М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков (1115304), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Дело в том, что теорема Муавра-Лапласа на самомделе является частным случаем следующей теоремы.93ЦентральнаяПредельнаяТеорема(ЦПТ)Пусть 1 , 2 , . . . независимые, одинаково распределенные случайные величины такие, что D1 < ∞. Пусть = 1 +· · ·+ .Тогда)︂(︂ − M√< → P ( < ) , ∈ R,(48)PD1где ∼ (0, 1).Замечание 1. ЦПТ работает для любых независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих дисперсию.Таким образом это дает мощный аналитический метод для работы с суммами распределений, для которых можно рассчитатьM1 , D1 .∫︀ 2Замечание 2.
P ( < ) = () = Φ() = −∞ √12 − /2 d.Замечание 3. ЦПТ означает, что распределение при больших можно приблизить распределением (M1 , D1 ).Задача 13.8. 1000 раз бросается игральная кость. Найти пределы, в которых с вероятностью большей 0.99 будет лежатьчисло выпавших очков.Задача 13.9. Стрелок попадает при выстреле по мишени вдесятку с вероятностью 0.5; в девятку — 0.3; в восьмерку —0.1; в семерку — 0.05; в шестерку — 0.05. Стрелок сделал 100выстрелов.
Какова вероятность того, что он набрал: а) более930 очков; б) более 950 очков?Задача 13.10. При составлении статистического отчетанадо было сложить 104 чисел, каждое из которых было округлено с точностью до 10− . Предполагая, что ошибки, возникшие от округления чисел, взаимно независимы и равномернораспределены на (−0.5·10− , 0.5·10− ), найти пределы, в которых с вероятностью большей 0.997 будет лежать суммарнаяошибка.Задача 13.11. Мера длины фут, как видно из названия, имеетпрямое отношение к ноге. Это — длина ступни. Но, как известно, размеры ног бывают разные.
Немцы в XVI в. выходилииз положения следующим способом. В воскресный день ставили рядом шестнадцать первых вышедших из церкви мужчин. Сумма длин их левых ступней делилась на шестнадцать.94Средняя длина и была “правильным и законным футом”. Известно, что размер стопы взрослого мужчины случайная величина, имеющая нормальное распределение со средним значением 262.5 мм и средним квадратическим отклонением 12 мм.а) Найти вероятность того, что два “правильных и законных” значения фута, определенных по двум различным группам мужчин, отличаются более чем на 5 мм.
б) Скольконужно было бы взять мужчин для того, чтобы с вероятностью большей 0.99 средний размер их ступней отличался от262.5 мм менее чем на 0.5 мм?Задача 13.12. Контролер проверяет одно за другим изделиянекоторого производства. На первом этапе проверки, которыйдлится 10 сек, он либо сразу оценивает изделие, либо принимает решение, что проверку надо повторить. Предполагается, что каждое изделие независимо от других изделий с вероятностью 1/2 подвергается повторной проверке.Повторнаяпроверка длится 10 сек, в результате ее обязательно принимается решение о качестве продукции. Найти вероятностьтого, что за 7-часовой рабочий день контролер проверит: а)более 1700 изделий; б) более 1650 изделий;Задача 13.13.
На улице стоит человек и продает газеты.Предположим, что каждый из проходящих мимо людей покупает газету с вероятностью 1/3. Пусть означает числолюдей, прошедших мимо продавца за время, пока он продавалпервые 100 экземпляров газеты. Каким распределением можноприблизить распределение ?Задача 13.14. Наноробот состоит из 10 тыс. деталей. Каждая деталь независимо от других деталей может оказатьсянеисправной с вероятностью , причем для 1 = 1000 деталей 1 = 0.3, для 2 = 2000 деталей 2 = 0, 2 и для 3 = 7000деталей 3 = 0, 1.
Машина не работает, если в ней неисправныболее 1500 деталей. Найти вероятность того, что машина небудет работать.Задача 13.15. В случае химической атаки с вероятностью0.5 используется 1 кг реагента против первого типа веществ,с вероятностью 0.3 1 кг реагента против второго типавеществ. Известно, что в среднем реагента тратится 50 кгза месяц.95а) Сколько химических атак происходит за месяц?б) Каким количеством реагента B нужно запастись,чтобы быть уверенным на 99%, что он не кончится в ходе следующего месяца?Задача 13.16.
Лаборант проводит 10 реакций в день, с вероятностью 40% реакция не проходит. Из тех, что прошлиуспешно, лаборант каждый результат с вероятностью 1/2забирает домой, чтобы показать своим родителям-химикам,какой он молодец. Оценить сверху количество унесенных за100 дней результатов с вероятностью 99%.Задача 13.17. Известно, что содержание некоторого элемента имеет нормальное распределение и составляет в среднем10 единиц, а в 20% случаев превосходит 12 единиц. Найти вероятность, с которой содержание элемента превосходит 13единиц.Задача 13.18.
Известно, что содержание некоторого элемента имеет нормальное распределение и составляет в среднем15 единиц, а в 20% случаев превосходит 16 единиц. Найти вероятность, с которой содержание элемента превосходит 13единиц.Задача 13.19. Концентрация химического вещества имеетлогнормальное распределение с математическим ожиданием50 единиц и среднее квадратическое отклонение 3 единицы.Найти вероятность, что она окажется от 45 до 55 единиц.Ответы и решения13.2 (, 2 )13.3 013.4 3 2 + 313.521−/(2 ) , > 0 () = √213.6 (0, 1)13.7 а) 0.4706; б) 0.6293; в) 0.370713.8 От 3446 до 3554.13.9 а) 0.0885; б) 0.008.
Сначала вычислить математическоеожидание и дисперсию числа очков при одном выстреле, потомиспользовать ЦПТ.9613.10 ±85.45 · 10− . Использовать характеристики равномерного распределения и ЦПТ, см. с. 80.13.11 а) 0.238; б) 383413.12 а) 0.0735; б) 0.986813.13 (300, 600)13.14 0.001613.15 а) 100; б) 40.68 кг13.16 33413.17 0.103813.18 0.953513.19 0.92.
Использовать определение и свойства логнормального распределения (см. список распределений в главе 11, с.80). Найти параметры и 2 . Логарифмированием перейти кнеравенству для нормальной случайной величины с этими параметрами.9714. Суммы случайных величин. Случайныевекторы.⃗ из Ω в R обладающее некоторыми “хоОпр. Отображение рошими” свойствами1) называется случайным вектором.Проще говоря, случайный вектор — это набор случайных ве⃗ = (1 , . . . ), заданных на одном вероятностном проличин странстве Ω.⃗ =Опр. Функцией распределения случайного вектора (1 , . .
. , ) называется ⃗ (⃗) = (1 ,..., ) (1 , . . . , ) =P (1 < 1 , . . . , < ) .Опр. Набор случайных величин 1 , . . . , называютнезависимым в совокупности, если 1 ,..., (1 , . . . , ) =1 (1 ) · · · ( ).Утверждение 1. Дискретные случайные величины 1 , . . . , независимы в совокупности тогда и только тогда, когда ∀⃗ ∈ RP (1 = 1 , . . . , = ) = P (1 = 1 ) · . . . · P ( = ).Совместной плотностью случайного вектора ⃗ = (1 , . . . , ) называется функция ⃗(⃗) = (1 ,..., ) (1 , . .
. , ) такая, что выполняется∫︁11 ,..., (1 , . . . , ) =∫︁...−∞1 ,..., (1 , . . . , )d1 . . . d .−∞Утверждение 2. Абсолютно непрерывные случайные величины 1 , . . . , независимы в совокупности тогда и только тогда,когда (1 ,..., ) (1 , . . . , ) = 1 (1 ) · . . .
· ( ).В многомерном случае продолжают работать формулы для математического ожидания функции от случайной величины:1) дискретный случай:M(1 , . . . , ) =∑︁1 ∈N...∑︁(1 , . . . , )P (1 = 1 , . . . , = ) . ∈N(49)1) ⃗ −1 ()98∈ F для любых ∈ B(R ). Подробнее см. Приложение 2.∑︁M(1 , . . . , ) =...∑︁(1 , .
. . , )P (1 = 1 , . . . , = ) ∈N1 ∈N2) абсолютно непрерывный случай∫︁∫︁M(1 , . . . , ) =...R(1 , . . . , )1 ,..., (1 , . . . , )d1 . . . dR(50)Задача 14.1. , – независимые бернуллиевские случайныевеличины с вероятностью успеха 1 , 2 соответственно. = · . Найти M.Задача 14.2. Пусть , независимые, с распределением Exp(), найти M, пользуясь формулой (50).Многомерные вектора часто используются для получения распределений сумм случайных величин. Рассмотрим на примереследующей задачи, как можно получить распределение суммы,зная распределение независимых компонент.Задача 14.3. ∼ Pois(1 ), ∼ Pois(2 ), найти распределение + .I ВычислимP ( + = ) =∑︁P ( = , = − ) ==0=∑︁P ( = ) P ( = − ) ===0= −1 −2∑︁1 −1=0∑︁=0!−2−2 =( − )!1!1 ∑︁1 2− = −(1 +2 ) − =!( − )!!!( − )! 1 2=0∑︁1−(1 +2 ) 1= 1 −= −(1 +2 ) (1 + 2 ) .
(51)2!!=0Очевидно, что получившееся распределение пуассоновское с параметром 1 + 2 .J99Утверждение 3. (Формула свертки) Пусть , – независимые, абсолютно непрерывные случайные величины, , – ихплотности. Тогда плотность их суммы может быть найдена следующим образом∫︁ ∞+ () = () ( − )d−∞Доказательство формулы свертки приведено в Приложении 3.Задача 14.4. ∼ Exp(1 ), ∼ Exp(2 ), 1 ̸= 2 , найти распределение + .Задача 14.5. Случайные величины , независимы, ∼Exp(), ∼ (, ), ≥ 1, найти распределение их суммы.Другое применение многомерных векторов, важное, в частности, для статистики, это описание зависимостей между случайными величинами.Опр.
Ковариацией между случайными величинами и называется величина (, ) = M( − M)( − M).Опр. Корреляцией между случайными величинами и назы√.вается величина (, ) = √(,)D DСвойства ковариации.1) (, ) = 0, где – любая константа.2) ( + , ) = (, ) + (, )3) (, ) = · (, )4) (, ) = D5) Если , независимы, то (, ) = 0.Утверждение. (Сокращенная формула расчета ковариации)Имеет место формула (, ) = M − MM.Замечание 1. Корреляция — это по сути ковариация норми√√рованных случайных величин ′ = −M, ′ = −M. ДействиDDтельно, в силу свойств ковариации имеем:( ′ , ′ ) = 100(︂)︂ − M − M√, √=DD(, )( − M, − M)√ √= √ √ . (52)=D DD DЗамечание 2. Наглядный смысл ковариации: ′ ′ I ( ′ ′ ≥ 0)Случайные величины ′ и ′ одновременно большие или одновременно маленькие. ′ ′ I ( ′ ′ ≤ 0)Случайные величины ′ и ′ большие и маленькие в противофазе.Если перевешивает первый случай, то M ′ ′ = ( ′ , ′ ) > 0,если второй, то M ′ ′ < 0.Свойства корреляции.1) (, ) ∈ [−1, 1]2) (, ) > 0 ⇒ , положительно связаны (более вероятно,что одновременно > M, > M, либо < M, < M, чем > M, < M, либо < M, > M).3) (, ) = 1 ⇔ = + , где > 0, – константы.4) (, ) < 0 ⇒ , отрицательно связаны5) (, ) = −1 ⇔ = − + , где > 0, константы.Задача 14.6.
Совместное распределение величин , заданотаблицей.101| 0 110031116620 13Найти (, ), (, ).Задача 14.7. Даны независимые случайные величины , ∼ (0; 1). Найти ( + 2, 3 + 5).Задача 14.8. Пусть распределена нормально с параметрами0 и 1. Найти ковариацию величин и 2 .Задача 14.9. ∼ (1 , 1), ∼ (2 , 1), найти распределение + .Задача 14.10. ∼ (1 ; 12 ), ∼ (2 , 22 ) найти распределение + .Задача 14.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
