М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков (1115304), страница 3
Текст из файла (страница 3)
, )) называется число способов разобрать элементов по классам таким образом, чтобы количеcтво элементов -го класса равнялось , для = 1, ..., .Задача 2.6. Вывести формулу полиномиального коэффициента.14Указание: Следует последовательно воспользоваться биномиальными коэффициентами.Задача 2.7. Решить задачу 2.5 в условии, что каждая лаборатория берет незначительное количество материала на анализ.Задача 2.8. Имеются 30 сотрудников, сколькими способамииз них можно выбрать:а) генерального директора, старшего бухгалтера и трехуборщиц?б) футбольную команду в 11 человек и вратаря этойфутбольной команды?в) три отдела по 5 человек каждый?г) три отдела по 10 человек каждый и начальников отделов?д) генерального директора, 10 заместителей по разнымнаправлениям и 7 уборщиц?Задача 2.9. Среди 50 сотрудников 30 программисты, 20 менеджеры, сколькими способами из них можно выбрать:а) отдел с двумя менеджерами и 10 программистами?б) два отдела по два менеджера и 10 программистов накаждый?в) пять отделов по 4 менеджеров и 6 программистов накаждый?г) две футбольных команды, если на воротах обязательно должны стоять менеджеры?д) разделить программистов по двум отделам, чтобы вкаждом отделе было не меньше 13 программистов ине больше двух менеджеров, а свободных программистов не было.В следующих задачах полезным будет подсчитать не количество возможных вариантов, а количество возможных вариантовв дополнении к данному множеству вариантов.
Проиллюстрируем этот принцип на примере следующей задачи.Задача 2.10. Сколько существует 10-значных телефонныхномеров, имеющих хотя бы 2 различные цифры (считаем, чтономер может начинаться с нуля)?15I Вычислим, сколько существует номеров, не имеющих двухразличных цифр. Таких номеров, очевидно, 10: 0 .
. . 0, 1 . . . 1,. . ., 9 . . . 9. Всего возможных номеров 1010 , то есть ответ задачи1010 − 10.JЗадача 2.11. Требуется расставить 10 томов химическойэнциклопедии по полке в произвольном порядке, но так, чтобыпервый и последний тома не стояли подряд. Сколькими способами это можно сделать?Задача 2.12. Пусть есть набор различимых кубиков различных веществ, объемом по 1 см3 .а) Сколько способов разложить в ряд 5 кубиков вещества А и 10 кубиков гранита в линию, если веществоА в объеме 2 см3 кубических взрывоопасно?б) Имеется 4 кубика вещества B и 5 кубиков веществаС, вещество B в объеме 3 см3 взрывоопасно, сколькоспособов выбрать кучку из 5 кубиков и не взорваться?Задача 2.13. Пусть теперь кубики не различаются междусобой. Имеется 7 кубиков вещества A, 8 кубиков веществаB, и 5 кубиков вещества C.
Сколько существует вариантовнабрать:а) 5 кубиков?б) 6 кубиков?в) 7 кубиков?Задача 2.14. Лаборант готовит 20 образцов, 5 из них он готовит неправильно, найти:а) число способов выбрать 2 неправильных и 3 правильных образца;б) число способов взять 7 образцов, чтобы число неправильных не превышало 3.Задача 2.15. Найти число различных матриц размера × ,если каждая матрица заполняется 0 и 1.Задача 2.16. Сколькими способами можно рассадить 15 различных человек в 5 вагонов?Задача 2.17.
Сколькими способами ревизор может выбрать3 фирмы из 20, если порядок посещения не важен?16Задача 2.18. Сколькими способами ревизор может выбрать3 фирмы из 20, если порядок посещения важен?Задача 2.19. Сколько существует 5-значных чисел, которыеодинаково читаются справа налево и слева направо?Задача 2.20. Определить степень, в которую нужно возвести 1 + , чтобы в получившейся формуле коэффициенты для7 и 12 совпадали. (Использовать формулу бинома Ньютона)Ответы и решения2.1 2 – число слов алфавита длины из двух букв (0 и 1).2.2 – это число способов выбрать подмножество размера и на выбранные места поставить единицы.2.3 Посчитаем еще раз число последовательностей из 0 и 1длины .
Разобьем общее количество вариантов последовательностей на те группы, где в последовательности единиц = 0, . . . , . Варианты, очевидно, не пересекаются и в сумме∑︀дают все возможные 2 вариантов, но тогда по задаче (2.2)=0 = 2 .52.4 10– число подмножеств размера 5 множества из 10 элементов.10 15 202.5 5040 25 .
Сначала выбирается 10 веществ для первой лаборатории, потом из оставшихся 40 веществ выбираются 15 длявторой лаборатории, и из оставшихся 25 выбираются 20 длятретьей.2.6 По аналогии с задачей 2.5, выберем 1 элементов для первого подмножества, из оставшихся − 1 элементов выберем2 элемента и т.д. Получается количество вариантов231 −−· . . . · −=11 −21 −...−−1!( − 1 )!·× ...1 !( − 1 )! 2 !( − 1 − 2 )!( − 1 − · · · − −1 )!... × ·= !( − 1 − . . . − −1 − )!!. (1)1 ! · .
. . · !( − 1 − . . . − )!=17Это и есть формула полиномиального коэффициента. Заметим,что обычно полагают, что 1 + . . . + = , тогда ( − 1 −. . . − )! = 1 и справедливо равенство (1 , . . . , ) =!1 ! · . . . · !(2)10 15 202.7 5050 5031110355102.8 а) 30 · 29 · 28б) 30· 11 = 30· 20 в) 30· 2515г) 30· 10 ·1010720 · 10 д) 30 · 29 · 19210210 2102.9 а) 20· 30б) 203018 2020! 30!=в) (4, 4, 4, 4, 4) (6, 6, 6, 6, 6)=(4!)5 (6!)5444 66620 16 · · · 4 30 24 · · · 6 .2.11 10!−2·9!. Чтобы решить эту задачу, сначала посчитаем общее количество возможных вариантов расставить тома энциклопедии (10!), после этого вычтем из этого количества количество вариантов, когда первый и последний тома стоят рядом.Последнее количество равно 2 · 9! (пара томов ставится рядом,формируя единый артефакт, и в дальнейшем переставляетсявместе с остальными 8 томами 9! способами как один объект,кроме того, имеется два варианта самого артефакт: “первый,последний” и “последний, первый”).2.12 а) 511 · 10! – сначала раскладываем 10 кубиков гранита спромежутками, остается 9 промежутков между кубиками и 2вакантных места по краям.
Всего 11 мест. По ним нужно разложить 5 различных кубиков вещества А.б)42 5352.13 а) 3+5−15б) 3+6−1 − 1 — число вариантов выбора с возвращениями безразличения кубиков минус 1 вариант когда все 6 кубиков вещества С.5в) 3+7−1− 1 − 2 — число вариантов выбора с возвращениямибез различения кубиков минус 1 случай когда все 7 кубиковвещества C, минус ∑︀два случая когда 6 кубиков вещества C.332.14 а) 52 · 15б) =0 5 1 57−−2.15 22.16 51532.17 2032.18 20182.19 9 · 10 · 10 – столько же, сколько последовательностей изтрех цифр, начинающихся не с нуля.
В качестве четвертой ипятой цифры берем вторую и первую соответственно.2.20 19193. Классическое определение вероятности.Опр. Вероятностным пространством называется множество извсех элементарных исходов случайного эксперимента.Поясняющий пример. Изучается подбрасывание двухмонеток. Рассмотрим вероятностное пространство Ω1 ={00 , 01 , 10 , 11 }, состоящее из четырех элементарных исходов: решка-решка, решка-орел и т.д. (первая цифра в нижнеминдексе относится к первой монете, вторая — ко второй, нулем обозначается решка, единицей орел).Теперь рассмотрим вероятностное пространство Ω2={0 , 1 , 2 }, где 0 – выпало 0 орлов, 1 – выпал 1 орел,2 – выпало 2 орла.
Оба этих пространства являются адекватной моделью для описания ситуации с двумя монетками.Однако пространство Ω1 удобнее, так как в нем исходыестественным образом равновероятны (в случае идеальныхмонет). Поэтому мы можем рассчитать вероятности любогоиз исходов из Ω1 – она равна 1/4. То же самое с исходамивторого пространства мы сделать не можем – если мы будемсчитать, что все исходы равновероятны, это пространство небудет адекватно описывать нашу модель, так как очевидно,что получить пару орлов менее вероятно чем одного орла.Таким образом, для каждого случайного эксперимента нашазадача — построить вероятностное пространство так, чтобы, содной стороны, оно адекватно описывало ситуацию, а с другой– позволяло рассчитывать вероятности.Опр.
Случайным событием называется любое подмножествовероятностного пространства (если пространство конечно илисчетно).Пример. Рассмотрим введенное выше пространство Ω для подбрасывания двух монеток. Требуется описать событие – пер20вая монетка выпала орлом. Решение: это событие, состоящееиз двух элементарных исходов = {10 , 11 }. Соответственно,событием, заключающимся в том, что вторая монета выпалаорлом, будет = {01 , 11 }.Со случайными событиями как с множествами можно производить теоретико-множественные операции, каждая из этих операций имеет естественную интерпретацию в бытовых терминах.Операции с событиями.Пересечение событий.
Событие состоит в том, что происходят одновременно и событие A, и событие B.Пример: событие {на первой монетке выпал орел}, и событие{на второй монетке выпал орел} пересекаются по событию {наобеих монетках выпали орлы}21Объединение событий. Событие состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий A, или B.Пример: объединением событий A и B является событие {хотябы на одной монетке выпал орел}Отрицание события.
Событие состоит в том, что событие Aне происходит.Пример: событие {на первой монетке не выпал орел}.Задача 3.1. Построить вероятностное пространство для22подбрасывания трех монеток. Выразить через него событияA={первая монетка выпала орлом}, B={вторая монетка выпала орлом}, C={выпало 2 орла}.См.
ответы и решения.Задача 3.2. В предыдущей задаче найти пересечение событийA,B и С. Как на бытовом языке выражается получившеесясобытие?Опр. Вероятностное пространство называется классическим,если оно содержит конечное число исходов и все исходы равновероятны.Пример. Вероятностное пространство для эксперимента с двумя монетками является классическим, если присвоить каждомуэлементарному исходу вероятность 1/4.Опр. Вероятностное пространство называется дискретным, если оно содержит конечное или счетное число элементарных исходов, и сумма вероятностей, присвоенных элементарным исходам,∑︀равна единице. Другими словами, выполняется соотношение ∈Ω P ( ) = 1.Пример. Рассмотрим следующий эксперимент: монетка подбрасывается до появления первого орла.
Обозначим исход ,если орел первый раз выпал при -ом бросании монеты, =1, 2, . . . . В данном эксперименте может быть бесконечное число исходов, пространство Ω = {1 , 2 , . . .} является адекватноймоделью. Имеем P ( ) = 1/2 , так что сумма вероятностей равна единице. Построенное пространство является дискретным,но не классическим.Замечание. Классическое вероятностное пространство является частным случаем дискретного.Опр. Вероятностью события в дискретном вероятностномпространстве называется сумма вероятностей, присвоенныхэлементарнымисходам, из которых оно состоит: P () =∑︀для классического вероятностного ∈ P ({ }).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
