В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Двепружины, надетые на стержень, одним концом прикреплены кмуфте, а другим – к тележке. Общий коэффициент жесткости пружин равен k. В состоянии равновесия центры масс муфты и тележки находятся на одной вертикали. Муфту смещают от положенияравновесия на небольшое расстояние l и отпускают с нулевой начальной скоростью. Определить частоту ω и амплитуды колебаниймуфты Aм и тележки Aт. Трением пренебречь.Mmk (m + M )Ответ: ω =, Aм = l, Aт = l.++mMmMmMЗадача 3В сплошном цилиндре радиусом R сделана цилиндрическаяполость радиусом R/2 с осью, проходящей через середину радиусацилиндра параллельно его оси.
Определить период малых колебаний, которые возникнут, если положить цилиндр на шероховатуюгоризонтальную поверхность и вывести его из состояния равновесия.29 RОтвет: T = π.gЗадача 4Однородный стержень массой m совершает малые колебаниявокруг горизонтальной оси, проходящейчерез точку О. Правый конец стержняподвешен на невесомой пружине жестkкостью k (см. рис.). Найти период колеmOбаний стержня, если в положении равновесия он горизонтален.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ324Ответ: T = 2πm.3kЗадача 5Найти частоту малых колебаний тонкогооднородного стержня массой m и длиной l вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (см.
рис.). Жесткость пружины равна k , еемасса пренебрежимо мала. В положении равновесия стержень вертикален.3 g 3kОтвет: ω =+.2l mOmkЗадача 6В сплошном шаре радиусом R сделана шарообразная полостьрадиусом R/2 с центром, расположенным в середине радиуса шара.Определить период малых колебаний, которые возникнут, если положить шар на шероховатую горизонтальную поверхность и вывести его из состояния равновесия.177 RОтвет: T = 2π.10 gЗадача 7Найти добротность Q математического маятника длинойl = 50 см, если за промежуток времени τ = 5,2 мин его механическаяэнергия уменьшилась в η = 4·104 раз.τg≅ 1,3 ⋅10 2 .Ответ: Q ≅lnη lЗадача 8Под действием момента внешних сил M z = M 0 cos ωt тело,подвешенное на упругой нити, совершает установившиеся вынужденные крутильные колебания по закону ϕ = ϕ0 cos(ωt − α ) .
Найтиработу сил трения, действующих на тело, за период колебания.Ответ: Атр = −πϕ0 М 0 sin α .ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания325Задача 9При частотах вынуждающей гармонической силы ω1 и ω2амплитуда скорости осциллятора равна половине своего максимального значения при резонансе. Найти частоту, соответствующую резонансу скорости.Ответ: ωр = ω1ω2 .Задача 10В условиях предыдущей задачи определить коэффициент затухания и частоту затухающих колебаний.ω − ω2Ответ: δ = 1, ω = ω1ω2 − (ω1 − ω2 ) 2 / 12 .2 3326МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГЛАВА 9БЕГУЩИЕ И СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ.МОДЫ И НОРМАЛЬНЫЕ ЧАСТОТЫ9.1. Теоретический материалВозмущение – пространственно локальное, неравновесноедля всей среды изменение ее состояния – изменение физическойвеличины (скалярной – ξ (t , r ) или векторной – ξ (t , r ) ), описывающей это состояние.Волна – процесс распространения возмущения в пространстве.Векторное волновое поле ξ (t , r ) – векторная функция времени t и радиус-вектора точки наблюдения r , описывающая возмущение среды, в которой распространяется волна.Скалярное волновое поле ξ (t , r ) – скалярная функция времени t и радиус-вектора точки наблюдения r , описывающая возмущение среды, в которой распространяется волна.Скорость волны – скорость распространения возмущения впространстве.Продольные и поперечные волны – волны, в которых векторное волновое поле ξ (t , r ) направлено соответственно вдоль илиперпендикулярно направлению распространения волны.Упругая (акустическая) волна – волна упругих деформаций (напряжений, давлений, смещений частиц, а также их скоростей и ускорений) в среде.
Скорость упругой волны, как правило,значительно больше скорости движения частиц в среде.9.1.1. Волновое уравнениеВекторное волновое уравнение для линейной, изотропной иоднородной среды:∂ 2 ξ (t , r )= c 2Δξ (t , r ) ,(9.1)∂t 2где ξ (t , r ) – векторное волновое поле, с – скорость волны,Δ=∂2∂2∂2++– дифференциальный оператор Лапласа.∂x 2 ∂y 2 ∂z 2Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты327Скалярное волновое уравнение для линейной, изотропнойи однородной среды:∂ 2ξ (t , r )= c 2Δξ (t , r ) ,(9.2)∂t 2где ξ (t , r ) – скалярное волновое поле (в том числе и проекция векторного волнового поля на ось декартовой системы координат).Закон распространения (уравнение) волны – решение волнового уравнения (9.1) или (9.2).Принцип суперпозиции волновых полей – волновое (векторное или скалярное) поле для совокупности волн равно суммеволновых полей для каждой волны в отдельности:ξ (t , r ) = ∑ ξ i (t , r ) , ξ (t , r ) = ∑ ξ i (t , r ) .(9.3)iiС математической точки зрения, если поля ξ i (t , r ) (илиξ i (t , r ) ) являются решениями линейного и однородного волновогоуравнения (9.1) (или (9.2)), описывающего волновой процесс, тоего решением является и их любая линейная комбинация.Из принципа суперпозиции следует, что различные волныраспространяются независимо друг от друга в линейной, изотропной и однородной среде.
Другими словами – всякое возмущение,существующее в линейной, изотропной и однородной среде, невлияет на распространение другого возмущения.Волновой фронт − поверхность, образованная точкамипространства с одинаковым возмущением (значением векторногоξ (t , r ) или скалярного ξ (t , r ) волнового поля).9.1.2. Плоские волныПусть скалярное волновое поле ξ (t , r ) зависит лишь от однойиз декартовых координат, например, координаты x вдоль оси X −ξ (t , x ) . При этом волновым фронтом является плоскость, − в средераспространяется плоская волна.Волновое уравнение плоской волны:2∂ 2ξ (t , x)2 ∂ ξ (t , x )или ξ&&(t , x ) = c 2ξ x' ' (t , x ) ,(9.4)c=∂t 2∂x 2где с – скорость волны.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ328Общим решением волнового уравнения (9.4) плоской волныявляется сумма двух произвольных (дважды дифференцируемых)функций:⎛ x⎞⎛ x⎞(9.5)ξ (t , x) = f1 ⎜ t − ⎟ + f 2 ⎜ t + ⎟ .⎝ c⎠⎝ c⎠⎛ x⎞Функция f1 ⎜ t − ⎟ описывает волну, распространяющуюся в по⎝ c⎠⎛ x⎞ложительном направлении оси X, а функция f 2 ⎜ t + ⎟ – волну,⎝ c⎠распространяющуюся в отрицательном направлении этой оси.Пусть единичный вектор n направлен вдоль направленияраспространения волны (см.
рис. 9.1).YnrZOxXРис. 9.1. Взаимная ориентация векторовr и n в случае плоской волныТогда для произвольной точки пространства, характеризуемой радиус-вектором r , для обеих волн с учетом направления ихраспространения можно записать ± x = n ⋅ r и⎛ n⋅r ⎞(9.6)ξ (t , r ) = ξ ⎜ t −⎟.c ⎠⎝Распространение волны происходит в направлении нормалик волновому фронту и может рассматриваться как движение волнового фронта.Плоская гармоническая волнаПусть скалярное волновое поле ξ (t , x ) во всех точках плоскости YZ с координатой x = 0 меняется по одному гармоническомузакону (синфазно):(9.7)ξ (t ,0) = ξ 0 cos(ωt + ϕ 0 ) ,Глава 9. Бегущие и стоячие волны.
Моды и нормальные частоты329где ξ 0 – амплитуда колебаний волнового поля в точках плоскостиYZ с координатой x = 0, ω – угловая частота, связанная с частотой12πколебаний ν и периодом T = соотношениями ω = 2πν =; ϕ0 –νTначальная фаза колебаний (в точке x = 0 в начальный момент времени t = 0).В соответствии с общим решением волнового уравнения (9.5)в области x ≥ 0 будет распространяться плоская гармоническая волна.Закон распространения плоской гармонической волны:ξ (t , x ) = ξ 0 cos (ω (t − x / c ) + ϕ 0 ) = ξ 0 cos (ωt − kx + ϕ 0 ) == ξ 0 cos(ωt + ϕ ( x) ) = ξ 0 cos(Φ (t , x) ) .(9.8)ω 2πν 2π– волновое число, λ – длина волны, kx –Здесь k = ==λccнабег фазы (или фазовый сдвиг) при прохождении волной расстояния x, Φ (t , x) = ωt − kx + ϕ0 – (полная) фаза.Для произвольной точки пространства, определяемой радиусвектором r , можно записать:ξ (t , r ) = ξ 0 cos(ωt − kn ⋅ r + ϕ 0 ) = ξ 0 cos(ωt − k ⋅ r + ϕ 0 ) ,(9.9)где k ≡ kn – волновой вектор, равный по модулю волновому числу k и направленный вдоль направления распространения волны(волнового фронта).Фазовый фронт (волновой фронт для гармонической волны)– поверхность, во всех точках которой волновое возмущение ξ (t , r )имеет в данный момент времени одинаковую фазу Φ.В случае экспоненциального затухания плоской гармонической волны закон ее распространения запишется в виде:ξ (t , r ) = ξ 0e −δ r cos(ωt − k ⋅ r + ϕ 0 ) ,(9.10)где δ – коэффициент затухания.9.1.3.
Сферические волныПусть скалярное волновое поле ξ (t , r ) зависит лишь от однойпространственной переменной – расстояния от точки наблюдениядо определенной точки пространства S. При этом волновым фрон-330МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧтом является сфера с центром в точке S, − в среде распространяетсясферическая волна.Закон распространения сферической волны (общее решение скалярного волнового уравнения (9.2) при соответствующихграничных условиях):ξ (t − r / c) ξ 2 (t + r / c),(9.11)ξ (t , r ) = 1+rrгде ξ1 (t − r / c) и ξ 2 (t + r / c) – произвольные дважды дифференцируемые скалярные функции, r ≡ x 2 + y 2 + z 2 – модуль радиусвектора произвольной точки пространства r относительно точки S,находящейся в начале выбранной системы координат (см.
рис. 9.2).Z r0SrYXРис. 9.2. Положение волновых фронтовс радиусами r0 и r в случаесферической волныДанное решение волнового уравнения описывает суперпозиξ (t − r / c )цию двух волн. Первое из слагаемых 1– расходящуюсяrξ (t + r / c)–от начала координат сферическую волну, а второе 2rсферическую волну, сходящуюся к началу координат.Пусть на сфере радиуса r0 задано граничное условие в видегармонического возмущения, синфазного во всех точках сферы:ξ (t , r0 ) = ξ 0 ( r0 ) cos(ω (t − r0 / c) + ϕ0 ) .(9.12)Тогда в области пространства вне сферы радиуса r0 будет распространяться расходящаяся сферическая гармоническая волна.Закон распространения расходящейся сферической гармонической волны:Глава 9. Бегущие и стоячие волны.
Моды и нормальные частоты331Acos(ωt − kr + ϕ0 ) ,(9.13)rгде A – величина, численно равная амплитуде волнового возмущения на единичном расстоянии от точки S.В случае экспоненциального затухания (с коэффициентомзатухания δ ) сферической гармонической волны закон ее распространения запишется в виде:Aξ (t , r ) = ξ 0 (r ) cos(ωt − kr + ϕ 0 ) = e −δ r cos(ωt − kr + ϕ 0 ) . (9.14)rξ (t , r ) = ξ 0 (r ) cos(ω (t − r / c) + ϕ0 ) =9.1.4.
Скорости распространения упругих волнв различных средахА. Продольная упругая волна в твердом телеСкорость волны:Ec|| =,ρ(9.15)σ– модуль Юнга или моεдуль одностороннего растяжения (сжатия), σ – продольное напряжение, ε – относительная деформация.где ρ – объемная плотность тела, E ≡Закон Гука для одностороннего растяжения (сжатия):σ = Eε .(9.16)Рассмотрим физически бесконечно малый слой dx твердоготела с координатой x вдоль направления распространения волны(см. рис. 9.3).ξ(x)ξ(x+dx)σ(x)σ(x+dx)xx+dxXРис. 9.3. Смещение границ ξ (x ) рассматриваемого слоя твердоготела при распространении продольной упругой волныМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ332Тогда относительная деформация ε равнаξ ( x + dx) − ξ ( x) ∂ξ=ε== ξ x' ,(9.17)∂xdxи закон Гука принимает видσ ( x) = Eξ x' .(9.18)Если S – площадь поперечного сечения рассматриваемогофрагмента тела, а ρ – его плотность в отсутствие волны, то уравнение движения рассматриваемого слоя тела массой dm = ρSdx имеетвид:ρSdxξ&& = S (σ ( x + dx ) − σ ( x ) ) .(9.19)Преобразуем (9.19) с учетом закона Гука (9.18) и малоститолщины рассматриваемого слоя:∂σρξ&& == σ x' ,∂xEξ&& = ξ x'' .(9.20)ρСравнивая полученное уравнение с волновым уравнением(9.4), получим приведенное выше выражение (9.15) для скоростипродольной упругой волны в твердом теле.Б.
Поперечная упругая волна в твердом телеСкорость волны:G,c⊥ =ρ(9.21)τ– модуль сдвига, τ – поперечное (касательное) наγпряжение, γ = tgα ≅ α – тангенс угла сдвига α. Отметим, что в од-где G ≡нородном изотропном твердом теле E > G и скорость продольнойзвуковой волны больше скорости поперечной волны c|| > c⊥ .Закон Гука для сдвига:τ = Gγ .(9.22)Рассмотрим колеблющийся при распространении волновоговозмущения достаточно малый фрагмент тела, заключенный междукоординатами x и x + dx вдоль направления распространения волны(см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
