М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков (1115304), страница 7
Текст из файла (страница 7)
У вас вэтом городе стоит сервер, нужно знать вероятность, что онбудет работать.Задача 6.13. Стрелок А поражает мишень с вероятность0.6, стрелок Б — с вероятностью 0.5, стрелок В — с вероятностью 0.4. Стрелки дали залп по мишени и две пули попалив цель, что вероятнее: попал стрелок В в цель или нет?Задача 6.14. В первой урне лежат 1 белый и 3 черных шара,во второй урне 2 белых и 1 черный шар. Из первой урны вовторую перекладывается не глядя один шар, потом из второйв первую.
Вынимаем шар из первой. Какова вероятность, чтоон белый?Задача 6.15. Три завода производят детали, первый производит 20 % от всех деталей, второй 30%, третий 50%. Долябрака на первом заводе равна 2%, на втором 3%, на третьем5%. Берется произвольная деталь, какова вероятность, чтоона бракованная?Задача 6.16. Три завода производят детали, первый производит 20 % от всех деталей, второй 30%, третий 50%. Долябрака на первом заводе равна 2%, на втором 3%, на третьем5%. Берется произвольная деталь, и она оказывается не бракованной, найти вероятность, что ее изготовили на третьемзаводе.Задача 6.17. В продукции химического завода брак составляет в среднем 2%. Отдел технического контроля (ОТК) обнаруживает брак в 90% случаев.
Изделие было пропущено ОТКкак годное. Найти вероятность, что оно бракованное.44Задача 6.18. Вероятность попадания в цель одной крылатойракетой составляет 0.4, по цели выпущено две ракеты. Каковавероятность того, что цель будет поражена?Задача 6.19. Три стрелка одновременно стреляют по мишени, вероятности поразить мишень для них составляют 0.2,0.3 и 0.4. Вычислить вероятность, что мишень пораженаровно двумя выстрелами.Ответы и решения6.2 P () = 0.8·0.4+0.1·0.6 = 0.38, 1 = {кипелка забыта},2 ={кипелка брошена}.6.3 P ()=0.99 · 0.9 · 0.8 + 0.8 · 0.9 · 0.2 +0.7 · 0.1 · 0.8 + 0.1 · 0.1 · 0.2=0.9148, 00={обе детали работают}, 01 = {1-я работает, 2-я сломалась},10 = {1-я сломалась, 2-я работает}, 11 = {обе сломались}.6.4 P () = 0 · 40 (0.9)4 + 0.2 · 41 (0.9)3 (0.1) + 0.5 ·42 (0.9)2 (0.1)2 + 0.7 · 43 (0.9)(0.1)3 + 0.9 · 43 (0.9)4 = 0.085.
1 ={i проектов завершились неудачей}, = 0..4.6.5P (1 |) =P ( )P ( )= ∑︀=P ()P(| ) P ( )=1P (| ) P ( )= ∑︀=1 P (| ) P ( )(7)6.6 1 = {условия вредны}, 2 = {не вредны}, ={датчик не сработал}(︀)︀P (1 ) = 0.25, P (2 ) = 0.75, P |1 = 0.75, P (|1 ) = 0.25,(︀)︀P |2 = 0, P (|2 ) = 1.P (1 |) =P (|1 ) P (1 )=P (|1 ) P (1 ) + P (|2 ) P (2 )0.25 · 0.250.0625=== 0.0769.0.25 · 0.25 + 1 · 0.750.81256.7 = {датчик сработал}45P (2 |) =P (|2 ) P (2 )=P (|1 ) P (1 ) + P (|2 ) P (2 )0.1 · 0.1== 0.0425.0.25 · 0.9 + 0.1 · 0.16.8 5/9.
Использовать разбиение: были дефекты/не было дефектов.6.9 0.00207. Есть два способа решать задачу: либо разбиениена 4 множества (брак/не брак) · (первый/второй контролеры),считать условную вероятность через формулу Байеса в такомвиде, потом складывать, либо посчитать условные вероятностиобнаружить брак спаркой контролеров и применить разбиениебрак/не брак.6.10 16/196.11 0.28176.12 0.96986.13 10/19. Вероятнее, что попал.6.14 21/646.15 0.0386.16 0.496.17 0.002046.18 0.646.19 0.264467. Биномиальная схема.Биномиальная схема предполагает независимых испытанийс вероятностью успеха и вероятностью неудачи 1 − . Этоодна из наиболее простых моделей, применяемых в огромномколичестве народно-хозяйственных задач: кроме простой схемы с успехами и неудачами (посевов, экспериментов, реакций,отказов приборов, банкротства) в биномиальную схему такжеукладываются игральные автоматы, количество страховых случаев, симметричный выбор из двух вариантов и др.
В следующих задачах требуется понять, как в данном случае может бытьприменена биномиальная схема, после этого решение задачи несоставляет труда. Рассмотрим задачу, на примере которой ясно,что из себя представляет биномиальная схема.Задача 7.1. Есть несимметричная монетка с вероятностьювыпадения орла 0.8. Какова вероятность за 4 бросания выкинуть 2 орла? Не менее двух орлов?I Рассмотрим события такого вида: 1 2 3 4={1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 3 , 4 = 4 }, где 1 , .
. . , 4 – обозначаютвыпадение орла (1) или решки (0) в 1, 2, 3 или 4-ом испытаниисоответственно. Ясно, что мы можем преобразовать событиеследующим образом{выпало 2 орла} = {1 + . . . + 4 = 2} =⋃︁1 2 3 4 . (8)1 2 3 4 ∈{0,1}4 :||=2Тогда имеет место равенствоP (выпало 2 орла) =∑︁ (1 2 3 4 ),(9)1 2 3 4 ∈{0,1}4 :||=2где || = 2 обозначает, что количество единиц в векторе (1 , . .
. , 4 ) равно двум. Вероятность каждого отдельного1 2 3 4 можно найти следующим образом:P (1 2 3 4 ) = P (1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 3 , 4 = 4 ) =47= P (1 = 1 ) P (2 = 2 ) P (3 = 3 ) P (4 = 4 ) == (0.8)|| · (0.2)4−|| = (0.8)2 · (0.2)2 . (10)Осталось посчитать количество элементов в сумме в (9), оноравно количеству последовательностей из нулей и единиц длины 4, содержащих 2 единицы. Таких последовательностей 42 .В результате получаем:P (выпало 2 орла) = 42 (0.8)2 (0.2)2 .(11)Рассчитаем теперь вероятность того, что выпало не менее двухорлов. Понятно, чтоP (не менее 2 орлов) == P (выпало 2 орла)+P (выпало 3 орла)+P (выпало 4 орла) == 42 (0.8)2 (0.2)2 + 43 (0.8)3 (0.2)1 + 44 (0.8)4 (0.2)0 , (12)где последнее равенство можно получить аналогично первойчасти решения.JВведем формальное определение.Опр.
Биномиальной случайной величиной (обозначается ∼(, ) или ∼ Bin(, )) называется величина, равная количеству успехов в последовательности независимых экспериментов, вероятность успеха в каждом из которых равна .Последовательность таких независимых испытаний часто называется схемой Бернулли, а сами испытания — испытаниями Бернулли. Биномиальная случайная величина равна количеству успехов в испытаниях Бернулли.Замечание. Словосочетание “биномиальная случайная величина” следует пока воспринимать формально (на интуитивномуровне ясно, что это такое).
Понятие “случайная величина” будет подробнее рассмотрено далее, в главах 10 и 11.Бернуллиевской случайной величиной называется индикаторуспеха в испытании, принимающий значение 1 (успех) с вероятностью и 0 (неудача) с вероятностью . Бернуллиевскуюслучайную величину можно рассматривать как частный случай биномиальной при = 1.48Теорема Бернулли. Вероятность того, что биномиальная случайная величина равна числу , выражается следующей формулой:P ( = ) = (1 − )− .Задача 7.2. Доказать теорему.Замечание. Без предварительных оговорок в биномиальнойсхеме часто используется обозначение = 1 − – вероятностьнеудачи.Задача 7.3. Есть 10 лабораторных мышей, при облучениимышь погибает с вероятностью 0.1.
Какова вероятность,что погибло 2 мыши после обработки облучением? Что погибло не более 2 мышей?Задача 7.4. Вывести общую формулу для вероятности того,что биномиальная случайная величина с параметрами n и pпринимает значение, не превосходящее m.IP ( ≤ ) =∑︁=0P ( = ) =∑︁ −(13)=0JЗамечание. Суммирование ведется с 0, так как может произойти и 0 успехов.Число , при котором биномиальные вероятности P ( = )достигают своего максимального значения (при фиксированном числе испытаний ) называют обычно наиболее вероятным(наивероятнейшим) числом успехов.Утверждение. Наивероятнейшее число успехов * в серии из независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха водном испытании определяется неравенством − ≤ * ≤ + , причем:1) если число − — дробное, то существует одно наивероятнейшее число * ;2) если число − — целое, то существует два наивероятнейших числа: * = − , * = + ;3) если — целое число, то наивероятнейшее число * = .49Рассмотрим несколько задач, где требуется увидеть биномиальную схему и применить её.Задача 7.5.
При передаче сообщения вероятность искаженияодного знака равна 1/10. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков:а) не будет искажено;б) содержит ровно 3 искажения;в) содержит не более трех искажений.Задача 7.6. По каналу связи передаются сообщения из нулейи единиц. Из-за помех вероятность правильной передачи знакасоставляет 0.55. Для повышения вероятности правильной передачи каждый знак сообщения повторяют раз. Полагают,что последовательности из принятых знаков соответствует знак, имеющий в ней большинство. Найти вероятностьправильной передачи знака, если = 5.Задача 7.7. Из множества = {1, . .
. , } случайно и независимо выбирается два подмножества 1 и 2 . Вероятностькаждого элемента попасть в равна . Найти вероятность того, чтоа) множества 1 и 2 не пересекаются;б) содержат ровно два общих элемента.Задача 7.8. Тест по теории вероятностей состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос в тесте предлагается 4 вариантаответа, из которых надо выбрать один правильный. Каковавероятность, что совершенно не готовясь к тесту, студенту удастся угадать правильные ответы по крайней мере на 6вопросов?Задача 7.9. Известно, что вероятность зависания компьютера в интернет-кафе равна 10%.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
