В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 38
Текст из файла (страница 38)
РЕЗОНАНС8.1. Теоретический материалМеханические колебания – это повторяющееся ограниченное движение тел механической системы относительно некоторогосвоего положения. При этом обобщенные координаты, определяющие положения тел системы в пространстве (см. п. 6.1.1 в Главе 6), ограничено изменяются около некоторого своего значения(см. рис. 8.1).ξ (t )tРис. 8.1.
Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае колебанийПериодический механический процесс – движение тел механической системы, точно повторяющееся во времени. Для системы с одной степенью свободы, этот колебательный процесс можетбыть описан одной физической величиной ξ (t ) , периодически зависящей от времени (см. рис. 8.2).ξ (t )TtРис. 8.2. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае периодического процессаПериод T – минимальный интервал времени, через которыйпроцесс в точности повторяется (рис. 8.2).ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания271Гармонические колебания – процесс, при котором физическая величина ξ (t ) меняется по гармоническому закону (см.рис. 8.3).ξ (t )TtРис. 8.3. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае гармонических колебанийСвободные (собственные) колебания – колебания системы,предоставленной самой себе (при постоянных внешних условиях).8.1.1. Собственные гармонические колебанияУравнение собственных гармонических колебаний, которое следует из уравнений движения механической системы, имеетвид:ξ&& + ω02ξ = 0 ,(8.1)где ξ – одна из обобщенных координат – независимых физических величин, определяющих положение тел системы; ω0 – угло2πвая частота и T0 =– период собственных гармонических ко-ω0лебаний, определяемые характеристиками системы.Закон движения при собственных гармонических колебаниях (зависимость обобщенной координаты от времени) – решениеуравнения собственных гармонических колебаний:ξ (t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) .(8.2)Здесь (ω0t + ϕ 0 ) – фаза колебаний; A – амплитуда и ϕ 0 – начальная фаза собственных гармонических колебаний, определяемые начальными условиями – значениями физической величиныξ 0 ≡ ξ (t = t0 ) и скоростью ее изменения ξ&0 ≡ ξ&(t = t0 ) в начальныймомент времени t0:МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2722⎛ ξ& ⎞A = ξ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ,⎝ ω0 ⎠20(8.3)⎛ ξ&0 ⎞⎟.(8.4)⎟⎝ ω0ξ 0 ⎠Скорость изменения обобщенной координаты ξ& (обобщенная скорость):ξ&(t ) = − Aω0 sin (ω0 t + ϕ 0 ) .(8.5)Как видим, в случае гармонических колебаний амплитудыобобщенной скорости и обобщенной координаты связаны множителем ω0 , а фаза обобщенной скорости опережает фазу обобщенной координаты на π/2.Необходимые условия существования собственных гармонических колебаний:1) наличие положения устойчивого равновесия,2) наличие возвращающей квазиупругой обобщенной силы.В качестве примера рассмотрим колебания пружинного, математического и физического маятников.Пружинный маятник − это тело, прикрепленное к невесомой пружине (см. рис.
8.4).mkϕ 0 = −ω0 t0 − arctg⎜⎜Fупр0xXРис. 8.4. Пружинный маятникРассмотрим случай горизонтального расположения пружинного маятника на гладкой горизонтальной поверхности. Ось X лабораторной инерциальной системы отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью, направим вдоль оси пружины, а ее началоГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания273отсчета совместим с центром масс тела в положении равновесия,соответствующего нерастянутой пружине (рис.
8.4).На тело в процессе колебаний действует упругая сила Fупр состороны пружины, удовлетворяющая закону Гука (см.п. 2.1. Теоретический материал в Главе 2). Уравнение движениятела в проекции на ось X выбранной системы отсчета имеет вид:m&x& = −kx ,(8.6)где m − масса тела, k − коэффициент жесткости пружины.Преобразуем (8.6) к виду уравнения гармонических колебаний:k&x& + x = 0 .(8.7)mСравнивая (8.7) с (8.1), для угловой частоты колебаний пружинного маятника получим:kω0 =.(8.8)mЗаметим, что при вертикальном расположении пружинногомаятника его частота не изменится. Действительно, уравнениедвижения маятника в этом случае записывается в виде (8.7) привыборе начала отсчета вертикальной координаты тела в положенииего равновесия.Законы движения тела, прикрепленного к пружине, и изменения его скорости аналогично (8.2) и (8.5) запишем в виде:x(t ) = A cos(ω0t + ϕ 0 ) ,(8.9)x& (t ) = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ 0 ) .(8.10)Кинетическая энергия пружинного маятника равна кинетической энергии тела, прикрепленного к пружине:mx& 2 (t ) mA 2ω02E k (t ) ==sin 2 (ω0 t + ϕ 0 ) =222kA=sin 2 (ω0t + ϕ0 ) .(8.11)2Потенциальная энергия пружинного маятника, расположенного горизонтально, равна энергии упругой деформации пружины:kx 2 (t ) kA2E p (t ) ==cos 2 (ω0t + ϕ0 ) .(8.12)22МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ274Кинетическая и потенциальная энергии пружинного маятника изменяются в противофазе по гармоническому закону с частотой2ω0 и одинаковыми амплитудами (см. рис. 8.5). Механическаяэнергия пружинного маятника, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, остается постоянной в процессе колебаний:kA2E = E k (t ) + E p (t ) =.(8.13)2Ek,p(t)0Ek(t)T/2Ep(t)TkРис.
8.5. Зависимости кинетической E и потенциальной Ep энергий маятника от времени в случае собственных гармонических колебанийМатематический маятник − материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в поле сил тяжести (см.рис. 8.6).Рассмотрим колебания математического маятника относительно горизонαтальной оси, происходящие в однойlплоскости.FВыберем лабораторную инерциальную систему отсчета, связанную с телом, к которому подвешен математический маятник. Запишем уравнение моmgментов (6.39) для материальной точкиотносительно оси, проходящей черезРис. 8.6. Математическийточку подвеса перпендикулярно плоскомаятниксти колебаний маятника (см. рис. 8.6):dL= M mg ,(8.14)dtГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания275где L = l ( mlα& ) = ml 2α& − момент импульса материальной точки относительно выбранной оси, α − угол отклонения маятника от положения равновесия, m и l − масса и длина математического маятника, M mg = −mgl sin α − момент силы тяжести, действующей наматериальную точку относительно той же оси.При малых углах отклонения маятника уравнение (8.14) сводится к виду уравнения гармонических колебаний (8.1):ml 2α&& = − mgl sin α ,(8.15)gα&& + α = 0 .(8.16)lСравнивая (8.16) с (8.1), для угловой частоты колебаний математического маятника получим:gω0 =.(8.17)lЗаконы движения математического маятника и изменения егоугловой скорости аналогично (8.2) и (8.5) запишем в виде:α (t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) ,(8.18)α& (t ) = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ 0 ) .(8.19)Кинетическая энергия математического маятника равна кинетической энергии материальной точки, подвешенной на нити:ml 2α& 2 mglA2Ek ==sin 2 (ω0 t + ϕ 0 ) .(8.20)22Потенциальная энергия математического маятника равнаэнергии материальной точки в поле силы тяжести Земли.
Если заноль отсчета потенциальной энергии принять положение равновесия маятника, то его потенциальная энергия при отклонении наугол α равна:mglA2E p = mgl (1 − cos α ) ≅cos 2 (ω0t + ϕ 0 ) .(8.21)2Кинетическая и потенциальная энергии математического маятника, так же как и в случае пружинного маятника, изменяются впротивофазе по гармоническому закону с частотой 2ω0 и одинаковыми амплитудами (см. рис. 8.5). Механическая энергия математического маятника не изменяется в процессе колебаний и равна:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ276mglA2(8.22).2Физический маятник − абсолютно твердое тело, подвешенное в поле сил тяжести (см. рис.
8.7).Рассмотрим колебания физическогомаятника относительно горизонтальной оси,αв процессе которых все материальные точкиlфизического маятника движутся в паралJ0лельных плоскостях.Выберем лабораторную инерциальнуюmgсистему отсчета, связанную с телом, к которому подвешен физический маятник. ЗапиРис. 8.7. Физическийшем уравнение моментов (6.48) для абсомаятниклютно твердого тела относительно оси, проходящей через точку подвеса перпендикулярно плоскости колебаний маятника (см. рис. 8.7):(8.23)Jα&& = M mg .E = Ek + Ep =Здесь α − угол отклонения маятника от положения равновесия, J −момент инерции физического маятника относительно выбраннойоси, M mg = −mgl sin α − момент силы тяжести, действующей наматериальную точку относительно той же оси, m − масса физического маятника и l − расстояние от центра масс маятника до точкиего подвеса.При малых углах отклонения маятника уравнение (8.23) сводится к виду уравнения гармонических колебаний (8.1):Jα&& = −mgl sin α .(8.24)mglα&& +α =0.(8.25)JСравнивая (8.25) с (8.1), для угловой частоты колебаний физического маятника получим:mgl.(8.26)ω0 =JИспользуя теорему Гюйгенса − Штейнера (6.42), выразим угловую частоту колебаний физического маятника через его моментинерции J 0 относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси вращения:ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания277mgl.(8.27)J 0 + ml 2Заметим, что в случае математического и физического маятников в качестве обобщенной координаты выступает угол отклонения маятника от положения равновесия.Законы движения физического маятника и изменения его угловой скорости идентичны случаю математического маятника:α (t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) ,(8.28)α& (t ) = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ 0 ) .(8.29)Кинетическая энергия физического маятника равна (см. (7.7)в п. 7.1. Теоретический материал Главы 7):Jα& 2 mglA2Ek ==sin 2 (ω0 t + ϕ 0 ) .(8.30)22Если за ноль отсчета потенциальной энергии принять положение равновесия маятника, то его потенциальная энергия при отклонении на угол α можно записать в виде:mglA2E p = mgl (1 − cos α ) ≅cos 2 (ω0t + ϕ 0 ) .(8.31)2Механическая энергия физического маятника равна:mglA2E = Ek + Ep =.(8.32)2ω0 =8.1.2. Собственные затухающие колебанияУравнение движения в случае собственных затухающих колебаний имеет вид:ξ&&(t ) + 2δξ& + ω02ξ = 0 ,(8.33)где δ – коэффициент затухания (определяется характеристикамисистемы).Решения уравнения (8.33) различны в зависимости от соотношения коэффициента затухания и частоты собственных незатухающих колебаний.Случай собственных затухающих колебаний − с затуханиемменьше критического (δ < ω0).Закон движения в этом случае имеет вид (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
