М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков (1115304), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Обладает тем свойством, что уже прошедшеевремя ожидания не влияет на дальнейшее время, если событиееще не произошло.803. Гамма-распределение. −1Распределение: () = Γ()− , > 0, , > 0, Γ() =∫︀ +∞ −1 − d.0Обозначение: (, ).Характеристики: M = /, D = /2 .Наглядный смысл и применение: обобщение экспоненциальногораспределения (которое получается при = 1). Полезное распределение на положительной полупрямой с подстраиваемымпод ситуацию параметром формы . Получается как сумма независимых случайных величин с распределением Exp(), если целое. Может использоваться для описания времени донаступления нескольких событий последовательно.4. Нормальное распределение.(−)21− 22 .Распределение: () = √22Обозначение: (, 2 ).Характеристики: M = , D = 2 .Наглядный смысл и применение: очень широко используемоераспределение, имеет много ценных свойств, в частности, суммадвух независимых нормальных – тоже нормальная. Подробнеесм.
главу 13. В химии часто используется для описания концентраций химических веществ.5. Логнормальное распределение.(ln −)21− 22 , > 0.Распределение: () = √22Обозначение: ℒ (, 2 ).222Характеристики: M = + /2 , D = 2+ ( − 1).Наглядный смысл и применение: распределение случайной величины = , ∼ (, 2 ).
Взятием логарифма сводится кнормальной величине. Произведение независимых логнормальных случайных величин также логнормально. В химии иногдаиспользуется для описания концентраций химических веществ,в биологии — для описания параметров живых существ (рост,вес и т.п.).Задача 11.7. * Функция распределения случайной величиныравна () = 1 − − − − при > 0, найти:а) плотность,б) математическое ожидание,81в) дисперсию,г) вероятность попадания случайной величины на отрезок [0.5, 1.5].Задача 11.8. Существует ли M , где — экспоненциальнаявеличина с параметром ?Задача 11.9. Найти математическое ожидание и дисперсиюравномерной на [, ] случайной величины.Задача 11.10. Непрерывная случайная величина равномерно распределена на отрезке [−11, 20].
Найти вероятностьP ( < 0)Задача 11.11. Пусть случайная величина распределена экспоненциально с параметром . Найти P ( < ).Задача 11.12. Пусть () = cos при ∈ [− 2 , 2 ] и нольиначе. Является ли эта функция плотностью?√Задача 11.13. Пусть () = при ∈ [0, 1], ноль при отрицательных , 1 при > 1.
Является ли эта функция функциейраспределения?Задача 11.14. Пусть заданы независимые случайные величины 1 и 2 с функциями распределения 1 () = 2 и 2 () = 3при ∈ [0, 1]. Найти M(1 − 2 ) и D(1 − 2 ).Задача 11.15. Пусть случайная величина имеет плотность () = −2|| . Найти математическое ожидание и дисперсию.Задача 11.16. Дана плотность распределения : () = (1 − 2 )(2 < 1).Определить значение константы , вычислить M, D.Задача 11.17.
Пусть — экспоненциально распределеннаяслучайная величина с параметром . Найти M(I ( < 2) −I ( > 2)).Задача 11.18. Высота частиц эмульсии в жидкости имеетпоказательное распределение. Найти:а) долю частиц эмульсии ниже 120 мкм, если средняявысота 40 мкм;б) долю частиц выше 90 мкм, если половина находитсяниже 30 мкм.82Задача 11.19. Радиоактивный распад происходит по экспоненциальному закону. Определить связь между средним временем распада и периодом полураспада (это время, за которое распадается половина атомов).
Какая доля атомов распадется за 4 часа, если среднее время распада — 2 часа?Задача 11.20. В химической лаборатории есть прибор сосредним сроком службы 2500 дней. В предположении, что егораспределение показательное, найти вероятность того, чтоон прослужит не менее 5000 дней.Задача 11.21. Известно, что содержание вещества А составляет в среднем 2% со средним квадратическим отклонением 0,4%, а вещества Б оставляет в среднем 5% со среднимквадратическим отклонением 0,3%. Найти среднее и среднееквадратическое отклонение суммарного содержания веществA и Б.Задача 11.22. Скорости молекул в газе описываются распределением Максвелла:√︂2 2 −2 /(22 ), ≥ 0.
() = 3Найти его математическое ожидание и дисперсию.Ответы и решения11.3 () = 2 , 0 ≤ ≤ 1; M = 2/3, D = 1/18,P ( ∈ [0.5, 1.5]) = 0.75.11.4a) Так как плотность есть производная от функции распределения, имеем⎧⎪0, < 0⎪⎪⎨, 0 6 < 1 () = 1⎪, 16<2⎪⎪⎩20, > 2.б)∫︁∞M =∫︁1 () =−∞02 +∫︁21 =2183⃒1⃒23 ⃒⃒2 ⃒⃒1113=+= −0+1− =.3 ⃒04 ⃒13412в)∫︁∞D = M 2 − (M)2 =(︂2 () −1312)︂2=−∞∫︁1=∫︁23 +01 2 −2(︂1312)︂2=1⃒1⃒2 (︂ )︂2134 ⃒⃒ 3 ⃒⃒18 1 16917 16935+ ⃒ −=== −0+ − −=−=.⃒4 0 6 11246 6 14412 144144г) Через плотность:∫︁1.5∫︁1∫︁1.51 =P ( ∈ [0.5, 1.5]) = () = +20.50.512 ⃒1⃒ ⃒ ⃒⃒1.51 1 3 15=+⃒ = − + − = .2 ⃒0.52 12 8 4 28Через функцию распределения:P ( ∈ [0.5, 1.5]) = (1.5) − (0.5) =3 15− = .4 8811.52∫︁∞∫︁12 · [0,1] () =M = M =−∞2 =0⃒13 ⃒⃒1= ,3 ⃒03(︂ )︂2∫︁∞11D = M − (M) = M −=4 · [0,1] () − =39224−∞∫︁1=084⃒115 ⃒⃒11 14 − =− = − =.95 ⃒0 95 945411.6a) () = (1 − − ) · [0,∞) ().б) Так как плотность есть производная функции распределения, имеем:{︃0,<0 () =−, > 0.в)∫︁∞∫︁∞ () =M =−∞−∫︁∞ = −00∫︁∞=−− (−) =−=−∞− ⃒0⃒∫︁∞+− =1.00г)2∫︁∞2D = M − (M) =2 − −(︂ )︂21=0∫︁∞=−2 − 1(−) − 2 = −∫︁∞2 − −⃒∞1= − 2 − ⃒0 +200∫︁∞+− 2 −12=20∫︁∞− −1211= 2 − 2 = 2.20д) P ( ∈ [0.5, 1.5]) = (1.5) − (0.5) = −0.5 − −1.5 .11.7а) () = ′ () = − · [0,∞) ().б)∫︁∞2 − M =0∫︁∞ = −2− 0=−⃒∞2 − ⃒0 +∫︁∞0−2∫︁∞ = 2− = 2.0в)8522∫︁∞D = M − (M) =3 − 2 − 2 = −0⃒∞= − 3 − ⃒0 +∫︁∞∫︁∞3 − − 4 =0− 3 − 4 = 30∫︁∞2 − − 4 = 6 − 4 = 2.0д) P (( ∈ [0.5, 1.5]) = (1.5) − (0.5) = 1.5 −0.5 − 2.5 −1.5 .11.8 M существует тогда и только тогда, когда существуетинтеграл∫︁∞∫︁∞− = (1−) .00При > 1 интеграл сходится, при 6 1 — расходится.11.9∫︁∞M =·[,] () =−−∞∫︁2∫︁2D = M −(M) =⃒1 2 ⃒⃒2 − 2+ ===.⃒−− 2 2( − )2⃒(︂)︂22+1 3 ⃒⃒ 2 + 2 + 2−−==−2 − 3 ⃒43 − 3 2 + 2 + 22 + + 2 2 + 2 + 2( − )2=−=−=.3( − )4341211.1011.111131{︃0,P (( < ) = () =1 − − ,11.12 Нет.
Так как∫︀∞<0 > 0. () ̸= 1.−∞11.13 Да. () — неубывающая, непрерывная функция с (−∞) = 0, (∞) = 1.11.14 −1/128611.1511.1611.1711.1811.1911.2011.2111.22M = 0, D = 2.1 − 2−2 . = 3/4, M = 0, D = 1/5.а) 0.95; б) 1/8 = ln 2. 0.8640.1357√︀M = 8/, D = (3 − 8) 2 /.8712. Случайные величины IIIПотренируемся преобразовывать непрерывные случайные величины. Наиболее простой способ преобразования – манипуляциис функцией распределения.Задача 12.1. Пусть ∼ Exp(), = . Найти (), ().I(︀)︀ () = P ( ≤ ) = P ≤ == P ( ≤ ()) = (ln ) = (1 − − ln )I (ln > 0) =1= (1 − )I ( > 1) . (44)Продифференцируем функцию распределения, чтобы получитьплотность () = ′ () =I ( > 1) .+1(45)JЗадача 12.2.
Найти функцию распределения и математическое ожидание 2 + , где — равномерно распределенная случайная величина на [0, 1].Задача 12.3. Реагента B тратится столько же, сколько реагента A, если A потрачено меньше литра и как квадрат объема A (в литрах), если больше. Известно что затраты реагента A равномерно распределены на отрезке [0, 2] л.
Найтифункцию распределения и среднее значение затрат реагентаB.Полезным аналитическим методом для преобразования непрерывных случайных величин является следующая формулаплотности = () (в случае, когда строго монотонна в области возможных значений ): () = (ℎ())|ℎ′ ()|,где ℎ() = −1 () — обратная функция (т.е. если = (), тоℎ() = ). При этом область возможных значений получается отображением соответствующей области под действиемфункции .88Задача 12.4.
Найти плотность логарифма показательнойслучайной величины с параметром .Задача 12.5. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром = 2. Найти плотность случайнойвеличины , если:а) = 2 − 1;б) = 3 − 1;в) = 1 + 3/;г) = − 1;д) = ln( + 1).Задача 12.6. — равномерно распределенная случайная величина на [0, 1], () = (1 − − )( > 0), найти распределение −1 ().Задача 12.7. Найти плотность квадрата равномерно распределенной случайной величины на отрезке [−1, 2].Задача 12.8. — случайная величина, найти распределение (), если () непрерывна и строго монотонна.Задача 12.9.
Пусть имеет функцию распределения ().Найти функцию распределения: а) 3 ; б) 4 .Задача 12.10. Пусть , = 1, . . . , имеют функции распределения () и независимы. Найти функцию распределенияmax .Задача 12.11. Пусть , = 1, . . . , имеют функции распределения () и независимы. Найти функцию распределенияmin .Задача 12.12. Пусть задана плотность (), найти плотность || ().Задача 12.13. Скорость реакции при увеличении температуры растет показательно. Известно, что при температуре в10∘ реакция проходит за 16 минут, а при температуре в 20∘ –за 8 минут. Пусть температура равномерно распределена 10∘от 20∘ . Найти:а) среднее время реакцииб) вероятность, что реакция пройдет не более чем за 10мин89Задача 12.14. Скорость реакции при 20∘ принята за единицу. При повышении температуры до 30∘ она вырастает вдвое.Пусть температура равномерно распределена 20∘ от 30∘ .
Найти:а) вероятность того, что скорость реакции составитменее 1.5 единиц;б) среднюю скорость реакции;в) среднее квадратическое отклонение скорости реакции.Ответы и решения√12.2 () = ( 1 + 4 − 1)/2, ∈ [0, 2]; M = 5/6.12.3 Принять расход реагента А за , а расход В — за .⎧≤0⎪⎪ 0,⎨,0<≤1√M = 17/12 () =,1<≤4⎪⎪⎩1,>412.6а) () =−2(+1),+1 > −1б)1/32−2(−1) () =,3( − 1)2/3>1в) () =6−6/(−1),( − 1)2>1г) () = 2/( + 1)3 , ≥ 0.д) () = 2−2( −1)+ , ≥ 0.12.5 () = − + .12.6 Exp()12.7⎧∈/ [0, 4]⎨ 0,√1/(3 ), 0 ≤ ≤ 1 () =√⎩1/(6 ), 1 < ≤ 49012.8 (0, 1).12.9 а) (1/3 ); б) (1/4 ) − (−1/4 ), > 0.12.10 1 () .
. . ().12.11 1 − (1 − 1 ()) . . . (1 − ()).12.12 || () = () + (−), ≥ 0.12.13 а) 11.54 мин; б) 0.3212.14 а) 0.415; б) 1.14; в) 0.299113. Нормальное распределение. ЦПТ.Напомним определение нормального распределения, ранее введенного в главе 11, с. 80.Опр.
Случайная величина имеет нормальное распределениес параметрами и 2 (обозначается (, 2 )), если () = √12 2−(−)22 2.При этом ее функция распределения выражается формулой(︂)︂− () = Φ,где Φ() — функция стандартного нормального распределения,ранее введенная в главе 9 (таблица значений - в Приложении4).Задача 13.1. Найти M, D для ∼ (, 2 ).I Приэтой задачи следует учесть, что интеграл Пуас∫︀ решении2сона − d не берется в явном виде. Однако мы можем опираться на свойства плотности (полный интеграл от плотностивсегда равна единице).
Произведем вычисления.∫︁+∞√M =1−(−)22 2d =2 2∫︁ +∞∫︁ +∞(−)2(−)211− 22√d + − 22 d ==( − ) √2 22 2−∞−∞∫︁ +∞21=− 22 d + · 1 = 0 + , (46)√2 2−∞−∞где в последнем равенстве использована нечетность функции21 √2− 22 , а в предпоследнем – тот факт, что2является плотностью.Вычислим теперь дисперсию.D = M( − M)2 = M( − )2 =92√ 1−2 2(−)22 2∫︁∞( − )2 √1−(−)22 2d =2 2∫︁− 2 1( − )2−1√= 2 −( ) 2 d=222 2−∞)︂2∫︁ +∞ (︂∫︁ +∞(︁)︁2 − √2 2 √− 2 /222 12√√ d = √ 2d √ ==2222−∞−∞)︂∫︁ +∞∫︁ +∞ (︂22212√ d− = 2 √ − d = 2= 2 −2−∞−∞(︂ (︂)︂)︂)︂∫︁ +∞ (︂⃒2 +∞2111 · −√= 2 − √− ⃒−∞ −− d =−∞∫︁ +∞∫︁ +∞2211√ − /2 d = 2 , (47)− d = 2= 2 √ −∞2−∞=−∞∞где в последнем равенстве вновь был использован тот факт, что2√1 − /2 — это плотность.J2Задача 13.2.
∼ (0, 1), найти распределение = + .Задача 13.3. ∼ (, 2 ), найти M( − )3 .Задача 13.4. ∼ (, 2 ), найти M 3 .Задача 13.5. ∼ (0, 2 ), найти плотность = 2 .Задача 13.6. = ( − )/, ∼ (, 2 ), найти распределение.Задача 13.7. Пусть распределена по закону (3, 9). Найтивероятность того, чтоа) 2 < < 6;б) < 4;в) > 2.Опр. Случайная величина ∼ (0, 1) называется стандартнойнормальной случайной величиной.Стандартноенормальноераспределениеимеетплот21−ность √2 2 . Внимательный читатель может заметить,что именно эта функция стоит под знаком интеграла винтегральной теореме Муавра-Лапласа. Это совпадение неслучайно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
