В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 46
Текст из файла (страница 46)
9.4).Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты333Касательные напряжения у обоих концов рассматриваемогофрагмента в соответствии с законом Гука (9.22) и рис. 9.4 равны:∂ξτ ( x) = Gγ ( x) = G tg(α ( x) ) = G,(9.23)∂x xτ ( x + dx) = Gγ ( x + dx) = G tg (α ( x + dx) ) = Gξ∂ξ∂x.(9.24)x + dxτ(x+dx)ξ(x+dx)ξ(x)ατ(x)x x + dxXРис. 9.4. Зависимость смещения частиц твердого тела ξ (x ) прираспространении поперечной упругой волны вдоль оси XУравнение движения рассматриваемого фрагмента твердоготела массой dm = ρSdx имеет вид:ρSdxξ&& = (τ ( x + dx ) − τ ( x ) )S .(9.25)Преобразуем (9.25) с учетом выражений для касательных напряжений (9.23) и (9.24):Gξ&& = ξ x'' .(9.26)ρСравнивая полученное уравнение с волновым уравнением(9.4), получим приведенное выше выражение (9.21) для скоростипоперечной упругой волны в твердом теле.В. Поперечная упругая волна в струнеСкорость волны:T,c=ρл(9.27)где T – сила натяжения струны, ρл – линейная плотность струны в отсутствие волны.МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ334Запишем уравнение движения физически бесконечно малоголинейного элемента струны длиной dx и массой dm = ρ л dx (см.рис. 9.5) при распространении поперечной упругой волны вдольструны:∂ξ ( x + dx )∂ξ ( x )ρ ë dxξ&& = T ( x + dx )− T ( x).(9.28)∂x∂xξT(x+dx)ξ(x+dx)ξ(x)T(x)x x+dxXРис. 9.5. Зависимость смещения частиц струны ξ (x ) при распространении поперечной упругой волны вдоль струныПреобразуем (9.28) с учетом малости выбранного элементаструны при постоянной величине силы натяжения вдоль струныT(x) = const:⎛ ∂ξ ( x ) ∂ 2ξ ⎞∂ξ ( x ),dxρ ë ξ&& = T ⎜⎜+ 2 dx ⎟⎟ − T∂x∂x⎝ ∂x⎠ξ&& =Tρëξ x'' .(9.29)Сравнивая полученное уравнение с волновым уравнением(9.4), получим приведенное выше выражение (9.27) для скоростипоперечной упругой волны в струне.Г. Упругая волна в идеальных жидкости и газеСкорость упругой волны в идеальных жидкости и газе:c=∂P,∂ρ ρ(9.30)0где P – давление и ρ – плотность жидкости или газа, ρ 0 – плотность в отсутствие волны.Глава 9.
Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты335Скорость упругой волны в идеальном газе в случае адиабатического (без теплопередачи) процесса ее распространения:c=∂PP= γ 0 ,ρ0∂ρ ρ(9.31)0где γ ≡ cP / cV , сP и cV – теплоемкости при постоянных давлении иобъеме газа соответственно, P0 – давление в отсутствие волны.Рассмотрим слой dx идеальной (без вязкого трения) жидкостиили газа с координатой x вдоль направления распространения плоской волны (см.
рис. 9.6).ξ(x)ξ(x+dx)P(x)xP(x+dx)x+dxXРис. 9.6. Смещение границ ξ (x ) рассматриваемого слоя идеальнойжидкости или газа при распространении упругой волныУравнение движения выбранного слоя жидкости или газаимеет вид:∂PρSdxξ&& = S (P( x ) − P( x + dx ) ) = − Sdx ,∂x∂Pρξ&& = −.(9.32)∂xВоспользуемся материальным уравнением среды P = P ( ρ ) .При малых возмущениях плотности Δρ и давления ΔP , которыепроисходят вследствие распространения в ней упругой волны, запишем:∂PΔP =Δρ .(9.33)∂ρ ρ0При этом для относительного изменения плотностиможно записать (см. рис.
9.6):ΔρρМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ336Δρ∂ξ= −ξ x' .(9.34)dxρ∂xВ результате уравнение движения выбранного слоя жидкостиили газа примет вид:∂P∂ (ΔP ) ∂ ⎛⎜ ∂P∂ξ ⎞⎟∂P∂ 2ξρξ&& = −=−=⋅ρ=ρ⋅ 2 ,∂x∂x∂x ⎜ ∂ρ ρ∂x ⎟∂ρ ρ ∂x00⎝⎠∂Pξ&& =ξ x'' .(9.35)∂ρ ρ=−ξ ( x + dx) − ξ ( x)=−0Сравнивая полученное уравнение с волновым уравнением(9.4), получим приведенное выше выражение (9.30) для скоростиупругой волны в идеальной жидкости или газе.Для случая адиабатического процесса распространения упругой волны в идеальном газе воспользуемся уравнением состояниярассматриваемого слоя газа объемом dV = Sdx и массой dm = ρdV:P(dV ) = const ≡ C , P = C (dV )γ−γ⎛ dm ⎞⎟⎟= C ⎜⎜⎝ ρ ⎠∂PP−γ= C (dm ) γρ γ −1 = γ 0 .ρ0∂ρ ρ−γ= C (dm ) ρ γ .−γ(9.36)0В результате получим приведенное выше выражение (9.31)для скорости упругой волны в идеальном газе в случае адиабатического процесса ее распространения.9.1.5.
Энергетические соотношенияПри распространении плоской упругой продольной гармонической волны вдоль оси X в твердом теле смещение частиц средыиз положения равновесия ξ (t , x ) , их скорость ξ&(t , x ) и относительная деформация тела ε (t , x ) записываются в виде (см. пп. 9.1.2 и9.1.4.А):ξ (t , x) = ξ 0 cos(ωt − kx + ϕ 0 ) ,(9.37)ξ&(t , x ) = −ξ ω sin(ωt − kx + ϕ ) ,(9.38)0ε (t , x) =0∂ξ= −ξ 0 k sin (ωt − kx + ϕ0 ) .∂x(9.39)Глава 9.
Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты337При этом объемная плотность кинетической энергии частиц тела, участвующих в волновом движении, равна:ρξ& 2 (t , x ) ξ 02 ρω 2 2w k (t , x ) ==sin (ωt − kx + ϕ 0 ) .(9.40)22Объемная плотность потенциальной энергии частиц тела,участвующих в волновом движении:σε Eε 2 ξ 02 Ek 2 2wp (t , x) ===sin (ωt − kx + ϕ0 ) .(9.41)222Поскольку скорость упругой продольной волны в твердомEω(см.
(9.15)) и волновое число k ≡ , то:теле c =ρcwp (t , x) =ξ 02 Ek 22sin 2 (ωt − kx + ϕ0 ) =ξ ρω 220sin 2 (ωt − kx + ϕ0 ) = wk (t , x) .(9.42)2Как видим, для бегущей волны максимумы и минимумы кинетической и потенциальной энергий совпадают.Объемная плотность энергии волны:w(t , x) = wk (t , x) + wp (t , x) = w0 sin 2 (ωt − kx + ϕ0 ) ,(9.43)где амплитуда изменения объемной плотности энергии волныw0 = ξ 02 ρω 2 = ξ 02 Ek 2 .(9.44)Среднее значение объемной плотности энергии гармонической волны за период колебаний:w ξ 2 ρω 2w(t , x) T = 0 = 0.(9.45)22Плотность потока энергии волны – величина, численноравная энергии, переносимой волной в единицу времени через поверхность единичной площади, ориентированной перпендикулярнонаправлению распространения энергии волны.
В случае изотропных сред направление распространения энергии совпадает с направлением распространения фронта волны:w(t , x)cs d tS (t , x ) ≡= w(t , x)c ,(9.46)sdtгде s − площадь поперечного сечения волны.=МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ338Вектор Умова – вектор, направление которого совпадает снаправлением распространения энергии волны, а модуль равенплотности потока энергии. В случае изотропных сред:S (t , x ) ≡ w(t , x )c .(9.47)Интенсивность волны – среднее значение плотности потокаэнергии волны за период колебаний:wI ≡ S ( x, t ) T = w( x, t ) T c = 0 c .(9.48)2Заметим, что амплитуда плотности энергии упругой волныw0 = ξ 02 ρω 2 (9.44), через которую выражаются ее энергетическиехарактеристики (9.45) – (9.48), зависит только от одной характеристики среды – ее плотности ρ.
В случае распространения упругойволны в струне под плотностью энергии подразумевается ее линейная плотность, а плотность является линейной плотностью ρлструны.9.1.6. Продольный эффект Доплера (классический)Пусть υ s и υ d – скорости движения источника звуковых гармонических волн и детектора, регистрирующего эти волны, относительно неподвижной среды, c – скорость распространения волныв среде, которая определяется свойствами среды и не зависит отскоростей источника и детектора (см. рис. 9.7).υsλcTsυ sTsυdсλcTdυ dTdXРис. 9.7. Взаимное расположение волновых фронтов при испускании и регистрации звуковой гармонической волныНа рис.
9.7 левая черта, перпендикулярная оси Х, показываетположение фронта волны, испущенной движущимся источником, внекоторый момент времени t. К моменту времени t + Ts (Ts – пери-Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты339од колебаний источника) фронт сместится на расстояние cTs, а источник – на расстояние υ sTs . Следовательно, длина волны в средеравна (рис. 9.7):λ = cTs − υsTs .(9.49)Пусть в некоторый момент времени t' приемник зарегистрировал фронт волны. Следующий фронт волны, находящийся отприемника на расстоянии λ, будет зарегистрирован в момент t' + Td(Td – период колебаний приемника).
Поскольку за время Td приемник сместится на расстояние υdTd , а волновой фронт – на расстояние cTd, тоλ + υdTd = cTd .(9.50)Учитывая, что Ts = 1/νs и Td = 1/νd, получаем из (9.49) и (9.50)связь частот колебаний для источника νs и приемника νd:c − υdvs .vd =(9.51)c − υs9.1.7. Собственные колебания распределенных системСобственные (свободные) колебания – колебания системы,предоставленной самой себе (при постоянных внешних условиях).Распределенная система – колебательная система с большим числом степеней свободы, характерные размеры которойL > cτ ,(9.52)где c – скорость распространения волнового возмущения, τ – характерное время его заметного изменения.Нормальные колебания (моды) – собственные гармонические колебания системы.
Специальным выбором начальных условий можно возбудить в системе только одно (любое) из всех, свойственных системе нормальных колебаний. При нормальном колебании системы все ее элементы колеблются с одной и той же частотой – нормальной частотой.Нормальные частоты – частоты нормальных колебаний.Нормальные частоты колебательной системы определяются ее параметрами (для распределенной колебательной системы − свойствами среды и граничными условиями).340МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧВ общем случае колебания системы являются суперпозициейее нормальных колебаний, которая определяется начальными условиями.Стоячая волна – периодическое во времени синфазное колебание распределенной системы с характерным пространственным распределением амплитуды этих колебаний – чередованиемузлов и пучностей.Пучности стоячей волны – пространственные области, вкоторых частицы распределенной системы колеблются с максимальной амплитудой.Узлы стоячей волны – пространственные области, в которых частицы распределенной системы остаются неподвижны.В случае стоячих волн основной модой (тоном) называетсямода с максимальной длиной волны и минимальной частотой.
Остальные моды называются обертонами.Стоячая волна в соответствии с принципом суперпозицииволновых полей (9.3) может быть представлена как результат суперпозиции двух бегущих гармонических волн с одинаковыми частотой ω , скоростью распространения c и амплитудой ξ 0 , распространяющихся навстречу друг другу (например, падающая и отраженная волны):⎛ x⎞⎛ x⎞ξ (t , x) = ξ1 ⎜ t − ⎟ + ξ 2 ⎜ t + ⎟ =⎝ c⎠⎝ c⎠= ξ 0 cos(ωt − kx + ϕ 01 ) + ξ 0 cos(ωt + kx + ϕ 02 ) =ϕ − ϕ01 ⎞ ⎛ϕ + ϕ02 ⎞⎛= 2ξ 0 cos⎜ kx + 02⎟ cos⎜ ωt + 01⎟≡22⎝⎠ ⎝⎠≡ C cos(kx + ψ 0 ) cos(ωt + ϕ0 ) ,(9.53)где ϕ 01 и ϕ 02 – начальные (при t = 0) фазы в точке с координатойϕ − ϕ01ϕ + ϕ01и ϕ 0 = 02, а C cos(kx + ψ 0 ) –x = 0 , C = 2ξ 0 , ψ 0 = 0222амплитуда стоячей волны.Пучности в волне в соответствии с (9.53) будут наблюдаться,в точках (см.
рис. 9.8), координаты которых удовлетворяют условию:kx + ψ 0 = nπ , n = 1, 2, 3, ... .(9.54)Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты341При этом координаты узлов (рис. 9.8) определяются соотношениями:2n + 1π.(9.55)kx + ψ 0 =2Заметим, что между соседними узлами частицы среды колеблются в фазе, при переходе через узел фаза колебания скачкообразно изменяется на π.ξ (t , x )Пучностиt=0t = T/6xt = T/3t = T/2УзлыРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
