потока энергии равен энергии, проходящей за единицу времени через поверхность с площадью, равной единице, перпендикулярную к направлению движения энергии. Понятие вектора потока энергии было введено Н.А. Умовым в работах о движении энергии в различных средах, а выражение (242.1) для специального случая электромагнитного поля было получено Пойнтингом.
Поэтому вектор потока электромагнитной энергии Р называют вектором Умова- Пойнтинга или вектором Пойнтинга. Если мы представим себе линии, касательные к которым в каждой точке совпадыот с направлением вектора Р (линии вектора потока энергии), то эти линии укажут нам пути, вдоль которых распространяется энергия электромагнитного поля. С другой стороны, линии, вдоль которых движется энергия света, в оптике называют лучами. Так как свет представляет собой также электромагнитные волны, то лучи света суть не что иное, как линии вектора потока энергии световых электромагнитных волн. Приведенный вывод выражения (242.2) не строг, так как мы везде предполагали, что фазовая скорость распространения волн т совпадает со скоростью движения энергии.
Однако в общем случае это заведомо не так. Тем не менее выражение (242.2), полученное нами путем нестрогих рассуждений, 569 1 242 энеРГия электРОмлгнитных ВОлн оказывается справедливым для всех случаев. Исходя из уравнений Максвелла, можно совершенно строго доказать следуюшую важную теорему о движении энергии в электромагнитном поле (гпеорелаа Лсньнгпиигп). Выделим внутри произвольной среды некоторый объем т, ограниченный поверхностью Я (рис.
421). Обозначим далее пол- р р иую энергию, заключенную внутри объема т, через И/. Тогда — — ~ Р„сБ. (242.3) Я Здесь Є— нормальная к поверхности составляющая вектора Умова — Пойнтинга, выражаемого формулой (242.1), а интегрирование производится по всей замкнутой поверхности Я. При этом положительным Рис 421 Кформулисчитается направление внешней нормали и розке теоремы ойн(рис. 421), т.е. поток 1" Ра ~(Я считается по- и ложительным, если линии потока энергии Р выходят изнутри объема наружу.
Величина — дИг/'дс есть уменьшение полной энергии внутри объема т за единицу времени. Согласно закону сохранения энергии она должна равняться той энергии, которая выходит через поверхность Я за единицу времени наружу. Отсюда следует, что энергия, выходящая через поверхность Я за единицу времени, выражается потоком вектора Р через замкнутую поверхность Я, ограничивающую рассматриваемый объем. Величину же Р„ можно истолковать как энергию, которая проходит через единицу поверхности в единицу времени. Рассмотрим некоторые примеры вычисления потока электромагнитной энергии. П р и м е р 1.
Расаросгаравлющаясл элекгаромагипщиал волна. Пусть имеется плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме вдоль оси Х. Тогда напряженности полей Е и Н в какай-либо точке х выражаются Формулами Я 231) Е = Еежп(иг — йх), Н= Нев1п(ыг — йх), где й = 2х/Л. Поэтому мгновенное значение вектора э'мова-Пойнтиига равно Р = ЕеНв в)п (ы1 — йх). Однако на опыте мы имеем дело не с мгновенным значением потока энергии, а со средним его значением во времени Р.
Так как среднее значение з)п о = 1/2 н, к1эоме того, для вакуума (е = и = 1) ~/се оЕе = Л/ре оНв~ то Р = н/се/рв Ее!2- 570 СВОБОДНЫЕ ЧЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ ХХН1 Это есть средняя энергия, проходящая через единицу поверхности в единипу времени, или ишпенгивносгль волны. Полученный результат показывает, что энергия, переносимая электромагнитной волной, пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. П р и м е р 2. Стоячая электрамогниглнол волна. Вычислим теперь вектор Умова-Пойнтинга для стоячей волны.
Согласно сквза|шому в 3 232, колебания полей Е и Н в стоячей волне можно представить формулами Е = 2Ео гов (Йх — грн/2) яп (од — гдн/2), Н = 2Но соо (йх — оон/2) вгп (ьН вЂ” уон/2) В этих выражениях г1он и грн обозначают запаздывания по фазе отраженной волны электрического и магнитного полей: гГон = 2к. 2)/Л+ 1/1, грн = 21г 2)/Л+ П. Здесь ~/~ и и — изменения фазы при отражении, равные либо 1г, либо нулю, а 1 — длина линии (в случае свободных волн 1 есть расстояние между излучателем и отражающей поверхностью). Введем обозначения 2Ео сов (йх — гдн/2) = Е1, 2Но сов(йх — гдн/2) = Нг; тогда колебания в какой-либо данной точке можно записать короче." Е = Е1 яп (гоŠ— у1н/2), Н = Н1 яп (од — оон/2), где Ег и Нг не зависят от времени.
Но в 3 232 мы видели, что если ф = гг, то оо = О н наоборот. Полагая, например, ф = к, имеем Е = Ег сов (ьд — 2я1/Л), Н = Н1 яп (ол' — 2яГ/Л). Поэтому для потока электромагнитной энергии получаем Р = Е1Н1 яп(м8 — 2Ы/Л) сов(ьд — 2Н/Л) = (Е1Н1/2) яп(2го~ — 4Ы/Л).
В этом случае значение Р колеблется с частотой 2ы и периодически изменяет знак. Поэтому среднее по времени Р= О, а следовательно, в стоячей волне течения энергии нет (чем н объясняется название этого типа колебаний). Периодические изменения знака Р пока- зывают, что направление движе- Е ния энергии периодически изменяется. Энергия лишь колеблется между пучнастями электрического П Р и пучностями магнитного полей. Этот процесс напоминает колебания энергии между нндуктивностью и емкостью в закрытом колебательном контуре. лннмм тохом. Рассмотрим цнлинпроводника с таком дрическнй проводник радиуса г, в котором имеется постоннный ток с плотностью 1 (рис.
422). Электрическое лоле Е и магнитное поле Н у поверхности проводника направлены так, как 571 элементАРный диполь 1 243 показано на рис. 422, и поэтому вектор Умова-Пойнтинга направлен внутрь проводника, перпендикулярно к его боковой поверхности. Это показывает, что энергия непрерывно втекает в проводник из окружающего пространства. Вычислим эту энергию. Если р — удельное сопротивление вещества проводника, то, согласно закону Ома, Н = И' Напряженность магнитного поля у поверхности равна Н = 1/(2яг) = Уг72. Поэтому Р = КН = рту~12. Энергия, втеквющая через всю боковую поверхность отрезка проводника длиной 1 за 1 с, получается равной И'/1 = Р .
2хг1 = ру' яг 1. Но р и, согласно закону Джоуля — Ленца (в дифференциальной форме), есть количество теплоты, выделяющейся в единице объема за едвницу времени, а ягз1 — объем проводника. Поэтому мы находим, что энергия, втекающая в проводник, равна количеству теплоты Джоуля — Ленца, как и должно быть по закону сохранезьчя энергии. Приведенный пример показывает, что электромагнитная энергия, за счет которой выделяется тепло, входит в проводник через его боковую поверхность, а не вдоль его оси, как это кажется на первый взгляд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
