М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков (1115304), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В частности,∑︀1= ||/|Ω|.пространства P () = ∈ |Ω|Замечание. Запись P ({ }), строго говоря, является болееправильной, чем запись P ( ), так как вероятность определена не на элементарных исходах, а на событиях. Однако дляупрощения обозначений мы иногда будем пользоваться второйзаписью без дополнительных оговорок.23Теорема (сложения вероятностей)P ( ∪ ) = P () + P () − P () ,а в частном случае, когда события и не пересекаются,P ( ∪ ) = P () + P () .Последняя формула легко следует из того, что для непересекающихся событий вероятность их пересечения равна нулю.Задача 3.3. Доказать теорему сложения в случае классического и дискретного вероятностных пространств.Докажем это сначала в случае классического вероятностногопространства:| ∪ |=|Ω||| + || − | ∩ ||| || | ∩ |==+−=|Ω||Ω||Ω||Ω|= P () + P () − P ( ∩ ) .
(3)P ( ∪ ) =где переход ко второй строчке очевиден с точки зрения теории множеств да и просто здравого смысла. Аналогично даннаяформула доказывается для дискретного вероятностного пространства:P ( ∪ ) =∑︁P ({ }) = ∈∪=∑︁ ∈P ({ }) +∑︁ ∈P ({ }) −∑︁P ({ }) = ∈∩= P () + P () − P ( ∩ ) . (4)В более общем случае формула может быть доказана, основываясь на аксиоме аддитивности вероятностной меры. Данноедоказательство является отличным упражнением в примененииабстрактной теории множеств.
△Задача 3.4. Найти вероятности событий A, B и C из задачи3.1.24Задача 3.5. Имеется 40 вопросов, на экзамене студент тянет два из них. Построить вероятностное пространство инайти вероятность того, что:а) оба вопроса будут из первой половины.б) ни один вопрос не будет из первой половины.в) хотя бы один вопрос будет из первой половины.г) студент, который знает вопросы 1-15, 31-40, ответит на оба вопроса.д) тот же студент ответит хотя бы на один вопрос.е) первым ему попадется вопрос от 16 до 25, а вторымот 21 до 30.Замечание.
Здесь есть два способа построения вероятностногопространства. Для одного из них мы считаем последовательности вытянутых билетов 1:2 и 2:1 разными, для другой – одинаковыми. Оба эти пространства подходят для решения всехвариантов задачи, где не существенен порядок вытаскиваниябилетов. Рекомендуется использовать для решения задачи обаварианта пространства и удостовериться, что получающиеся врезультате вероятности совпадают.Задача 3.6. Из урны с 3 черными и 6 белыми шарами вытаскиваются 2 шара. Найти вероятность того, что оба онибелые.Задача 3.7.
Имеются 50 рабочих, из которых 30 умеют укладывать асфальт, а остальные только носить его ведрами.Случайно выбирается бригада из 20 человек, найти вероятность того, что:а) в бригаде все умеют укладывать асфальт;б) в бригаде есть 15 человек, умеющих укладывать асфальт, и 5 умеющих носить асфальт;в) в бригаде не менее 16 человек умеют укладывать асфальт;г) в бригаде умеют укладывать асфальт больше 5 человек.Задача 3.8. Монетка подбрасывается (а) 3 раза (б) 5 раз.
Используя запись через события, найти вероятность того, чтомонетка выпадет орлом больше чем в половине случаев.25Задача 3.9. В ящике средств для прочистки сантехники стоит 3 едких щелочи и 2 кислоты. Случайно выбираются двасредства для прочистки и выливаются в трубу целиком. Найти:а) вероятность того, что в трубу попало две кислоты;б) вероятность того, что в трубу попала кислота и щелочь и теперь там отличный камень из химическипассивной соли;в) вероятности в (а), если средства выбираются последовательно двумя мастерами прочистки трубы,выливаются в трубу наполовину и возвращаются вящик;г) вероятность в (б) для этого случая.Задача 3.10. В лифт 11-этажного дома на первом этажезаходит 10 человек, какова вероятность того, что (а) все онивыйдут на разных этажах? (б) на трех этажах выйдут по 3человека?Задача 3.11.
В урне 20 шаров, из них 6 белых, 8 черных,остальные красные. Из урны достается 4 шара. Какова вероятность того, чтоа) все они белые;б) есть 2 белых, черный и красный;в) есть шары всех цветов;г) второй вынутый шар черный;д) есть шары только белого и черного цветов.Задача 3.12. Рассчитать вероятность, что зная 25 вопросовиз 50, студент сможет ответить хотя бы на один из двухвопросов билета.Задача 3.13. Подкидываются 3 монетки, рассчитать вероятность того, что (а) все 3 выпадут орлами; (б) 2 из нихвыпадут орлами, а 1 решкой.Задача 3.14. Имеется 100 образцов, из которых 30 соли, 40щелочи и 30 кислоты.
Найти вероятность того, что в выборке из 10 образцов 3 соли, 4 щелочи и 3 кислоты.26Задача 3.15. Имеется 22 образца, 8 из которых — с высокимсодержанием некоторого вещества. Найти вероятность того, что в случайной выборке из 11 образцов окажется более 3таких образцов.Задача 3.16. В слове "колокол" переставили буквы случайным образом, найти вероятность того, что слово при этомне изменится.Задача 3.17. У человека ключей и только один из них открывает дверь, найти вероятность того, что потребуетсяровно попыток, чтобы открыть дверь (неподходящие ключиоткладываются).Задача 3.18.
Игральный кубик бросается 10 раз, найти вероятность того, что тройка выпадет 3 раза, а четверка —4.Задача 3.19. Имеется 20 образцов, 5 из которых – с высокимсодержанием некоторого вещества. Один образец был утерян.Найти вероятность того, что в выборке из 10 образцов окажется 2 с высоким содержанием вещества.Задача 3.20. Лаборант готовит 20 образцов, 5 из них он готовит неправильно, найти вероятностьа) что из произвольно взятых 5 образцов все будут хорошиеб) что из произвольно взятых 6 образцов будет не болееполовины хорошихЗадача 3.21.а) Есть 7 проб вещества, каждое равновероятно попадает в одну из 7 лабораторий, какова вероятность,что все пробы попадут в разные лаборатории?б) Решить задачу, если есть 5 проб вещества.в) Найти вероятность, что в одну лабораторию не попадет проб, но во все остальные попадет.Ответы и решения3.1 Подходящим для данного эксперимента является Ω ={000, 001, .
. . , 110, 111}, где элементарный исход 000 обозначает,что все монетки выпали решками, 001 – что только 3-я монеткавыпала орлом и так далее.27События A,B,C выражаются через это пространство следующим образом: = {100, 101, 110, 111}, = {010, 011, 110, 111}, = {011, 101, 110}.3.2 ∩ = {110, 111}, ( ∩ ) ∩ = {110}. Как легко видеть,событие ∩∩ оставляет только один вариант для исхода эксперимента – первая орлом, 2-я орлом, 3-я решкой. На бытовомязыке можно сказать, что ровно две монетки выпали орлами –первая и вторая.3.4 Присвоим каждому элементарному исходу из Ω одинаковуювероятность 1/8, чтобы получить классическое вероятностное||4141пространство. Тогда P () = |||Ω| = 8 = 2 , P () = |Ω| = 8 = 2 ,3P () = |||Ω| = 8 .3.5 Возможные пространства для этой задачи:Ω1 = {1 : 2, 1 : 3, .
. . , 1 : 402 : 3, . . . , 2 : 40...39 : 40}Ω2 = {1 : 2, 1 : 3, . . . , 1 : 402 : 1, 2 : 3, . . . , 2 : 40...39 : 1, . . . , 39 : 38, 39 : 4040 : 1, . . . 40 : 39}2|Ω1 | = 40,|Ω2 | = 240 = 40 · 39 = 402 − 40Рассчитаем теперь вероятность событий.а)1={оба билета из первой половины}{1 : 2, . . .
, 1 : 20, . . . , 19 : 20}, |1 | =2,20P (1 ) =220240==20!2!(18)!40!2!(38)!Выразим событие через вероятностное пространство Ω2 . 2 ={1 : 2, 2 : 1, . . . , 19 : 20, 20 : 19}. |2 | = 220 = 20!/18!.28P (2 ) =2|2 |= 220 =|Ω2 |4020!18!40!38!Легко видеть, что получающиеся ответы совпадают.2б) P (1 ) = 202401 = {ни один из первой половины} == {оба из второй половины} == {21 : 22, . . .
, 39 : 40} ,2|1 | = 20,точно также можно по аналогии с пунктом а) получить вероятность 2 через второе вероятностное пространство.в) 1 = 1 , т.е. |1 | = |Ω1 | − |1 |,P (1 ) =|1 ||Ω1 | − |1 |=1−=|Ω1 ||Ω1 |= 1 − P (1 ) = 1 −22020 · 19.=1−24040 · 39для вероятностного пространства Ω2 , очевидно, верно аналогичное равенство.2г) P (1 ) = 252101 = {1 : 2, · · · , 14 : 15, 1 : 31, 1 : 32, . . . , 1 : 40, . .
.. . . , 15 : 40, 31 : 32, . . . , 39 : 40} .Как видно, событие 1 имеет более сложную структуру, чем,например, событие 1 , но с точки зрения подсчета количества2исходов все проще: |1 | = 25– число способов выбрать 2 элемента из множества в 25 элементов (1..15, 31..40). То же самоеможно проделать в упорядоченном случае |2 | = 225 .д)1 = {хотя бы один вопрос из 1..15, 31..30} == {об вопроса из 16..30} = 1292|1 | = 15, где 15 – это количество элементов в 16..30. т.е.P (1 ) = 1 − P (1 ) = 1 −21515 · 14=1−24040 · 39е) Событие данного пункта нельзя выразить через пространство Ω1 , так как оно зависит от порядка получаемых вопросов.Выразим его через Ω2 .
2 = {16 : 17, . . . , 25 : 30}. Чтобы подсчитать количество элементарных исходов в данном событии,разобьем его на три непересекающихся:{︁}︁ {︁}︁билет от 16 до 20 ∪ первый от 21 до 25 ∪2 = первыйвторой от 21 до 25второй – от 21 до 30{︁}︁первыйот21до25∪ второй от 26 до 30 = 21 ∪ 22 ∪ 23|21 | = 5·10, |22 | = 25 , |23 | = 5·5, итого |2 | = 5·10+25 +5·5,P (2 ) =5 · 10 + 25 + 5 · 5=2405 · 15 + 15 · 45 · 1919===. (5)40 · 3940 · 398 · 3923.6 62 .
Пронумеруем шары. Пусть шары 1..3 – черные, 4..9 – бе9лые. Элементарный исход – это пара номеров шаров (здесь, каки в 3.5, можно использовать также пространство с различаемымпорядком), событие = {оба шара белые} = {4 : 5, . . . , 8 : 9}.3.7 Один элементарный исход – подмножестворазмера 20 из∑︀20302050множества из 50 рабочих. а)б)15 530202050в)20−3020205020=16г)1−20−=0 30 202050∑︀43.8 а)32 · 1/8. Cобытия 011 , 101 , 110 (единички обозначаютмонетки, выпавшие орлами) не пересекаются, значит, вероятность их объединения равна сумме вероятностей этих событий.Вероятность отдельного события P (011 ) = 1/ |Ω| = 1/8. Всегособытий столько же, сколько способов выбрать подмножестворазмера 2 из множества из 3-х элементов – 32 = 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
