В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(8.34)):α = Ae −δ t cos(ωt + ϕ0 ) ,(8.144)где ω = ω02 − δ 2 – частота собственных затухающих колебанийдиска, A – амплитуда, ϕ 0 – начальная фаза.С учетом начальных условий, заданных в задаче,МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ306α (t = 0) = α 0 ,α& (t = 0) = 0(8.145)(8.146)находим амплитуду A и начальную фазу ϕ 0 колебаний диска:A = α0 ,(8.147)ϕ0 = 0 .(8.148)Искомый в задаче закон движения диска описывает затухающие колебания относительно положения равновесия (см.рис.
8.29):()α (t ) = α 0 e −δ t cos ω02 − δ 2 t ,(8.149)α (t )α0t0Рис. 8.29Полученное решение справедливо при малом затухании колебаний, когда δ < ω0 (см. п. 8.1.2. Собственные затухающие колебания). Если неравенство не выполняется, то решением уравнения(8.141) является функция (8.41)⎛⎜ − δ + δ 2 − ω 2 ⎞⎟ t0⎠α (t ) = A1e⎝⎛⎜ − δ − δ 2 − ω 2 ⎞⎟ t0⎠+ A2 e⎝,(8.150)где коэффициенты A1 и A2 определяются начальными условиями(8.145) и (8.146):⎞α ⎛δ⎟.A1 = 0 ⎜1 +(8.151)22 ⎟2 ⎜−δω0⎝⎠⎞α ⎛δ⎟.A2 = 0 ⎜1 −(8.152)22⎜⎟2−δω0 ⎠⎝При этом закон движения диска в жидкости принимает вид:ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания⎞ ⎛⎜ −δ + δ 2 −ω 02 ⎞⎟t⎟e ⎝⎠+22 ⎟2 ⎜−δω0 ⎠⎝⎞ ⎛⎜ −δ − δ 2 −ω02 ⎞⎟tα ⎛δ⎟e ⎝⎠+ 0 ⎜1 −.(8.153)22 ⎟2 ⎜−δω0 ⎠⎝Выражение (8.153) описывает апериодический процесс (см.рис. 8.30), при котором в системе не возникает колебаний, она экспоненциально приближается к положению равновесия.α (t ) =α 0 ⎛⎜3071+δα (t )α0t0Рис. 8.30Задача 8.8(Вынужденные колебания, резонанс)Тело массой m = 100 г, подвешенное на легкой пружине жесткостью k = 40 Н/м, совершает установившиеся колебания поддействием вертикальной вынуждающей силы F = F0 cos pt , частотакоторой p = 25 рад/с и амплитуда F0 = 1 Í .
Смещение тела из положения равновесия отстает по фазе от вынуждающей силы наϕ = −3π / 4 . Определить добротность колебательной системы Q , атакже резонансную частоту pрез , соответствующие резонансу сме-щения, и амплитуду смещения при резонансе Aрез .РешениеI. На тело, подвешенное на пружине действуют четыре силы:сила тяжести, сила упругости со стороны пружины, сила сопротивления воздуха и вынуждающая сила F = F0 cos p t .
Как было отмечено в п. 8.1.1, постоянная сила тяжести не влияет на частоту собственных колебаний, она лишь смещает положение равновесия.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ308Поэтому решение задачи будет справедливо как при вертикальных,так и при горизонтальных колебаниях тела на пружине. По условию задачи пружина легкая, ее массой пренебрегаем, считая ееравной нулю.II. Искомая добротность колебательной системы определяется выражением (8.40):Q=ω.2δ(8.154)Здесь ω – частота собственных затухающих колебаний тела, которая в соответствии с п. 8.1.2 равна:ω = ω02 − δ 2 .(8.155)Частота собственных незатухающих колебаний ω0 тела наневесомой пружине (см.
(8.8)) определяется массой тела m и коэффициентом жесткости пружины k:k.(8.156)ω0 =mКоэффициент затухания δ, входящий в формулы (8.154) и(8.155), определяет заданный в условии задачи фазовый сдвиг ϕмежду смещением и вынуждающей силой в соответствии с выражением (8.46):2δptg ϕ = 2.(8.157)p − ω02Искомая резонансная частота при резонансе смещения в соответствии с (8.48) определяется выражением:pрез = ω02 − 2δ 2 .(8.158)При резонансной частоте искомая амплитуда вынужденныхколебаний (см. (8.49)) равна:F0Aрез = A( pрез ) =.(8.159)2δm ω02 − δ 2Получена полная система уравнений (8.154) – (8.159) относительно неизвестных в задаче величин – добротности Q , резонансной частоты pрез и амплитуды смещения при резонансе Aрез .III.
Совместное решение уравнений (8.154) – (8.157) дает выражение для добротности колебательной системы:ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебанияQ=ω02 p 2tg 2ϕ ( p 2 − ω02 ) 2−30911kmp 2=− .22244tg ϕ (mp − k )(8.160)Искомую резонансную частоту pрез находим, решая системууравнений (8.156) – (8.158):pрез(tg 2ϕ ( p 2 − ω02 ) 2k tg 2ϕ mp 2 − k= ω −=−m2 p22m 2p 220)2.(8.161)Амплитуду смещения при резонансе Aрез определяем, решаясистему уравнений (8.156), (8.157) и (8.159):F0 pAрез = A( pрез ) ==tg 2ϕ ( p 2 − ω02 ) 2222m( p − ω0 ) tgϕ ω0 −4 p2=F0 p(k tg 2ϕ mp 2 − k(mp 2 − k ) tgϕ−m4m 2 p 2)2.(8.162)Подставляя численные значения заданных в условии задачивеличин в полученные формулы (8.160) − (8.162), получаем:Q ≈ 2,17 ; pрез ≈ 19,0 рад/с ; Aрез ≈ 5,7 см .Задача 8.9(Вынужденные колебания, резонанс)Горизонтальный пружинный маятник совершает вынужденныеколебанияподдействиемгармоническойсилыF (t ) = F0 cos(pt) . Коэффициент затухания маятника равен δ , а частота его собственных незатухающих колебаний – ω0 .
Найти отношение средней за период мощности вынуждающей силы F(t) причастоте, соответствующей резонансу смещения, к максимальнойсредней мощности этой силы.РешениеI. Рассмотрим колебания маятника под действием гармонической вынуждающей силы F (t ) = F0 cos(pt ) в установившемся режиме, когда собственными затухающими колебаниями можно пренебречь (см.
п. 8.1.3).МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ310II. В установившемся режиме координата и скорость маятника меняются по законам (см. (8.47) и (8.53)):x(t ) = a cos( p t + ϕ ) ,(8.163)υ (t ) = − ap sin( p t + ϕ ) .(8.164)Запишем элементарную работу dA вынуждающей силы F,совершаемую за физически бесконечно малый интервал времени:dA = F (t )dx = F (t )υ (t ) dt ,(8.165)где в соответствии с условием задачи вынуждающая сила равна:F (t ) = F0 cos(pt) .(8.166)Суммарную работу этой силы за период колебаний T находим интегрированием элементарной работы:TA = ∫ F (t )υ (t )dt .(8.167)0Запишем среднюю за период мощность вынуждающей силы:TPср =1F (t )υ (t )dt .T ∫0(8.168)Система уравнений (8.163) – (8.168) позволяет получить зависимость средней мощности Pср вынуждающей силы от частотыp. Для нахождения искомого в задаче отношения средней за периодмощности силы F при частоте, соответствующей резонансу смещения, к максимальной средней мощности этой силы необходимонайти максимум средней мощности, а также дополнить полученную систему уравнений выражениями (8.45), (8.46) и (8.48) для амплитуды вынужденных колебаний a( p ) , фазы ϕ ( p) и резонанснойчастоты pрез при резонансе смещения:a( p) =(F0m ω02 − p 2)2+ 4δ 2 p 2,(8.169)2δp.p − ω02(8.170)pрез = ω02 − 2δ 2 .(8.171)tg ϕ ( p ) =2III.
Интегрируя (8.168) с учетом (8.167) и заданного в задачезакона изменения вынуждающей силы F(t), получаем:ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания3111F0 a( p) p sin (ϕ ( p ) ) .(8.172)2Найдем sin(ϕ ( p ) ) , входящий в формулу (8.172), воспользовавшись (8.170):tg ϕ ( p)2δp(8.173)sin ϕ ( p ) ==.221 + tg ϕ ( p )ω02 − p 2 + 4δ 2 p 2Pср =()Подставляя (8.173) и (8.169) в (8.172), получаем зависимостьсредней мощности вынуждающей силы от частоты:F02δ p 2.(8.174)Pср ( p ) =2m⎛⎜ ω02 − p 2 + 4δ 2 p 2 ⎞⎟⎠⎝Частоту вынуждающей силы p max , при которой ее средняяdP ( p )мощность достигает максимума, находим из условия ср=0:dppmax = ω0 .(8.175)Заметим, что частота pmax совпадает с частотой, соответствующей резонансу скорости (см.
п. 8.1.3).Подстановка (8.175) в (8.174) дает выражение для максимальной средней мощности вынуждающей силы:F2Pсрmax ≡ Pср ( pmax ) = 0 .(8.176)4mδВыражение для средней мощности вынуждающей силы причастоте, соответствующей резонансу смещения, находим подставляя (8.171) в (8.174):F 2 ω 2 − 2δ 2Pсррез ≡ Pср ( pрез ) = 0 0 2.(8.177)4mδ ω0 − δ 2Искомое отношение средней за период мощности вынуждающей силы F(t) при частоте, соответствующей резонансу смещения, к максимальной средней мощности этой силы находим, воспользовавшись (8.176) и (8.177):Pсррез ω02 − 2δ 2=.(8.178)Pсрmax ω02 − δ 2()(())МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ312Заметим, что полученное соотношение мощностей справедливо при δ <ω0.
При значениях коэффициента затухания δ ≥ω022в колебательной системе резонанс смещения не наблюдается (а резонанс скорости существует).Задача 8.10(Свободные незатухающие колебания системыс двумя степенями свободы)Два маленьких шарика массой m подвешены к потолку наневесомых стержнях длиной l , образуя два математических маятника. Эти маятники связаны между собой легкой пружиной жесткостью kα2α1(см. рис.
8.31). В положении равновесияпружина не растянута, а точки ее крепления к стержням находятся на расстоянии a от точек шарнирного подвеF2F1са стержней к потолку. Определить законы изменения углов отклонения маmgmgятников от положения равновесия α1 (t )Рис. 8.31и α 2 (t ) при малых колебаниях в трехслучаях:1) оба маятника отклонили в одну сторону на одинаковыйугол α 0 от положения равновесия в момент времени t = 0 и отпустили с нулевой начальной скоростью;2) маятники отклонили в разные стороны на одинаковые углы α 0 от положения равновесия в момент времени t = 0 и отпустили с нулевой начальной скоростью;3) в начальный момент времени t = 0 одному из покоящихсяв положении равновесия шариков сообщили начальную скоростьυ0 , направленную от положения равновесия.РешениеI. На каждый маятник действуют в процессе движения трисилы: сила тяжести mg , сила упругости со стороны пружины Fi(i = 1, 2) и сила реакции потолка, не изображенная на рис.
8.31. Силами трения о воздух и в подвесе пренебрегаем. В соответствии сГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания313начальными условиями, сформулированными в задаче, маятникиколеблются в плоскости, совпадающей с плоскостью чертежа(рис. 8.31). Задачу решаем динамическим методом в инерциальнойлабораторной системе отсчета, жестко связанной с потолком.II. Запишем уравнение моментов (см. (6.48) в п.
6.1.2. Главы 6) для каждого из маятников относительно неподвижных осей,проходящих через точку их крепления к потолку перпендикулярноплоскости колебаний (см. рис. 8.31):ml 2α&&1 = −mgl sin α1 − F1a cos α1 ,(8.179)ml 2α&&2 = − mgl sin α 2 + F2 a cos α 2 .(8.180)При малых углах отклонения маятников от вертикали пренебреглиотклонением пружины в процессе колебаний от ее горизонтальнойориентации в положении равновесия. При записи уравнений (8.179)и (8.180) учтено также, что моменты сил реакции потолка относительно выбранных осей равны нулю.Сила упругости, действующая со стороны пружины на первый маятник, в соответствии с законом Гука (см.
(2.5) в п. 2.1.2Главы 2), равна:F1 = ka(sin α1 − sin α 2 ) .(8.181)Поскольку пружина невесома, то согласно второму законуНьютона силы, действующие со стороны стержней на пружину,равны, а, следовательно, равны и силы, действующие на стержнисо стороны пружины (в соответствии с третьим законом Ньютона):F1 = F2 .(8.182)Подставляя (8.181), (8.182) в (8.179), (8.180) и учитывая малость углов α i отклонения стержней от вертикали ( sin α i ≅ α i ,cos α i ≅ 1 ), получаем систему связанных дифференциальных уравнений второго порядка:gka 2α&&1 + α1 + 2 (α1 − α 2 ) = 0 ,(8.183)lmlgka 2α&&2 + α 2 + 2 (α 2 − α1 ) = 0 .(8.184)lmlДелая замену переменныхξ1 = α1 + α 2 ,(8.185)ξ 2 = α1 − α 2 ,(8.186)МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ314получаем два независимых уравнения гармонических колебаний(8.1) для новых переменных ξ1 и ξ 2 :gξ&&1 + ξ1 = 0 ,(8.187)l⎛g2ka 2 ⎞⎟ξ = 0 .ξ&&2 + ⎜⎜ +(8.188)2 ⎟ 2⎝ l 1 ml ⎠Следовательно, при колебаниях маятников переменные ξ1 иξ 2 изменяются по гармоническим законам:ξ1 (t ) = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) ,(8.189)ξ 2 (t ) = A2 cos(ω2t + ϕ 2 ) ,(8.190)где частоты колебаний ω1 и ω2 в соответствии с (8.187) и (8.188)определяются параметрами маятников и пружины:gω1 =,(8.191)lg 2ka 2.(8.192)+lml 2Амплитуды A1 , A2 и начальные фазы ϕ1 , ϕ 2 колебаний переменных ξ1 и ξ 2 определяются начальными условиями.Переходя к углам отклонения стержней от вертикали из(8.185), (8.186), (8.189) и (8.190) получаем искомые законы изменения углов отклонения маятников от положения равновесия α1 (t ) иα 2 (t ) :AAα1 (t ) = 1 cos(ω1t + ϕ1 ) + 2 cos(ω2t + ϕ 2 ) ,(8.193)22AAα 2 (t ) = 1 cos(ω1t + ϕ1 ) − 2 cos(ω2t + ϕ 2 ) .(8.194)22Определим параметры A1 , A2 и ϕ1 , ϕ 2 колебаний в трех различных случаях задания начальных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
