М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков (1115304), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Бросили игральный кубик, оказалось, что выпало нечетное число. Требуется вычислить вероятность того,что выпала 1 или 2.37Задача 5.3. Какова вероятность выпадения орла на первоймонетке при условии выпадения хотя бы одного орла из двухмонеток.Задача 5.4. Есть случайный номер телефона из 5 цифр(считаем, что номер может начинаться с нуля).
НайтиP ({в номере есть цифры 1 и 2 | все цифры различные}).Опр. Два события называются независимыми, если выполненосоотношение P () = P () P ().Задача 5.5. События и независимы. Чему равна условнаявероятность при условии ?На практике независимыми считаются события, которые обусловлены не связанными между собой факторами, и между которыми нет причинно-следственной связи (или по крайней мере, она никак не прослеживается статистически). Однако могутбыть события, обусловленные общими причинами, но тем не менее оказывающиеся независимыми в математическом смысле.Это иллюстрирует следующая задача.Задача 5.6. Бросаются две игральные кости.
Пусть на нихвыпадает 1 и 2 очков соответственно. Найти, какие парыиз следующих событий являются независимыми: = {1 =3}, = {2 ≤ 2}, = {1 + 2 = 7}, = {1 − 2 = 1}.Опр. События 1 , . . . , называются попарно независимыми, если для любой пары , верно P ( ) = P ( ) P ( );независимыми по трое, если для любой тройки , , верноP ( ) = P ( ) P ( ) P ( ) и т.д.Опр. События 1 , .
. . , называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества {1 , . . . , } выполняетсяP (1 . . . ) = P (1 ) · . . . · P ( ).Такие сложности в определении независимости группы событийобъясняется возможностью решения следующих двух задач.Задача 5.7. Привести пример трех попарно независимых событий, не являющихся независимыми в совокупности.I Рассмотрим пример с тетраэдром: есть тетраэдр, в нем тристороны покрашены в синий, зеленый и красный цвета, а одна– во все три цвета сразу. Тогда события типа “выпала грань, накоторой есть данный цвет” имеют вероятность по 1/2, в попарном пересечении дают вероятность 1/4 = 1/2 · 1/2, но пересе38ченные все вместе дают 1/4 ̸= 1/2 · 1/2 · 1/2, поэтому совместнойнезависимости нет.Отметим, что тот же самый пример можно построить из набораравновероятных исходов {1 , .
. . , 4 }, выбрав из них события1 = {1 , 4 }, 2 = {2 , 4 }, 3 = {3 , 4 } (проверьте это). JЗадача 5.8. Привести пример трех независимых по трое событий, не являющихся попарно независимыми (а тем болеенезависимыми в совокупности).I Две игральные кости и три события, показанные на вероятностном пространстве: A={на первой кости 1,2,5}, B={на второй кости 4,5,6}, C={сумма костей 9}. Прямым подсчетом видно, что есть независимость по трое, нет попарной.123456123456JЗадача 5.9.
Шесть шаров случайно раскладывают по 3-мящикам. Найти вероятность того, что во всех ящиках оказалось различное число шаров, при условии, что в первый ящикпопало ровно 2 шара.Задача 5.10. Из урны, в которой лежит 4 черных и 6 белыхшаров достают 3 шара. Найти вероятность того, что хотябы два шара белые, если известно, что из урны вытащен хотябы один белый шар.Задача 5.11. В партии товара из 10 единиц 3 бракованные.Контролер случайным образом выбирает товар для проверкидо тех пор, пока не обнаружит брак. Найти вероятность,что он сделает всего 2 попытки.Задача 5.12. Два шахматиста одинаковой силы играют 4 партии (без ничьих), победа в результате присуждается по очкам (тут возможна ничья), найтиP ({победил первый | оба выиграли хотя бы раз}).39Задача 5.13.
Трейдер Лу покупает акцию с вероятностью0.3. Кроме того, известно, что если трейдер Чен покупает акцию, трейдер Лу покупает акцию с вероятностью 0.4, а еслитрейдер Лу покупает акцию, то трейдер Чен покупает акциюс вероятностью 0.6. Найти вероятность того, что трейдерЧен покупает акцию.Ответы и решения5.2 Вероятностное пространство Ω = {1, 2, .
. . , 6}, событие == 61 ,{1, 3, 5}, событие = {1, 2}, ∩ = {1}. P ( ∩ ) = |∩|Ω1P () = 36 = 12 . P (|) = 1/61/2 = 35.3 Пространство Ω = {00, 01, 10, 11}, событие = {01, 10, 11}, = {10, 11} ∩ = {10, 11}, P (|) = 2/43/4 = 2/3. Эта задача называется “парадокс мальчика или девочки” (Boy or Girlparadox) и обычно формулируется про двух детей в семье.5.4 Воспользуемся замечанием 2. Пусть вероятностное пространство Ω состоит из номеров с различными цифрами|Ω | = 510 . Событие в таком пространстве может бытьпредставлено следующим образом = {есть цифры 1 и 2} ={номер состоит из цифр 3..9,0} = , | | = 58 .
т.е. P (|) =58| ||Ω | = 1 − 510 .Заметим, что тот же результат может быть получен, если посчитать количество элементарных исходов , и ∩ в вероятностном пространстве Ω = {00000, . . . , 99999}.P()P()= P ().5.5 P (|) = P()P() =P()5.61 2 ->123456123456По этой таблице легко рассчитать вероятности каждого отдельного события и каждой пары событий. Независимыми оказываются пары: и , и , и . То, что и независимы,40сразу понятно, поскольку они относятся к разным костям.
Нособытие относится к обеим костям.5.9 5/85.10 20/295.11 7/30. Используем вероятность вытащить на первом шаге не бракованный товар и условную вероятность вытащить навтором шаге бракованный товар при условии, что на первомшаге вытащен не бракованный. Здесь даже множество элементарных исходов выписывать не нужно.5.12 2/75.13 0.45416. Формула полной вероятности. Формула Байеса.Формула полной вероятности.Пусть имеется разбиение множества Ω на непересекающиеся события 1 , .
. . , , тогда () =∑︁ (| ) ( )=1Задача 6.1. Доказать формулу полной вероятности.∑︁=1 (| ) ( ) =∑︁ ( ∩ )=1 ( ) ( ) =∑︁ ( ∩ ) ==1(︃=⋃︁)︃ ∩ 1= P ()=1Задача 6.2. Лаборант забывает бросить кипелку в емкостьдля проведения реакции с вероятностью 0.4. Вероятность растрескивания емкости без кипелки составляет 80%, с кипелкой — 10%. Найти вероятность появления трещин.Задача 6.3.
Имеется прибор, состоящий из двух независимых деталей с вероятностями отказа 0.1 и 0.2. Прибор работает в течение года с вероятностью 0.99 если обе деталиисправны, в случае отказа первой детали прибор работает свероятностью 0.7, второй — с вероятностью 0.8, обоих — с вероятностью 0.1. Какова вероятность прибору проработать втечение года?42Задача 6.4. Имеет 4 независимых проекта, каждый заканчивается полным провалом с вероятностью 0.1. В случае полного провала одного проекта вероятность закрытия лаборатории 20%, двух — 50%, трех — 70%, четырех — 90%, найтивероятность закрытия лаборатории.Формула Байеса (| ) ( ) ( |) = ∑︀=1 (| ) ( )Замечание.
Если формула полной вероятности – это по сути просто взвешенная сумма, то формула Байеса уже гораздосложнее без механизма условной вероятности. Следует отметить, что (а) успех обеих этих формул связан с правильнымпостроением разбиения (б) не следует пренебрегать вероятностным формализмом при использовании формулы полной вероятности – прямой подсчет вероятностей через события помогаетв простых задачах, но вызывает путаницу в сложных.Задача 6.5.
Доказать формулу Байеса.Задача 6.6. Как показывает практика, условия на производстве вредны для здоровья с вероятностью 0.25, датчик обнаруживает это с вероятностью 0.75. Датчик не выявил вреддля здоровья, найти вероятность, что он есть.Задача 6.7. Имеется аналогичная ситуация в Африке. Вероятность вреда 0.90, прибор выявляет вред, если он есть свероятностью 0.25 и если его нет — с вероятностью 0.1. Известно, что датчик обнаружил вред.
Найти условную вероятность того, что условия труда нормальные.Задача 6.8. Изделие имеет скрытые дефекты с вероятностью 0.2. В течение года выходит из строя 75% изделий соскрытыми дефектами и 15% без них. Найти вероятность,что дефекты были, если оно вышло из строя.Задача 6.9. Производственный брак составляет 4%.
Каждоеизделие равновероятно попадает к одному из двух контролеров, первый обнаруживает брак с вероятностью 0.92, второй— с вероятностью 0.98. Какова вероятность, что признанноегодным изделие бракованное?43Задача 6.10. В условиях задачи 6.2 — у вас в руках потрескавшаяся после эксперимента посуда, с какой вероятностьюлаборант забыл кипелку?Задача 6.11.
При условиях задачи 6.3 прибор сломался, найтиусловную вероятность выхода из строя только первой детали.Задача 6.12. Электроэнергия поступает в город через триэлектролинии, каждая из которых может быть отключена свероятностью 0.1. Кроме того, в городе имеются свои источники энергии. Если отключена одна электролиния, город испытывает недостаток энергии с вероятностью 0.1, если две —с вероятностью 0.2, если три — с вероятностью 0.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
