М.М. Мусин, С.Г. Кобельков, А.А. Голдаева - Сборник задач по теории вероятносей для химиков (1115304), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вывести формулу для числа упорядоченных подмножеств размера в множестве размера (размещений).Ответ: = !/( − )!.Хорошей иллюстрацией данной задачи является число способовраздать маек с номерами людям. Другая задача, решаемаяс помощью данной формулы: число способов расклеить бирокс номерами 1.. по пробиркам с различными веществами.Число описывает следующую урновую схему. Пусть у насимеется различных шаров в урне, мы вытаскиваем из неёпо очереди шаров и записываем последовательно их номера.Описанная схема называется схемой упорядоченного выбора безвозвращения.Задача 1.6. Вывести формулу для числа неупорядоченныхподмножеств размера в множестве размера (сочетаний).8Ответ: = !/(!( − )!).Указание: Использовать правило умножения, чтобы прийти ксоотношению ! · = .В данном случае задача описывает число способов раздать людям маек без номеров или, например, число способов наклеить бирок синего цвета на пробирок с различными веществами.
Пример двух разных способов раздать майки: майкиесть у Алексея, Бориса, Василия, у Григория – нет майки, либомайки есть у Бориса, Василия, Григория, Алексей без майки.Задача описывает следующую урновую схему: мы из урны вываливаем сразу шаров и смотрим, какие номера на этих шарахоказались (без учета порядка). Это схема неупорядоченного выбора без возвращения.Замечание.
Числа называют биномиальными коэффициентами, поскольку они участвуют в формуле бинома Ньютона:( + ) =∑︁ − .=0Составим таблицу количества возможных вариантов для различных урновых схем. Данные урновые схемы по сути покрывают все наиболее распространенные ситуации, возникающие вприкладном курсе комбинаторики и теории вероятностей.
Кроме того, урновая схема является простым примером вероятностного эксперимента – если производить выбор из урны вслепую,все варианты оказываются равновероятными, и естественнымобразом получается классическое вероятностное пространство,которое будет подробнее изучаться в следующих параграфах.Примерами ситуаций, описываемых урновыми схемами, могутслужить, например, такие: есть различных шаров (веществ),вынимается шаров и анализируется либо по порядку (удосужились расставить образцы по порядку/наклеить бирки), либокак одна куча (не удосужились упорядочить образцы).без возвращенияс возвращенияемупорядоченныйнеупорядоченный+−1Неупорядоченый выбор с возвращением (формула числа вари−1антов +−1= +−1) — урновая схема, когда есть шаров9(образцов), шары выбираются раз, и при этом записываетсятолько, сколько раз появился шар с номером 1, 2 ..., . В частности, когда шаров 2, число возможных вариантов + 1 (можетбыть 0, 1, 2, ..., шаров с номером 1, тогда все остальные – сномером 2).Здесь — число доставаний шара с возвращением (например,взятия незначительного количества материала из случайногообразца), а — число шаров в урне (типов образцов).Замечание.
Возможно, более понятным примером неупорядоченного выбора с возвращением является число способов разбить заданное число на последовательных слагаемых. (например 4 можно разбить на 2 слагаемых 5 способами: 0+4, 1+3,22+2, 3+1, 4+0; тогда как на три слагаемых 3+4−1= 15 способами: 0+0+4,. . ., 4+0+0.)Задача 1.7.
Доказать формулу для числа возможных вариантов при неупорядоченном выборе с возвращением.Задача 1.8. У лаборанта есть 3 разных кислоты и 4 разныхоснования, сколькими способами он может провести реакцию?Есть еще 5 различных индикаторов, сколько способов провести реакцию и проверить полноту прохождения реакции?Задача 1.9. Есть 10 пробирок с кислотами и 20 пробирок сразличными основаниями,а) сколькими способами можно выбрать 5 кислот и 7оснований?б) сколькими способами можно выбрать 10 кислот и 5оснований?в) сколькими способами можно выбрать разные наборыкислот и оснований так, чтобы кислот было меньшепяти, а всего веществ было 10?Задача 1.10.
У лаборанта есть 20 пробирок с различнымивеществами, а также 20 бирок с номерами. Каково число способов:а) наклеить все бирки?б) наклеить 15 бирок?в) наклеить не менее 15 бирок?Задача 1.11. Найти число способов наклеить 6 бирок с надписью "Яд" на 10 пробирок с различными веществами.10Задача 1.12. Найти число способов переставить 17 пробирокс различными веществами.Задача 1.13. Есть набор из 20 различных емкостей с жидкостью для протирки оптики,а) сколькими способами можно выбрать среди них жидкости для протирки микроскопов в 1-й, 2-й и 3-й лабораториях, если для лаборатории емкость изымаетсяцеликом?б) сколькими способами можно выбрать среди них жидкости для протирки микроскопов в 1-й, 2-й и 3-й лабораториях, если для лаборатории требуется 100 млжидкости, а емкости бесконечны (заполнены болеечем на 300 мл каждая)?в) сколькими способами лаборант может сделать себекоктейль объемом 500 мл из различных жидкостей,если он сливает по 100 мл жидкости за раз, а объемемкостей бесконечен (более 500 мл)?Задача 1.14.
В органической молекуле 6 различных мест,к которым могут присоединиться (путем реакции замещения) атомы галогенов (хлора, брома и йода), независимо другот друга. Определить, сколькими способами могут присоединиться к молекуле:а) 2 атома хлора;б) атом хлора и атом брома;в) 2 атома хлора и атом брома;г) 2 атома хлора и 2 атома йода;д) 3 атома хлора, 2 атома брома и атом йода;е) 4 атома хлора, атом брома и атом йода.Ответы и решения1.2 а)Число способов 3*5*10, 3 варианта первого выбора (чай),5 вариантов второго (чашка), 10 вариантов третьего (блюдце).б) 3+2 в) (4 + 3) · 5 · 10 · 5.1.4 Вариантов 1-й буквы , 2-й – тоже , значит, вариантовпервых двух букв · и т.д. Всего вариантов .111.5 Выбрать упорядоченное подмножество – это то же самое,что присвоить элементам множества {1, .
. . , } номера от 1 до. Способов присвоить первый номер , второй номер – − 1способ (так как одному элементу уже присвоен номер), третийномер – − 2 и так далее раз. Получаем формулу = · ( − 1) · . . . · ( − + 1) .⏞⏟k раз1.6 Кратко решение можно сформулировать так:[число способов наклеить синих бирок]·· [число способов упорядочить объектов] == [число способов наклеить табличек с номерами]Проведем теперь вывод более аккуратно. Пусть нам уже известно количество способов выбрать -элементное подмножество (сочетание) из -элементного множества, обозначим этоколичество способов за . Каждом такому подмножеству соответствует ! различных порядков, в которых можно выстроитьего элементы. Причем для различных подмножеств последовательности упорядоченных элементов, очевидно, не пересекаются.Таким образом, количество возможных упорядоченных подмножеств размера равно · !.
С другой стороны, это же количество способов равно . Следовательно, имеем = · !!т.е. = /! = !(−)!.1.7 Представим число в виде суммы последовательных единиц, разделенных на групп перегородками (каждая группа всумме образует очередное слагаемое), причем перегородки могут стоять и в начале или конце, а также рядом (тогда соответствующие слагаемые равны нулю). Понятно, что таких перегородок понадобится − 1. Обозначим их нулями. Например,разбиение 4=3+1 запишется так: 11101. Теперь у нас есть всего + − 1 объектов (единиц и нулей), и надо расставить их произвольным образом. Достаточно выбрать мест для единиц изобщего числа + − 1 мест (на остальные места однозначноставятся нули). Это можно сделать −+1способами.121.8 а) 3 · 4 = 12, б) 3 · 4 · 5 = 60∑︀410−551051.9 а) 10б) 20(= 10· 20) в) =0 1020∑︀201.10 а) 20! б) 1520 в)=15 2061.11 101.12 17!201.13 а) 320 б)203 в) 20+3−121.14 а) 6 б) 6 · 5 в) 62 · 4 г) 62 · 62 д) 63 · 32 · 1 е) 64 · 2 · 1132.
КомбинаторикаВ этом параграфе мы займемся решением задач комбинаторикиболее высокого уровня. В данных задачах уже нужно найти возможность для применения той или иной базовой комбинаторной техники (например, аналогию с урновой схемой), а такжеправильно применить правило сложения и умножения, чтобыразбить подсчитываемое количество вариантов на подмножества таким образом, чтобы каждое из подмножеств поддавалоськомбинаторному подсчету.Замечание. Основная сложность в комбинаторных задачах часто находится в самом начале: нужно понять, какую именно модель здесь применить. При решении задач, если сомневаетесь,выберете то решение, в котором уверены “на все 100”.
Возможно, стоит его записать, и только после этого сверяться с ответом. Если вы решите задачу в виде “может быть так, но можетбыть и так” и один из ответов совпадет, это будет абсолютнобесполезной тратой задачи.Задача 2.1. Каково число последовательностей из 0 и 1 длины?Задача 2.2.
Чему равно число таких последовательностей, вкоторых единиц?∑︀Задача 2.3. Докажите формулу =0 = 2 .Указание: Произвольное подмножество может быть некоторымобразом записано как последовательность из нулей и единиц.Задача 2.4. Для экспериментов с динамитом требуется какминимум 5 лаборантов, сколько способов выбрать группу экспериментаторов из коллектива в 10 лаборантов?Задача 2.5. Есть 50 различных веществ. Сколькими способами можно выбрать набор из 10 веществ для первой лаборатории, 15 веществ для второй и 20 веществ для третьей, есливещества забираются полностью?Полиномиальным коэффициентом (мы будем обозначать его (1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
