М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков (1115304), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Монету бросают 200 раз. Найти вероятностьтого, что выпадет орел:а) ровно в 105 случаях;б) от 90 до 110 раз.Задача 9.6. Вероятность попадания в цель одним китайскимбойцом 0.55. По гигантскому человекоподобному роботу стреляют 1000 китайских бойцов. Требуется найти вероятность,что робот будет уничтожен, если для этого необходимо неменее 500 попаданий.Задача 9.7. Известно, что вероятность рождения одногомальчика приблизительно равна 0.515. Какова вероятностьтого, что среди 5000 новорожденных мальчиков будет не больше чем девочек?Задача 9.8. На лекции по теории вероятностей присутствуют 200 человек.
Найти вероятность того, что ровно 3 человека родились 1 апреля.Задача 9.9. Игла длины 1 см бросается на разлинованнуюплоскость с расстоянием между полосками 1 см. Пользуясьзадачей 4.8, определить, сколько раз надо бросить иглу, чтобы оценить число с точностью 0.01 с вероятностью 95%.Задача 9.10. Среди семян пшеницы 0.4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружитьа) не менее 3 семян сорняковб) не более 6 семян сорняков?Задача 9.11.
Процентное содержание цементита на металлографическом шлифе определяли с помощью острия, которымприкасались к шлифу случайным образом и отмечали число попаданий острия на изучаемую структуру. Каким должно было быть процентное содержание цементита для того, чтобы1) Относительная частота орлов – это доля случаев, когда монета выпалаорлом, от общего количества бросаний.59с вероятностью большей 0.95 при 500 наблюдениях острие более 100 раз попало на цементит?Задача 9.12. Книга в 500 страниц содержит 100 опечаток.Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 3 опечаток.Задача 9.13. Известно, что вероятность выпуска бракованного сверла равна 0.02. Сверла укладываются в коробки по 100штук.
Чему равна вероятность того, что в коробкеа) не окажется бракованных сверл;б) число бракованных сверл окажется не более 2.Задача 9.14. Сколько изюма в среднем должны содержатькалорийные булочки для того, чтобы вероятность найти вбулке хотя бы одну изюминку была не менее 0.99?Задача 9.15. Счетчик Гейгера и источник радиоактивных частиц расположены по отношению друг к другу так, что вероятность частице, вылетевшей из радиоактивного источника, быть зарегистрированной счетчиком равна 1/100. Предположим, за время наблюдения из источника вылетело 400частиц.
Какова вероятность того, что счетчик зарегистрировал от 3 до 5 частиц?Задача 9.16. В бассейне 1000 литров воды. В бассейн бросаютбочки с нефтью, объемом 1 л каждая. Вероятность разрушения оболочки одной бочки равна 25%. Какое количество бочекможно кинуть в бассейн, чтобы концентрация нефти в водене превысила 10% с вероятностью 95%?Задача 9.17. В условиях предыдущей задачи найти количество бочек, которые можно кинуть в бассейн, чтобы концентрация не превысила 5% с вероятностью 99%.Задача 9.18.
Имеется нефтяное пятно площади 5 км2 . Попятну разбрасывается 5000 гранул, каждая из них с вероятностью 0.999 нейтрализует 1000 м2 нефтяного пятна. Какова вероятность того, что останется более 5000 м2 загрязнения? Возможностью пересечения для зон нейтрализации пренебречь.Задача 9.19. Площадь водоема 100 м2 , по водоему разбрасываются 200 капсул, каждая из которых в случае разрыва дает60пятно размера 0.5 м2 . Какова должна быть вероятность разрыва капсулы, чтобы площадь получившегося пятна была неболее 25 м2 с вероятность 0.99?Задача 9.20. Бой посуды при перевозке с завода составляетв среднем 1%.
Найти вероятность того, что при перевозке2000 единиц продукции пострадает не более 25 единиц.Задача 9.21. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.001. Найти вероятность попадания в цель двумя или тремя выстрелами, если всего их произведено 5000.Задача 9.22. Игральная кость бросается 6000 раз. Найти вероятность того, что количество выпадений четных чисел будет лежать между 2900 и 3050.Задача 9.23. При наборе книги существует постоянная вероятность = 0.0001 того, что любая буква будет набрана неправильно.
После набора текст прочитывает корректор,который обнаруживает каждую опечатку с вероятностью0.9. После корректора – автор, обнаруживающий каждую изоставшихся опечаток с вероятностью 0.5. Найти вероятность того, что в книге со 100 тыс. печатных знаков останется 10 опечаток.Задача 9.24. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет 2 разных входа. Около каждого их входов имеется гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобыв среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться вгардеробе того входа, через который они вошли?а) Предполагается, что зрители приходят в театр поодному.б) Предполагается, что зрители приходят в театр парами.Задача 9.25.
Для проверки влияния нового лекарства на кровяное давление у 100 пациентов было измерено давление до ипосле приема лекарства. При этом оказалось, что в 35 случаях давление после приема лекарства повысилось, а в 65 случаях понизилось. Можно ли считать установленным, что этолекарство влияет на кровяное давление? Какова вероятность,что чисто случайные колебания давления вызовут не меньшееотклонение от 50?61Задача 9.26. Наноробот состоит из 10 тыс.
деталей. Каждая деталь независимо от других деталей может оказатьсянеисправной с вероятностью 0.32. Машина не работает, еслив ней неисправны более трети деталей. Найти вероятностьтого, что машина не будет работать.Задача 9.27. Другой наноробот состоит из 10 тыс. деталей.Каждая деталь независимо от других деталей может оказаться неисправной с вероятностью , причем для 1 = 1000деталей 1 = 0.0004, для 2 = 2000 деталей 2 = 0, 0002 и для3 = 7000 деталей 3 = 0, 0001. Машина не работает, если вней не исправны хотя бы 5 деталей.
Найти вероятность того, что машина не будет работать.Задача 9.28. В среднем 80% всей клади составляют чемоданы, которые вперемешку с другими вещами хранятся на стеллажах камеры хранения. Через окно выдачи были получены всевещи с одного из стеллажей в количестве 500 мест. Найтивероятность того, что среди выданных вещей было 380-400чемоданов.Задача 9.29. Если в среднем левши составляют 1%, каковышансы на то, что среди 200 человека) окажется ровно четверо левшей;б) найдется не менее четверых левшей.Задача 9.30. В некоторой местности имеются 5% больныхмалярией.
Производится обследование 500 человек. С какой вероятностью среди обследованных окажется от 20 до 30 больных малярией?Задача 9.31. Для космического корабля вероятность столкновения в течение часа полета с метеоритом, масса которогоне меньше 0 , равна 0.001. Найти практически достовернуюверхнюю границу числа столкновений с такими метеоритамив течение 2000 часов полета, если вероятность практическойдостоверности принимается в данном случае равной 0.9995.Ответы и решенияЗдесь везде сначала кратко указана биномиальная схема и предельная теорема, которую нужно использовать для приближения в данном случае.629.3 Bin(100, 0.1). Муавра-Лапласа.а)P ( = 27) = √(−)2(27−30)211=− 2 = √− 5425411=√− 6 ≈ 0.06554(20)б)(︂P ( ≥ 20) = 1 − Φ20 − √)︂)︂20 − 30√==1−Φ27= Φ(1.92) = 0.9726.
(21)(︂9.4 Bin(12000, 1/2). Муавра-Лапласа.⃒⃒(︂⃒)︂(︂⃒)︂⃒ ⃒ − · 12 ⃒1⃒⃒ < 0.0016 =P ⃒⃒− ⃒⃒ < 0.5016 − 0.5 = P ⃒⃒⃒2⃒(︂⃒√ )︂⃒ − ⃒⃒ < 0.0016 √ == P ⃒⃒ √ ⃒)︃(︃)︃(︃√√1200012000− Φ −0.0016= 0.274. (22)= Φ 0.00161/21/29.5 Bin(200, 1/2). Муавра-Лапласа. а) 0.048; б) 0.95449.6 Bin(1000, 0.55). Муавра-Лапласа. 0.99939.7 Bin(5000, 0.515). Муавра-Лапласа.(︂)︂5000P ( ≤ 500 − ) = P ≤= P ( ≤ 2500) =2(︂)︂2500 − 2575=Φ ≤ √= Φ(−2.12) = 0.0171248.875(23)9.8 Bin(200, 1/365). Пуассона.P ( = 3) =13 − =3!3!(︂200365)︂3−200/365 ≈ 0.016639.9 Bin(, 2/).
Муавра-Лапласа. 51381.9.10 Bin(1000, 0.004).(︀ Пуассона.)︀а) P ( ≥ 3) = (︀1 − 1 + /1! + 2 /2! − ≈ 0.7619,)︀б) P ( ≤ 6) = 1 + /1! + /2! + . . . + 6 /6! ≈ 0.8893,где = 4.9.11 Bin(500, ). Муавра-Лапласа. 0.231.P ( ≥ 100) = 0.95(︂P)︂100 − − ≥= 0.95√√(︂)︂100 − 1−Φ= 0.95√100 − 500√︀= −1.65,500(1 − )где число 1.65 можно найти при помощи таблицы функции Φ вПриложении 4 или вычислительных средств.(100 − 500)2 = 1.652 · 500(1 − )Далее требуется решить это квадратное уравнение.
Из двухкорней выбираем удовлетворяющий условию 100−500 < 0 (т.е. > 0.2).9.12 Bin(100, 1/500). Пуассона. 0.00119.13 Bin(100, 0.02)а) P ( = 0) ≃ (︁− = −2 =)︁0.13532б) P ( ≤ 2) ≃ 1 + 1 + 2! − = 0.67679.14 Используя пуассоновское приближение, получаем: не менее 4.6 изюмины на булочку.9.15 Bin(400, 1/100).
Пуассона.(︂ 3)︂45P (3 ≤ ≤ 5) ≃++− ≈ 0.547,3!4!5!1= 4.где = 40000 · 100009.16 Bin(, 0.25). Муавра-Лапласа. 3479.17 Bin(, 0.25). Муавра-Лапласа. 150649.18 Bin(5000, 0.001). Пуассона. 0.3849.19 Bin(200, ). Муавра-Лапласа. 0.1869.20 Bin(2000, 0.01). Вообще говоря, непонятно, какая аппроксимация лучше, но Муавра-Лапласа удобнее считать. 0.86869.21 Bin(5000, 0.001). Пуассона. 0.2246.9.22 Bin(6000, 1/2).
Муавра-Лапласа. 0.89669.23 Bin(100000, 0.0001 · 0.1 · 0.5). Пуассона. 0.0189.24 а) Bin(1000, 1/2). Муавра-Лапласа. 537; б) Bin(500, 1/2).Муавра-Лаплса. 5549.25 Bin(100, 1/2). Муавра-Лапласа. Вероятность не меньшегоотклонения (в ту или другую сторону) 0.0026 очень мала, влияние лекарства на кровяное давление можно считать установленным.9.26 Bin(10000, 0.32). Муавра-Лапласа. 0.00229.27 Bin(1000, 0.0004) + Bin(2000, 0.0002) + Bin(7000, 0.0001) ≈Pois(0.4) + Pois(0.4) + Pois(0.7) = Pois(1.5). 0.0186.9.28 Bin(500, 0.8). Муавра-Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
