В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Отметим, что при увеличении массы маятника частота колебаний монотонно возрастает, а при достаточно малой массе маятника m << M частота его колебаний совпадает с частотой коле-()МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ292баний математического маятника с неподвижной точкой подвесаg(8.17) – ω0 =.lω0 , c −186420051015m/MРис. 8.19Решением уравнения (8.82) является гармоническая функция:α (t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) .(8.84)Амплитуда A и начальная фаза ϕ 0 в (8.84) определяются начальными условиями, которые в соответствии с условиями задачи записываются в виде:α (t = 0) = 0 ,(8.85)Vα& (t = 0) = − 0 .(8.86)lВ результате для угла отклонения маятника имеем:VVα (t ) = 0 cos(ω0t + π / 2) = − 0 sin(ω0t ) .(8.87)lω 0lω 0Дифференцируя (8.87) дважды по времени и подставляя α&& в(8.81) получаем дифференциальное уравнение второго порядка длякоординаты тележки x M :m/M&x&M = −V0ω0 sin(ω0 t ) .(8.88)1+ m / MИнтегрируя (8.88) с начальными условиямиxM (t = 0) = 0 ,(8.89)x& M (t = 0) = V0 ,(8.90)ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания293находим искомый закон движения тележки относительно лабораторной инерциальной системы отсчета:1xM (t ) =V0t + AM sin(ω0t ) ,(8.91)1+ m / Mгдеm / M V0⋅.(8.92)AM =1 + m / M ω0На рис. 8.20 изображены зависимости координаты тележкиx M (t ) от времени при различных значениях отношения массm / M маятника и тележки.Зависимости получены в соответствии с (8.91) при значенияхначальной скорости тележки V0 = 1 м/с и длины маятника l = 2 м .Как видим, поступательное движение тележки представляет собой1суперпозицию движения с постоянной скоростьюV0 и1+ m / Mгармонических колебаний с частотой ω0 и амплитудой AM (см.(8.91)).xM , мm/ M → 06xm , м0,255m/ M → 060,255143143242110141000024t, cРис.
8.2068024t, cРис. 8.2168294МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗаметим, что при достаточно малой массе маятника m << Mколебательное движение тележки практически незаметно, поскольку происходит с малыми амплитудой AM и частотой.Искомый закон движения маятника x m (t ) относительно лабораторной инерциальной системы отсчета находим, используяпринцип суперпозиции движений (8.90) и полученные законы изменения угла отклонения α (t ) маятника (8.87) и движения x M (t )тележки (8.91):1xm (t ) =V0t − Am sin(ω0t ) ,(8.93)1+ m / MгдеV1Am =⋅ 0 .(8.94)1 + m / M ω0На рис.
8.21 изображены зависимости координаты маятникаxm (t ) от времени при различных значениях отношения масс m / Mмаятника и тележки. Зависимости получены в соответствии с (8.93)при тех же значениях начальной скорости тележки и длины маятника, что и в случае расчета зависимостей координаты тележки (см.рис. 8.20).
Как видим, движение маятника, как и в случае тележки,представляет собой суперпозицию движения с той же постоянной1скоростьюV0 и гармонических колебаний с той же часто1+ m / Mтой ω0 , но другой амплитудой Am (см. (8.94)). Заметим, что колебательное движение маятника практически незаметно при достаточно большой массе маятника m >> M , поскольку происходит смалой амплитудой Am .На рис.
8.22 изображены зависимости амплитуд колебанийтележки AM и маятника Am от соотношения их масс при указанных выше значениях начальной скорости тележки и длины маятника. Как видим, амплитуда колебаний маятника Am монотонноуменьшается с увеличением отношения масс m / M .
При этом амплитуда колебаний тележки AM сначала возрастает, достигая максимума, а затем монотонно убывает.ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания295Амплитуда колебаний маA, мятника Am в соответствии с (8.94)0.4стремится к своему максимальноAmlmaxму значению Am = V0приgAMAMmaxнеограниченном уменьшении отношения масс маятника и тележки0m/ M → 0.0 2 51015Амплитуда колебаний теm/Mлежки AM в соответствии с (8.92)Рис. 8.22максимальна при значении отношения масс маятника и тележкиm / M = 2 независимо от начальной скорости тележки и длины маl2V0.ятника и равна AMmax =g3 3Задача 8.4(Свободные незатухающие колебания)Тело вращения с максимальным радиусом r , моментоминерции J (относительно его оси симметрии) и массой m катаетсябез проскальзывания по цилиндрической поверхности опоры радиусом R , совершая малые колебания около положения равновесия (рис.
8.23). Найти частоту этих колебаний.OVmgN αRFтрРис. 8.23МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ296РешениеI. На тело в процессе движения действуют сила тяжести mg ,сила нормальной реакции опоры N и сила трения покоя Fтр вточке соприкосновения тела с цилиндрической поверхностью (см.рис. 8.23). Силой сопротивления воздуха пренебрегаем. Тело вращения и опору считаем абсолютно твердыми телами, поэтому трение качения не учитываем.Задачу решаем энергетическим методом.
Механическая энергия тела, катающегося без проскальзывания по цилиндрическойповерхности, сохраняется, поскольку суммарная работа всех непотенциальных сил, действующих на него, равна нулю (см. п. 3.1.3 вГлаве 3).II. Кинетическая энергия тела по теореме Кенига равна суммекинетической энергии поступательного движения тела со скоростью, равной скорости центра масс V , и энергии вращательногодвижения с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей черезцентр масс (см. (7.10) в п. 7.1.
Теоретический материал в Главе 7):mV 2 Jω 2Ek =+.(8.95)22Здесь J – момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс, а скорость центра масс тела в соответствии срис. 8.22 равнаV = ( R − r )α& ,(8.96)где α – угол, задающий положение центра масс тела на цилиндрической поверхности.Если принять потенциальную энергию тела в положении егоравновесия равной нулю, то при отклонении центра масс на угол αпотенциальная энергия становится равной (см. рис.
8.23)mgE p = mg ( R − r )(1 − cos α ) ≈( R − r )α 2 .(8.97)2Поскольку механическая энергия тела сохраняется, то∂ kE + Ep = 0 .(8.98)∂tПоскольку тело осуществляет плоское движение, рассмотримэто движение как вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью ω . По условию задачи качение происходит без проскальзывания, следовательно, мгновенная ось вращения проходит через()ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания297точки соприкосновения тела с цилиндрической поверхностью искорость центра масс тела равна:V = ωr .(8.99)Приравнивая правые части выражений (8.96) и (8.99) дляскорости центра масс, получаем уравнение кинематической связидля угловой скорости вращения ω тела вокруг оси, проходящейчерез центр масс, и угловой скорости вращения α& центра масс вокруг геометрической оси цилиндрической поверхности:R−rω=α& .(8.100)rIII.
Решая совместно уравнения (8.95) – (8.98) и (8.100), получаем уравнение гармонических колебаний тела:mgr 2α&& +α = 0.(8.101)( R − r )( mr 2 + J )Сравнивая (8.101) с (8.1), получаем искомое выражение длячастоты собственных гармонических колебаний тела вращения:ω0 =mgr 2.( R − r )(mr 2 + J )(8.102)⎛mr 2 ⎞⎟ и шараВ частности, для сплошного цилиндра ⎜⎜ J цил =2 ⎟⎠⎝2 2⎞⎛⎜ J шар = mr ⎟ полученное выражение принимает вид:5⎠⎝2gω0цил =,(8.103)3( R − r )ω0шар =5g.7( R − r )(8.104)Задача 8.5(Свободные незатухающие колебания)Определить частоту ω0 малых собственных гармоническихколебаний жидкости в тонкой трубке U-образной формы с изменяющимся вдоль трубки поперечным сечением, помещенной в поле сил тяжести Земли.
Считать заданной зависимость площади по-МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ298перечного сечения трубки S от координаты s вдоль трубки, а такжедлину заполненной жидкостью части трубки L.РешениеI. Поскольку в условии задачи не оговаривается иное, жидкость будем считать невязкой и несжимаемой. Задачу решаем энергетическим методом. Примем за ноль отсчета потенциальной энергии жидкости ее положение равновесия. По условию задачи сообщающиеся сосуды имеют неправильную форму, следовательно,смещение различных частиц жидкости при колебаниях будет различно, в отличие от колебаний в трубке с постоянным поперечнымсечением.
Введем обозначения: A1 – амплитуда малых гармонических колебаний жидкости в левом колене трубки, A2 – амплитудамалых гармонических колебаний в правом колене, ρ – плотностьжидкости.II. Пусть площадь поперечного сечения трубки есть известная функция координаты вдоль трубки S(s). Масса всей жидкостиLравна m = ∫ρ S ds (L – длина заполненной жидкостью части трубки).0Колебания считаем малыми, поэтому площадь поперечного сечения трубки на расстоянии двойной амплитуды колебаний можносчитать неизменной. Следовательно, если S1 и S 2 – площади сечения правой и левой свободных поверхностей несжимаемой жидкости в трубке соответственно, тоA1S1 = A2 S 2 .(8.105)Будем отсчитывать координату s от левой свободной поверхности жидкости в положении равновесия.
Координата правой свободной поверхности в положении равновесия равна длине столбажидкости s = L . Амплитуду колебаний A в сечении с произвольнойкоординатой 0 ≤ s ≤ L площадью S находим из условия A1S1 = AS ,аналогичного (8.105). Тогда в случае гармонических колебаний амплитуда V колебаний скорости частиц жидкости в сечении трубки скоординатой s равнаSV = ω0 A = ω0 A1 1 .(8.106)SЗапишем кинетическую энергию всей жидкости в моментпрохождения ею положения равновесия:ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебанияLk=∫Emaxρ S ds V 220299L=ρ ω02 A12 S12 d s2∫0S.(8.107)Через четверть периода вся энергия будет потенциальной иопределяться работой сил тяжести по перемещению объема жидкоA + A2сти A1S1 = A2 S 2 на высоту 1:2A + A2ρ S1 A12 g ⎛ S1 ⎞p⎜⎜1 + ⎟⎟ .= ρ S1 A1 1Emaxg=(8.108)22⎝ S2 ⎠Поскольку силами вязкого трения и сопротивления воздухапренебрегаем, механическая энергия жидкости сохраняется:kpEmax= Emax.(8.109)III.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
