М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков (1115304), страница 10
Текст из файла (страница 10)
0.48759.29 Bin(200, 0.01). Пуассона. а) 0.09; б) 0.143.9.30 Bin(500, 0.05). Муавра-Лапласа. 0.68269.31 Bin(2000, 0.001). Пуассона. 8. По таблице пуассоновскихвероятностей из Приложения 4 при = 2 находим наименьшее, для которого P ( ≤ ) становится не меньше 0.9995.6510. Случайные величины I.Замечание. Случайные величины традиционно обозначаютсягреческими буквами1) , чтобы отличать их от обычных величини векторов. Правильное правописание и произношение греческих букв можно найти в Приложении 1.Опр.
Случайной величиной называется отображение из Ω вR, обладающее “хорошими” свойствами2) .Проще говоря, случайная величина — это функция на вероятностном пространстве.Пример случайной величины.Представьте, что вы попали в сказочную страну, где процветают азартные игры. Вы играете с гномом в такую игру: подбрасывется кубик, если выпало 6, то гном отдает вам 100 монет,если 4 или 5, вы отдаете гному 40 монет, 2 или 3 – отдаете20 монет, и если выпало 1, то гном отдает вам 5 монет в видеутешительного приза.Случайная величина вашего выигрыша описывается следующим образом: вероятностное пространство Ω = {1, 2, .
. . , 6},⎧100, = 6⎪⎪⎪⎨ −40, = 4, 5(24)() =⎪−20, = 2, 3⎪⎪⎩5, = 1Случайные величины – это удобный формализм работы со случайными объектами. Для краткости часто используется короткая записьP ( ∈ ) = P ({ : () ∈ }) .Например, событие, заключающееся в том, что ваш выигрышв игре с гномом из последнего примера положителен, можнозаписать так:{ > 0} = { : () > 0} = {1, 6} .1) Атакже большими латинскими.подробно и теоретически строго случайные величины описаны вПриложении 2. Пока достаточно понимать, что здесь есть некоторый болееглубокий теоретический бэкграунд.2) Более66Случайные величины, принимающие только конечное или счетное число значений называются дискретными случайными величинами.Опр. Распределением случайной величины называется наборвсех вероятностей всевозможных событий, связанных с даннойслучайной величиной.Для дискретных случайных величин распределение задается таблицей (возможно, бесконечной) значений, принимаемыхслучайной величиной и вероятностей, с которыми эти значения принимаются.
Соответственно, и распределение называетсядискретным.Для случайной величины из примера с гномом распределениеможет быть задано следующим образом:-40 -20 5 1001111P ( = )3366Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется следующая сумма:∑︁M = P ( = ) ,(25)где , = 1, 2, . . . — все возможные значения случайной величины. При этом сумма может иметь как конечное, так и бесконечное число слагаемых (ряд). В последнем случае ряд долженсходиться абсолютно.Найдем, например, математическое ожидание выигрыша в игрес гномом. ИмеемM = (−40) ·1111+ (−20) · + 5 · + 100 · = −2.5.3366Это означает, что если вы будете играть много раз, то в среднембудете проигрывать по 2.5 монеты за каждую партию.
Поэтомуигра вам невыгодна, и лучше от нее отказаться.Другим простым примером дискретной случайной величиныявляется число очков, выпадающее при бросании игральногокубика: эта величина равновероятно принимает целые значения от 1 до 6. Далее, случайную величину, принимающую равновероятно различных значений, для любого ≥ 2, можнореализовать с помощью “колеса Фортуны”, расчерченного на 67одинаковых секторов с записанными в них числами очков. Если же можно делать сектора разными, так реализуема любаяслучайная величина с конечным числом значений. В наше время, конечно, больше применяют компьютерное моделирование,и не с целью обеспечения азартных игр, а в серьезных научнотехнических целях.Задача 10.1. Найти распределение и математическое ожидание случайной величины:а) принимающей значения 1, 2, 3 равновероятноб) принимающей значения -1, 0, 1 равновероятнов) квадрата последней величины.I Обозначим через 1 случайную величину из а).1 2 3P (1 = ) 13 13 131116(26)M1 = 1 · + 2 · + 3 · = = 23333Теперь рассмотрим случайную величину 2 из б).-1 0 111P (2 = ) 1333111M1 = −1 · + 0 · + 1 · = 0333(27)Рассмотрим 3 = 22 , из в).0 1P (3 = ) 13 23Заметим, что при возведении в квадрат для исходов : 2 () =1, и для исходов : 2 () = −1 выполняется 3 () = 1, поэтомуP (3 = 1) = 2/3 = 1/3 + 1/3.M3 = 0 ·122+1· =333(28)JОпр.
Дисперсией случайной величины называется величинаD = M( − M)2 .Замечание. Дисперсия является мерой отклонения случайнойвеличины от своего среднего значения. Величина M( − M)2рассматривается вместо величины M| − M| исключительно68для удобства (в противном случае пришлось бы возиться с модулями).Средним квадратическим отклонением называется корень издисперсии случайной величины. Среднее квадратическое отклонение является более осмысленной характеристикой дляслучайных величин с размерностью (массы, времени, расстояния и т.п.), поскольку имеет ту же размерность, в отличие отдисперсии (которая имеет эту размерность в квадрате).Задача 10.2. Найти дисперсию случайной величины, равновероятно принимающей целые значения от 1 до 5.IСлучайная величина имеет следующее распределение.1 2 3 4 5P ( = ) 15 15 15 15 15Прежде всего очевидно из симметрии, что математическое ожидание равно 3.
Впрочем, это можно посчитать и непосредственно:M =1+2+3+4+5(1 + 5)5/2==355(29)Преобразуем последовательно данную случайную величину .Рассмотрим 1 = − M = − 3-2 -1 0 1 21111P (1 = ) 155555Далее 2 = 12 .4 1 0P (2 = ) 25 25 15Очевидно, математическое ожидание 2 будет равно дисперсии . Найдем его.D = M( − M)2 = M2 =228+22=4* +1* +0* == 2. (30)5555JСвойства M .1.
M = M 692. M ( + ) = M + M Кроме того, если и независимы, то3. M = M M .Также нужно отметить, что для ускорения расчетов имеетсяформула:∑︁M () =( )P ( = )Свойства D .1. D () = 2 D 2. D( + ) = D 3. D ( + ) = D + D + 2 M( − M )( − M )Кроме того, в случае, если и независимы4. D ( + ) = D + D Задача 10.3. * Доказать свойства дисперсии 3 и 4.Сокращенная формула для расчета дисперсии.D = M 2 − (M )2 .(31)Задача 10.4. * Доказать формулу (31).ID = M( − M)2 = M( 2 − 2M + (M)2 ) =M 2 − 2M(M) + M(M)2 = M 2 − 2MM() + (M)2 == M 2 − (M)2 .
(32)JСоставим список основных дискретных распределений.1. Биномиальное.Распределение: P ( = ) = (1 − )− , 0 ≤ ≤ .Обозначение: Bin(, ).Характеристики: M = , D = (1 − ).Наглядный смысл: число успехов в испытаниях Бернулли.70Примеры: воздействие на группу лабораторных мышей (исход– мышь сдохла/не сдохла), проведение серии одинаковых экспериментов, мутация в последовательности ДНК (нуклеотид мутировал/нет). Биномиальная схема – это удобный прикладнойформализм, см. главы 7, 9 для большего набора примеров.2. Геометрическое.Распределение: P ( = ) = (1 − )−1 , ≥ 1.Обозначение: Geom().Характеристики: M = 1/, D = (1 − )/2 .Наглядный смысл: число испытаний Бернулли до наступленияпервого успеха.Примеры: число бросаний монетки до первого выпадения орла,число экспериментов до первого удачного, число проверяемыхдеталей до первой бракованной.3. Пуассоновское. −, ≥ 0.Распределение: P ( = ) = !Обозначение: Pois().Характеристики: M = , D = .Наглядный смысл: предельное распределение для биномиальной схемы при больших и близких к нулю (так называемый“закон редких событий”).Примеры: число радиоактивных распадов в единицу времени,число телефонных звонков в единицу времени, число бактерийв поле зрения микроскопа, число изюминок в булке и т.п.
Является хорошим примером дискретной случайной величины, принимающей бесконечное число значений. Обладает удобными вероятностными свойствами (при сложении независимых сноваполучается пуассоновская случайная величина).4. Равномерное.Распределение: P ( = ) = 1/( − + 1), ≤ ≤ , где , —целые.Обозначение: ( : ).Характеристики: M = ( + )/2, D = ( − )( − + 2)/12.Наглядный смысл: равновероятно принимаются значения от до .Пример: число очков при бросании игрального кубика.5. Полиномиальное.71!Распределение: P (1 = 1 , .
. . , = ) = 1 !·...·1 · ,! 10 ≤ ≤ , 1 + · · · + = , ≥ 2.Обозначение: Poly(; 1 , . . . , ).Характеристики: как у биномиального для каждого , 1 ≤ ≤.Наглядный смысл: производится экспериментов, каждый изкоторых может приводить к одному из исходов (вероятностиисходов 1 , . . . , ), получается вектор, состоящий из количествисходов первого типа, второго типа, ... -го типа.Примеры: см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
