В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 39
Текст из файла (страница 39)
рис. 8.8):МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ278ξ (t ) = Ae −δ t cos(ωt + ϕ 0 ) .(8.34)2π2πЗдесь ω = ω02 − δ 2 и T ==– угловая частота и пеωω02 − δ 2риод затухающих колебаний.ξ (t )tРис. 8.8. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае затухающих колебанийЛогарифмический декремент затухания ϑ – логарифм отношения значений обобщенной координаты в моменты времени t иt + T:ξ (t )(8.35)ϑ ≡ ln= δT .ξ (t + T )Заметим, чтоξ (t )ln= NδT = Nϑ .(8.36)ξ (t + NT )Обратная величина логарифмического декремента затуханияравна числу периодов, за которые амплитуда колебаний уменьшится в e ≅ 2.7 раз:1ξ (t )ln= N eϑ = 1 , = N e .(8.37)ϑξ (t + N eT )Средняя механическая энергия ETза период T меняется современем по экспоненциальному закону, поскольку потенциальнаяE p и кинетическая E k энергии механической системы квадратично зависят от обобщенных координат и скоростей:ET= EkT+ EpT= E0 e −2δ t .При этом средняя мощность потерь P(8.38)Tравна:ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания279dETdE=−= 2δ E0e − 2δ t .(8.39)dt TdtДобротность колебательной системы Q определяется отношением средней за период механической энергии системы ксредней мощности потерь:ETπ π ωE0e −2δ t= 2π== =.(8.40)Q ≡ 2π− 2δ tδT ϑ 2δP TT2δE0e TPT≡−Случай апериодического движения − с затуханием большекритического (δ > ω0).Закон движения в этом случае записывается в виде:ξ (t ) = A1e− ⎛⎜ δ + δ 2 −ω 02 ⎞⎟ t⎝⎠− ⎛⎜ δ − δ 2 − ω 02 ⎞⎟ t⎠+ A2e ⎝,(8.41)где A1 и A2 – постоянные величины, определяемые начальными условиями.В зависимости от начальных условий постоянные величиныA1 и A2 могут быть как одного, так и разных знаков.AПри 1 > 0 обобщенная координата ξ (t ) монотонно стреA2мится к нулю при t → ∞ (см. рис.
8.9).ξ (t )tРис. 8.9. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) от времениAв случае апериодического движения при 1 > 0A2A1< 0 обобщенная координата ξ (t ) в некоторый моA2мент времени обращается в ноль, затем достигает локального эксПриМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ280тремума и далее монотонно стремится к нулю при t → ∞ (см.рис. 8.10).ξ (t )tРис. 8.10. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) от времеAни в случае апериодического движения при 1 < 0A2Случай критического затухания (δ = ω0).Закон движения в этом случае имеет вид:ξ (t ) = ( A1 + A2t )e −δ t ,(8.42)где A1 и A2 – постоянные величины, определяемые начальными условиями.Возможные виды зависимости обобщенной координаты отвремени при различных начальных условиях изображены нарис.
8.11.ξ (t )tРис. 8.11. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае критического затуханияНезависимо от соотношения коэффициента затухания δ ичастоты собственных незатухающих колебаний ω0 обобщеннаякоордината ξ (t ) стремится к нулю при t → ∞ .ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания2818.1.3. Вынужденные колебания. РезонансУравнение движения в случае вынужденных колебаний поддействием гармонической вынуждающей силы имеет вид:ξ&& + 2δξ& + ω02ξ = B cos( pt ) ,(8.43)где B cos( pt ) – обобщенная вынуждающая сила, B и p – ее амплитуда и частота.В частном случае пружинного маятника в качестве обобщенной вынуждающей силы выступает отношение вынуждающей силы, действующей на тело, прикрепленного к пружине, к массе этого тела.Колебания под действием гармонической вынуждающей силы при δ < ω0 можно представить в виде суперпозиции собственных и вынужденных колебаний.
Закон изменения обобщеннойкоординаты в этом случае имеет вид:ξ (t ) = ξ соб (t ) + ξ вын (t ) = ξ соб (t ) + A( p) cos( pt + ϕ ( p) ) .(8.44)Здесь ξ соб (t ) – закон изменения обобщенной координаты при собственных затухающих колебаниях в отсутствии вынуждающей силы, ξ вын (t ) – закон изменения обобщенной координаты после затухания собственных колебаний, A(p) – амплитуда и ϕ(p) – начальнаяфаза установившихся вынужденных колебаний ξ вын (t ) , которыезависят от частоты вынуждающей силы (см.
сплошные линии нарис. 8.12 и 8.13):BA( p ) =,(8.45)2ω02 − p 2 + 4δ 2 p 2()2δp.(8.46)p − ω02На рис. 8.12 и рис. 8.13 штриховыми линиями изображенызависимости амплитуды и фазы установившихся вынужденных колебаний для удвоенного значения коэффициента затухания 2δ.При t >> 1/δ, собственными затухающими колебаниямиξ соб (t ) можно пренебречь:ξ (t ) = ξ вын (t ) = A( p ) cos( pt + ϕ ( p) ) .(8.47)tg ϕ ( p) =2МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ282A(p)δ2δAст0pрез = ω02 − 2δ 2pРис.
8.12. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний A(p) отчастоты p при различных коэффициентах затухания δϕ(p)ω00p–π/2–πδ2δРис. 8.13. Зависимость начальной фазы вынужденных колебаний ϕ(p)от частоты p при различных коэффициентах затухания δРезонанс смещения (обобщенной координаты) – явлениерезкого возрастания амплитуды A( p) вынужденных колебанийпри изменении частоты вынуждающей силы (рис. 8.12).В случае резонанса смещения резонансная частота pрез выd A( p)нуждающей силы находится из условия=0:dppрез = ω02 − 2δ 2 .(8.48)При резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний равна:BAрез = A( pрез ) =.(8.49)2δ ω02 − δ 2ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания283При постоянной ( p = 0 ) обобщенной вынуждающей силе Вобобщенная координата ξ будет также постоянна и равна:BAст = A(0) = 2 .(8.50)ω0При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности (при p >> ω0 ) амплитуда вынужденных колебаний стремится кнулю (рис. 8.12):Bp →∞A( p ) ~ 2 ⎯⎯⎯→ 0 .(8.51)pЗаметим, что добротность колебательной системы можетбыть выражена через Aрез и Aст . В соответствии с (8.40), (8.49) и(8.50):Q=ω Aрез≅(при ω0 >> δ ).2δAст(8.52)Закон изменения со временем обобщенной скорости в случаевынужденных установившихся колебаний под действием гармонической вынуждающей силы имеет вид:ξ&(t ) = ξ&вын (t ) = − A( p) p sin ( pt + ϕ ( p ) ) == A( p ) p cos( pt + ϕ ( p ) + π / 2 ) .(8.53)Здесь A( p ) p – амплитуда изменения обобщенной скорости (см.сплошную линию на рис.
8.14):Bp.(8.54)A( p ) p =22 22 2ω0 − p + 4δ p()Штриховой линией на рис. 8.14 изображена зависимость амплитуды изменения обобщенной скорости при вынужденных колебаниях в случае удвоенного значения коэффициента затухания 2δ.Резонанс скорости – явление резкого возрастания амплитуды A( p ) p изменения обобщенной скорости ξ&(t ) при изменениичастоты вынуждающей силы (рис. 8.14).В случае резонанса скорости резонансная частота находитсяd ( A( p) p )= 0 и в соответствии с (8.54) равна:из условияdppрез = ω0 .(8.55)МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ284A(p)pδ2δ0pрез = ω0pРис. 8.14. Зависимость амплитуды изменения обобщенной скоростиA(p)p при вынужденных колебаниях от частоты p для различных коэффициентов затухания δПри постоянной ( p = 0 ) вынуждающей силе обобщеннаяскорость ξ&(t ) будет равна нулю (рис. 8.14):( Ap )ст = 0 .(8.56)При частоте вынуждающей силы много больше частоты собственных незатухающих колебаний ( p >> ω0 ) амплитуда изменения обобщенной скорости близка к нулю:B p →∞(8.57)A( p ) p ~ ⎯⎯⎯→ 0 .p8.2. Основные типы задач и методы их решения8.2.1. Классификация задачБольшинство задач по теме "Свободные и вынужденные колебания систем с одной степенью свободы. Резонанс" можно условно отнести к следующим типам задач или их комбинациям. Задачи на:1) свободные незатухающие колебания,2) свободные затухающие колебания,3) вынужденные колебания, резонанс.Возможны два метода решения – так называемые динамический и энергетический методы.
Динамический метод предполагаетиспользование уравнений движения, а энергетический – закона сохранения механической энергии колеблющейся системы тел.ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания2858.2.2. Общая схема решения задачЕсли задача сводится к колебаниям материальной точки, тоосновные этапы решения определяются общими схемами решениязадач, описанными в Главе 2 (динамический метод) и Главе 3(энергетический метод). При решении задачи о колебаниях абсолютно твердого тела используются схемы, описанные в Главе 6(динамический метод) и Главе 7 (энергетический метод).
Как правило, при использовании обоих методов на последнем этапе решения получаются уравнение и закон движения рассматриваемой механической системы. В любом случае при решении задачи необходимо последовательно реализовать следующие три основных этапа.I. Определиться с моделями материальных объектов иявлений.II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.8.3. Примеры решения задачЗадача 8.1(Свободные незатухающие колебания)Сплошной однородный цилиндр массой m и радиусом R ,шарнирно закрепленный в нижнейkkточке, совершает малые колебанияпод действием двух горизонтальныходинаковых легких пружин, жестm, Rкость каждой из которых равна k(рис.
8.15). Пружины прикреплены кверхней точке цилиндра и нерастянуты в положении равновесия цилиндра. Определить угловую частотуРис. 8.15малых колебаний цилиндра.РешениеI. Задачу решаем динамическим методом в лабораторнойинерциальной системе отсчета, связанной с опорой цилиндра.
ОсьX декартовой системы координат направим горизонтально. Начало286МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧотсчета оси X соответствует положению точки шарнирного закрепления цилиндра. Цилиндр считаем абсолютно твердым телом. Нанего действуют четыре силы (см. рис. 8.16):сила тяжести mg, упругие силы со стороны2Fупрдвух пружин 2Fупр и сила реакции опоры, неαизображенной на рисунке. Силами тренияпренебрегаем. Пружины считаем невесомыми, их деформации – малыми.II. Запишем уравнение моментов (см.mg(6.48) в Главе 6) для цилиндра относительно0Xоси (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
