Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Я определено так жс, как и в начале разд. 8.9, а именно как радиус, за пределы которого на данной высоте вещество всплывающей напорной струи не проникает. !Р' н  — средние скорость и сила плавучести соответственно, определенные таким образом, что поток скорости (количества движения при единичной плотности) равен п)ТЧР, а суммарная сила плавучести в элементарном объеме толщиной дг равна 9ВВ'с(г. Средняя горизонтальная скорость вовлечения жидкости в струю на высоте г при радиусе Я обозначена К а коэффициент захвата а определен соотношением (У = а)Р".
(8.! 1.3) Применительно к данному случаю уравнение неразрывности можно интерпретировать как равенство изменения вертикального потока через некоторый объем горизонтальному потоку в этот же объем. Следовательно, — (кйз!5') = 2яР(У = 2яай!5".
(8.! 1.4) Если подставить в это уравнение величины )с и )Р', выраженные через г, которые для напорной струи имеют вид (8.9.1) и (8.9.2), то получим, используя (8.11.3), что для осеснмметричной напорной струи (8,11.5) С другой стороны, если мы используем (8.10.3) и (8.10.4), то для осесимметричного факела получим я=в 5 бл (8.11.6) Параметры а, п, т, е постоянны для каждого конкретного случая, и здесь едва ли стоит обсуждать их значения, так как вполне достаточно полученных общих зависимостей, характеризующих явление в целом. Профили скоростей оказываются в большей или меньшей степени близки к распределению Гаусса.
Естественно, эти профили не будут совпадать с гауссовскими при больших значениях г, где в случае осесимметричной напорной струи в = 0 при г)В. Одна волна косинусонды (которая очень похожа на гауссиан, за исключением участков вблизи концов) является более точным'приближением, но обычно предпочитают формулу Гаусса, поскольку она привычнее и ее удобнее использовать. Во всяком случае, профили, измеренные в факеле и напорной струе, достаточно ГЛАВА 8 (8.11.7) Значения параметров здесь нодбираются соответствующим образом. Поток сил плавучести постоянен, так что Ж'дВЙ' = — Ф = сопз1. 1 А Следовательно, уравнение (8.11.7) может быть преобразовано: Это уравнение имеет решение 8/ (КЛВг)ч "' ~/ (В~+ гз) (8.11.1О) похожи друг на друга для того, чтобы предположить, что в уравнении (8.11.1) щ принимает одно и то же значение для обоих видов струи.
Значительно легче определить параметр н (носкольку ГГ = г/Я). Оказывается, что в большей или меньшей степени этот параметр одинаков для обеих струй. Из (8.1!.5) и (8.11.6) следует, что коэффициент захвата для факела в '/8 раза больше, чем для напорной струи, и оказывается, что сила плавучести является прямой причиной увеличения вовлечения окружающих масс за счет возникновения завихренности. Этот вывод [см. (8.11.3)) вытекает из определения )г' согласно (8.11,1), и именно поэтому важно равенство т для обоих случаев. Иногда нри рассуждениях основываются на предположении, что а является своего рода универсальной константой, так как неремешиванис обусловлено разностью скоростей напорной струи и окружающей среды, но нри этом не отмечается, что всплывающие и напорные струи должны обладать различными значениями либо т, либо и. Если допустить, что уравнение (8.11.2) применимо к описанию потока концентрации примеси Ь в напорной невсплывающей струе !выше отмечалось, что и плавучесть, и концентрация примеси рассеиваются одинаково, так что уравнение (8.11.2) может относиться к любой субстанции, диффундирующей в факеле], то, чтобы добиться онределенного прогресса в теории всплывающей напорной струи, следует допустить универсальную применимость (8.11.2) нри одном значении й.
Пока не существует достаточно очевидных доказательств справедливости такого предположения, но его следствия представляют некоторый интерес. Вертикальная производная потока количества движения равна силе плавучести, поэтому — (тЖ"/с') = дВЦ'. 353 ЧАСТИЧНО ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ где сз — постоянная интегрирования. Преобразуя, получим !У/3 СЗ( ' ! " ) (8.1 1.11) где Зп2 Са = — Ф. 4Ьи (8.11.12) Уравнения (8.11.3) и (8.11.4) дают а в форме (8. 11.18) тогда как для области всплывающей струп, где г» с, получаем В'= Сг ~', а= —. ьп ' (8.! 1.15) Архимедова сила может быть определена из (8.11.7); она равна дВ= (8. 11. 16) ЙУ (33+ сз) Н т, е. для стадий напорной и всплывающей струй пропорциональна г-' и г-я' соответственно.
Эти формулы могут применяться непосредственно в случае, если импульс всплывающей напорной струи больше, чем у просто всплывающей струи данной плавучести; переход от всплывающей напорной струи к просто всплывающей струе имеет место примерно на высоте г = с, Если напорная струя имеет отрицательную плавучесть, из (8.11.12) следует, что величина С' отрицательна; это означает, что для того, чтобы величина !Р' в выражении (8.11.11) была положительна, постоянная интегрирования, обозначенная выше как с', должна быть отрицательной и интервал высот г, до которых струя может подниматься, оказывается ограниченным.
Если заменить с' на — с", то увидим, что скорость становится равной 0 при г=с', после чего начинастся опускание обратно к источнику, и формулы теряют физический смысл. Коэффициент захвата равен (8.11.17) при г«с' он становится таким же, как и для напорной струи, Для той области, где струя еще остается напорной, т. е. при г « с, имеем !Р' = Сс "г, а = —,„„, (8.! 1.14) глава в но умеяьшается вместе с г и становится равным О, когда аз= = '/5с". Это формально выражает ту мысль, что перемешивание возрастает, когда плавучесть положительна, а когда она отрицательна, то перемешивание уменьшается до О, прежде чем направленная вверх скорость станет равной О. Модель становится бессмысленной в диапазоне высот между г=)/'/зс' и в=с', поскольку рассеяние требует сохранения конической формы струи в то время, когда она замедляется.
Выше а=с' из модели формально следует, что там, где плавучесть больше, чем у факела с данной скоростью подъема, и вовлечение становится больше, чем у факела. Коэффициент захвата становится бесконечным при г = с', где Ю'= О, поскольку модель требует, чтобы смешение происходило за счет плавучести, даже если скорость Ж' относительно внешней среды становится равной нулю. Но этот вывод поставлен под вопрос в равд. 8.13 на основании того, что предположение И г некорректно.
8.12. Подобие в стратифицироваииой среде В случаях, рассматривавшихся до сих пор, оказывалось, что скорости изменения всех величин зависели только от локальных условий, т. е. от конкретных значений различных величин, определенных при некотором частном значении г.
Иногда это подтверждалось хорошим согласием теории с наблюдениями, однако на самом деле теория подобия утверждает только, что локальные условия могут быть выражены определенным образом, хотя механизм рассматриваемых явлений таков, что движение сильно зависит от того, что происходит в слое выше и ниже данного, в той же степени, как и от того, что происходит на данном уровне.
Когда среда стратифицирована и описывается выражением вг (8.12.1) в случае несжимаемой жидкости, уравнения потоков количества движения и сил плавучести в более общем случае, чем это охватывается соотношениями (8.11.7) и (8.11.8), имеют вид лт ~ ( 1к"з оз) а В/эг (8.12.2) (8 12.3) ЧАСТИЧНО ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 355 Последнее из этих уравнений выражает тот факт, что плавучесть уменьшается при перемещении вверх в стратифицированной среде. Преобразуя эти уравнения, получаем (8.12.4) —, (8.12.6) Г Лс ЕГ Г Лс ' лс + Пс ас ЕВ где (8.12.6) есть число Фруда, выражающее отношение сил плавучести и массовых сил, а ДЖ (8.!2.7) есть параметр устойчивости, представляющий собой отношение статической устойчивости и инерционных сил.
Теперь получаем М 1 зГ 11 аГ (8,12.8) с!с и 4т 2Г ас 2АГ ' а из уравнения неразрывности в форме (8.11.4) определяем а'Гс В ап' 5Г Л И НГ В а= — + — — = — + — — + — = аз 21тс ас Ет + 4Г ас 4ЕГ 1 Г = — + —. 2п 4т' (8.12.9) Частный случай безразличной стратификации получается, если положить 11 и 5 равными О. Если число Фруда в этом случае постоянно и пе равно О, то из (8.12.6) следует (8 16.17), так что 1/л =ЗГ/4л2 и а=1/2п+ 1/Зи для факела. При Г = 0 легко получим и = 1/2п для напорной струи. Если п постоянно при р = О, то из (8.!2.8) можно получить решение 4т сз Г=— зл г2+с2 ' которое дает вариации Р для случая равд. 8.11, На практике факелы по форме слабо отличаются от конуса в стратифицированной среде (за исключением окрестности уровня, на котором они переста1от подниматься), и предположение о постоянстве л представляется достаточно реалистичным.
Чтобы продвинуться дальше в нашем анализе, предположим также, что л2 и /2 тоже постоянны. Это ведет к постоянству профилей средних и пульсационных скорости и плавучести. ГЛАВА 8 Если сделать дополнительное предположение о том, что и о постоянно, то уравнеяие (8.12.8) переписывается в виде — 2п Г(а(з = ГЮ~~ — — — + — ), (8.12.11) ГЗР2 В 5 'х 4т и 2й)' а интегрирование дает — +1— (8.12 12) где Зп25 а2 = 1— 2те (8.12.13) (8.12.! 4 Это выражение сводится к (8.11.7) при о = 1. Постоянная интегрирования с получается подстановкой в формулы (8.12.6) и (8.12.12) известных значений входящих туда величин, помеченных индексом 1, так что ! Зп ~ 22~ + 22ю а С определяется из (8.12.4) в виде 2а 2 а+2 Сз [ з (а+ 1) — В ~1.
(8.12.16) Этот частный случай приведен, поскольку он позволяет получить полное решение; однако требование постоянства Я весьма искусственно, хотя, конечно, оио не является совершенно невозможным в реальных условиях и может быть воспроизведено в лаборатории. В этом случае также имеет место подобие. Еще более частный случай, когда Р тоже постоянно, представляет собой факел, обладающий подобием в стратифицированной среде. Тогда при о = О имеем АЙВИ Зт — =Р=— ГГ'2 Зп ' ЛРЯ2 2тй =5=— 2ГГ2 Зла (8.12.17) Предположение о постоянстве 5 приводнт через (8 12.7) к появлению связи между )Р' и 8 и представляется искусственным. Выражение (8.12.12) представляет В как функцию г через (8.12,6); (8.12.12) сводится к (8.12.10), когда (3, а следовательно, и Я равны О и о = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
