В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 47
Текст из файла (страница 47)
9.8. Узлы и пучности стоячей волныЕсли ξ (t , x ) – смещение частиц среды из положения равновесия при наличии стоячей волны, то для скорости частиц среды υи относительной деформации ε можно записать:υ = ξ&(t , x ) = −Cω cos(kx + ψ 0 )sin(ωt + ϕ 0 ) == υ 0 cos(kx + ψ 0 )sin(ωt + ϕ 0 ) ,(9.56)ε = ξ x' = −Ck sin (kx + ψ 0 ) cos(ωt + ϕ0 ) == ε 0 sin (kx + ψ 0 ) cos(ωt + ϕ0 ) .(9.57)Как видим (сравни (9.56) и (9.57) с (9.53)), узлы и пучностидля скорости и смещения совпадают, а для деформаций пучностисовпадают с узлами смещений, а узлы − с пучностями смещений.Узлы и пучности в волне деформаций смещены относительно узлов и пучностей в стоячей волне смещений на λ/4.В результате суперпозиции будет наблюдаться пространственное перераспределение средней энергии волн – интерференция.Для упругих продольных волн в твердом теле объемныеплотности кинетической wk (t , x) и потенциальной wp (t , x) энергийМЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ342частиц тела, участвующих в волновом движении, и их средние значения wk и wp равны:TTρυ (t , x)21= C 2 ρω 2 cos 2 (kx + ψ 0 )sin 2 (ωt + ϕ 0 ) =22k2= w0 cos (kx + ψ 0 ) sin 2 (ωt + ϕ 0 ) ,(9.58)wk (t , x) =w0k1(9.59)cos 2 (kx + ψ 0 ) = C 2 ρω 2 cos 2 (kx + ψ 0 ) ,T42σε Eε 2 1 2 2 2wp (t , x) === C Ek sin (kx + ψ 0 ) cos 2 (ωt + ϕ0 ) =222p2= w0 sin (kx + ψ 0 ) cos 2 (ωt + ϕ 0 ) ,(9.60)wk=wp=T1w0psin 2 (kx + ψ 0 ) = C 2 Ek 2 sin 2 (kx + ψ 0 ) ,24(9.61)где11w0k = w0p = C 2 ρω 2 = C 2 Ek 2 .(9.62)22При этом средняя объемная плотность полной энергии стоячей волны однородно распределена в пространстве и равна:11w T = wk + wp = C 2 ρω 2 = C 2 Ek 2 .(9.63)TT44Пучность кинетической энергии (9.58) совпадает с узлом потенциальной (9.60) и наоборот. В отличие от бегущей волны, встоячей волне не происходит пространственного переноса энергии,а осуществляется лишь перекачка потенциальной энергии частиц,расположенных в области узла, в кинетическую энергию частиц,расположенных в области пучности, и наоборот.В зависимости от граничных условий в среде (в стержне,струне, столбе газа или жидкости) можно возбудить стоячие волныс определенными частотами.Если граница закреплена (на границе нет движения частицсреды), то на ней смещение частиц среды ξ , а также их скоростиυ и объемная плотность кинетической энергии w k равны нулю.При этом относительная деформация ε , напряжение σ , изменениедавления δp и объемная плотность потенциальной энергии w pпринимают максимальное значение.Глава 9.
Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты343Если граница свободна (на границе нет внешних сил, действующих на частицы среды), то на ней относительная деформацияε , напряжение σ , изменение давления Δp и объемная плотностьпотенциальной энергии w p равны нулю. При этом смещение частиц среды ξ , а также их скорости υ и объемная плотность кинетической энергии w k принимают максимальное значение.Из граничных условий можно получить длины волн λn нормальных колебаний (мод), и, зная скорость распространения упру2πc.гих волн c, найти частоты этих мод: ωn =λnВ качестве примера рассмотрим случай закрепления обоихконцов стержня длиной L при возбуждении в нем продольных илипоперечных упругих волн.Смещение частиц рассматриваемой среды при наличии стоячей упругой волны происходит по закону (9.53).
Поскольку обаконца стержня закреплены, смещение частиц на границах средыравно нулю:ξ (t , x = 0) = C cos(ψ 0 ) cos(ωt + ϕ0 ) = 0 ,(9.64)ξ (t , x = L) = C cos(kL + ψ 0 ) cos(ωt + ϕ0 ) = 0 ,(9.65)Условия (9.64) и (9.65) должны выполняться в любой момент времени t, следовательно:cos(ψ 0 ) = 0 ;(9.66)cos(kL + ψ 0 ) = 0 .(9.67)Раскрывая косинус суммы двух углов в (9.67) с учетом (9.66), получим:cos(kL + ψ 0 ) = cos(kL ) cos(ψ 0 ) − sin (kL )sin (ψ 0 ) = ± sin (kL ) = 0 .Из полученного соотношения непосредственно следует взаимосвязь частот собственных колебаний стержня с его длиной:2πν n2πL = nπ ,L = nπ , n = 1, 2, 3, ….k n L = nπ ,cλnСледовательно, длины стоячих волн и частоты нормальных колебаний (мод) для стержня с закрепленными концами равны:2Lλn =,(9.68)nМЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ344c.(9.69)2LЗаметим, что в случае стоячей упругой волны в стержне сдвумя закрепленными концами на длине стержня "укладывается"целое число длин полуволн:νn = nL=nλn.(9.70)2Аналогичное рассмотрение других случаев закрепления концов стержня при возбуждении в нем продольных или поперечныхстоячих упругих волн приводит к следующим соотношениям между длиной стержня и частотами (длинами волн) нормальных колебаний.Табл. 9.1. Длины волн и частоты нормальных колебаний в упругомстержне для различных граничных условийλnОба конца Продольнаязакреплены ПоперечнаяL=nПродольнаяОдин конецзакреплен ПоперечнаяL = (2n + 1)2Lnνn = n4L2n + 1ν n = (2n + 1)λn =2λn4λn =c2LПродольнаяL=nλn2λn =2Lnνn = nПоперечнаяL = nλnλn =Lnνn = nЗакрепление Продольнаяв центре ПоперечнаяL = ( 2n + 1)2L2n + 1ν n = ( 2n + 1)Оба концасвободныλn2λn =c4Lc2LcLc2L9.2.
Основные типы задач и методы их решения9.2.1. Классификация задачБольшинство задач по теме "Бегущие и стоячие волны. Модыи нормальные частоты" можно условно отнести к следующим типам или их комбинациям. Задачи на:1) бегущие волны и элементы акустики;2) эффект Доплера;Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты3453) стоячие волны, граничные условия, моды и нормальныечастоты.Как правило, один из типов задач имеет основное, другие –подчиненное по отношению к условию задачи значение.9.2.2. Общая схема решения задачI.
Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, если это необходимо для решения задачи.2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат (из соображений удобства).3. Изобразить и обозначить кинематические характеристикител и характеристики волн.4. Выбрать модели тел и их движения, модели волн и характер их распространения (если это не сделано в условии задачи).II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.1. Записать законы распространения бегущих (стоячих):а) волн смещения,б) волн скорости,в) волн ускорения,г) волн деформации.2.
Записать начальные и граничные условия.3. Записать уравнения, связывающие различные характеристики волн.4. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи (например, заданные соотношения междухарактеристиками системы).III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3.
Получить численный результат.Примечания.346МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧВ случае решения задач на эффект Доплера пп. II.1, II.2 надоопустить.Пункты II.1 – II.3 можно выполнять в той или иной последовательности в зависимости от типа задачи.9.3. Примеры решения задачЗадача 9.1Плоская гармоническая звуковая волна с амплитудойξ 0 = 1 мкм и частотой ν = 1 кГц распространяется в воздухе сплотностью ρ = 1,3 кг/м3 со скоростью c = 340 м/с в направлении,составляющем углы α = 60° и β = 45° с осями X и Y декартовойсистемы координат. Найти разность фаз колебаний частиц воздухаточках с координатами x1 = 1 м , y1 = 1 м , z1 = 1 м и x2 = 6 м ,y2 = 6 м , z2 = 6 м , а также энергию, переносимую звуковой волнойза время τ = 60 c через элемент плоской поверхности площадьюs = 10 см 2 , ориентированной перпендикулярно оси Z.РешениеI.
В соответствии с условием задачи звуковая волна являетсяплоской и гармонической, лабораторная система отсчета и связанная с ней декартова система координат X, Y, Z задана.II. Запишем закон распространения плоской гармоническойволны (см.
(9.9)):ξ (t , r ) = ξ 0 cos(ωt − k ⋅ r + ϕ0 ) ,(9.71)где r – радиус-вектор точки наблюдения. Поскольку направлениеволнового вектора k совпадает с направлением вектора скоростираспространения волны c , то скалярное произведение этих векторов равноk ⋅ r = kx cos α + ky cos β + kz cos γ ,(9.72)где x, y, z – координаты точки наблюдения, k =ωcиcos γ = 1 − cos 2 α − cos 2 β .(9.73)Закон распространения плоской гармонической волны в направлении, составляющем углы α, β, γ с осями X, Y, Z, принимаетследующий вид:Глава 9.
Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты347ξ = ξ 0 cos(ωt − kx cos α − ky cos β − kz cos γ + ϕ 0 ) .(9.74)Фазы колебаний в точках среды с координатами x1, y1, z1 и x2,y2, z2 равны соответственно:Φ1 = ωt − k ⋅ r1 = ωt − kx1 cos α − ky1 cos β − kz1 cos γ + ϕ0(9.75)иΦ2 = ωt − k ⋅ r2 = ωt − kx2 cos α − ky2 cos β − kz2 cos γ + ϕ 0 . (9.76)В соответствии с определением вектора Умова (см.
п. 9.1.5)искомая энергия, переносимая звуковой волной за время τ черезэлемент плоской поверхности площадью s , ориентированной перпендикулярно оси Z, равна:(9.77)E = S z T sτ .Для среднего значения проекции вектора Умова на ось Z можнозаписать:S z T = S (t , r ) ⋅ e z T = S (t , r ) T ⋅ e z = S (t , r ) T cos γ .(9.78)Выразим среднее значение модуля вектора Умова черезсреднее значение объемной плотности энергии волны, используя(9.47):S (t , r ) T ≡ w(t , r ) T c .(9.79)В свою очередь среднее значение объемной плотности энергии волны (см.
(9.45)) равно:w(t , r )=ξ 02 ρω 2.(9.80)2В результате получены две системы уравнений (9.73), (9.75),(9.76) и (9.73), (9.77) − (9.80) для нахождения искомой разности фазколебаний ΔΦ = Φ2 − Φ1 и переносимой энергии E соответственно.III. Решая полученные системы уравнений, находим искомыев задаче величины:ΔΦ =Tωc(( x2 − x1) cos α + ( y2 − y1) cos β +)+ ( z 2 − z1) 1 − cos 2 α − cos 2 β .E=ξ 02 ρω 2csτ1 − cos 2 α − cos 2 β .(9.81)(9.82)2Подстановка численных значений заданных в условии задачивеличин дает:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ348ΔΦ ≅ π / 2 ,E = 2,6 ⋅ 10 −4 Дж .Задача 9.2В упругой среде с плотностью ρ = 2 ⋅103 кг/м3 вдоль оси Xраспространяется плоская гармоническая звуковая волна с закономизменения скоростей частиц среды υ (t , x ) = υ0 cos(ωt − kx ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
