В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Амплитуда скорости частиц υ0 = 1 см/с , а скорость волны c = 2 км/с . Найти интенсивность волны, а также уравнения волн деформаций исмещений частиц среды, считая, что начальное смещение частицξ (t = 0, x = 0) = 0 .РешениеI. В соответствии с условием задачи звуковая волна являетсяплоской и гармонической, которая распространяется вдоль оси Xдекартовой системы координат лабораторной системы отсчета.II. Определим закон распространения волны смещений:ξ (t , x) = ∫ υ (t , x)dt =υ0sin(ωt − kx) + C ( x) ,ω(9.83)Для нахождения константы интегрирования C (x ) в (9.83) запишем начальное условие для смещения частицы среды в точкеx = 0:ξ (t = 0, x = 0) = 0 .(9.84)Из (9.83) и (9.84) следует, что константа интегрированияC ( x ) = 0 и закон распространения волны скоростей приобретаетвид:υξ (t , x) = 0 sin(ωt − kx) = ξ 0 sin(ωt − kx) ,(9.85)ωгде ξ 0 =υ0− амплитуда смещений частиц среды.ωДля волны деформаций в соответствии с (9.17) и (9.83) можно записать:∂ξ (t , x)ε (t , x) == −ξ 0 k cos(ωt − kx) = −ε 0 cos(ωt − kx) ,(9.86)∂xгде ε 0 = ξ 0 k – амплитуда волны деформаций.Глава 9.
Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты349Выражение для искомой интенсивности упругой волны непосредственно следует из (9.48) и (9.44):wξ 2 ρω 2c.(9.87)I = 0c= 022III. Искомые законы распространения волн смещений и деформаций непосредственно следуют из (9.85) и (9.86) с учетом выражения для амплитуды смещений частиц среды ξ 0 =υ0:ωυ0sin(ωt − kx) ,(9.88)ωυε (t , x) = − 0 k cos(ωt − kx) ,(9.89)ωИскомая интенсивность волны, выраженная через заданные взадаче физические величины, непосредственно следует из (9.87):υ 2 ρc(9.90)I= 0 .2Подставив в (9.90) численные значения амплитуды скоростичастиц, плотности среды и скорости волны, получаем значение интенсивности волны:I = 200 Вт/м 2 .ξ (t , x) =Задача 9.3Точечный изотропно излучающий источник испускает экспоненциально затухающую гармоническую звуковую волну с частотой ν = 1,45 кГц.
На расстоянии r0 = 5 м от источника амплитудасмещения частиц среды ξ 0 (r0 ) = 50 мкм , а в точке P, находящейсяна расстоянии r = 10 м от источника, амплитуда смещения ξ 0 (r ) вη = 3 раза меньше ξ 0 (r0 ) . Найти коэффициент затухания волны δ иамплитуду колебаний скорости частиц среды υ 0 (r ) в точке P.РешениеI. Для решения задачи используем сферическую систему координат, в начале которой расположен источник звуковых колебаний. Поскольку в условии задачи не оговаривается иное, среду будем считать изотропной, тогда звуковая волна, излучаемая точечным источником является сферической.350МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧII. Запишем закон распространения экспоненциально затухающей сферической гармонической волны смещения (см.
(9.14)):Aξ (t , r ) = e −δ r cos(2πνt − kr + ϕ0 ) .(9.91)rВ этом случае закон распространения волны скоростей имеетследующий вид:∂ξ (t , r )Aυ (t , r ) == −2πν e −δ r sin (2πνt − kr + ϕ0 ) =∂tr= −υ0 (r )sin (2πνt − kr + ϕ0 ) ,(9.92)где амплитуда колебаний скорости частиц среды υ0 (r ) равнаAυ 0 (r ) = 2πν e −δ r .(9.93)rПо условию задачи амплитуда смещения частиц на расстоянии r0 от источника равноAξ 0 (r0 ) = e −δ r0 ,(9.94)r0а в точке P на расстоянии r в η раз меньше:Aξ 0 (r ) = e −δ r = ξ 0 η .(9.95)rIII. Решая систему уравнений (9.94) и (9.95), получим искомый коэффициент затухания волны δ:⎛ r ⎞δ = ln⎜η 0 ⎟ (r − r0 ) .(9.96)⎝ r⎠Определим амплитуду колебаний скорости частиц среды вточке P, решая систему уравнений (9.93) и (9.94) с учетом найденного коэффициента затухания δ (9.95):Aξ (r )(9.97)υ0 (r ) = 2πν e −δ r = 2πν 0 0 .rηПодставляя в (9.96) и (9.97) численные значения физическихвеличин, заданные в задаче, окончательно получим:δ ≅ 0,08 м -1 ,υ0 (r ) ≅ 15 см/с .Глава 9.
Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты351Задача 9.4Амплитуда звуковой волны давлений ΔP0 = 10 Па. Найтисреднее значение потока энергии J, попадающего в ухо человека.Считать площадь уха, ориентированного перпендикулярно направлению распространения звуковой волны, s = 4 см2. Плотность воздуха в отсутствие волны ρ = 1,3 кг/м3, скорость звука в воздухеc = 334 м/с.РешениеI.
Для решения задачи используем декартову систему координат. В качестве модели волны смещений выберем плоскую гармоническую волну, распространяющуюся вдоль оси X выбраннойсистемы координат. Процесс распространения звуковой волны считаем адиабатическим.II. Среднее значение потока энергии J, падающего перпендикулярно поверхности уха площадью s, в соответствии с формулой(9.48) равно:(9.98)J = s w(t , x ) T c .Как следует из (9.45), объемная плотность энергии плоскойгармонической волны равна:w(t , x)=ξ 02 ρω 2(9.99).2Следовательно, для определения плотности потока энергиинеобходимо выразить амплитуду волны смещений ξ 0 через амплитуду волны давлений ΔP0 , заданную в условии задачи.Запишем закон распространения волны смещений (9.8):ξ (t , x) = ξ 0 cos(ωt − kx + ϕ0 ) .(9.100)В соответствии с (9.34) относительное изменение плотностивоздуха, вызванное распространением звуковой волны, равноΔρ= −ξ x′ ,(9.101)Tρгде ξ x′ находим, используя (9.100):ξ x′ = ξ 0 k sin(ωt − kx + ϕ0 ) .(9.102)При адиабатическом процессе распространения звуковойволны в газе относительные изменения плотности среды и давления связаны соотношением (см.
(9.33) и (9.36)):МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ352ΔPΔρ(9.103)=γ,ρPгде P и ρ – давление и плотность воздуха в отсутствие волны.Для определения амплитуды звукового давления воспользуемся также формулой (9.31) для скорости звуковой волны в воздухе:P(9.104)c2 = γ .ρIII. Решая систему уравнений (9.101) – (9.104), находим изменение давления воздуха, вызванное распространением в нем звуковой волны:(9.105)ΔP = −c 2 ρξ 0 k sin(ωt − kx + ϕ0 ) .Следовательно, амплитуда звукового давления равна:ΔP0 = c 2 ρξ 0 k = cρξ 0ω .(9.106)Среднее значение потока энергии J, падающего перпендикулярно поверхности уха площадью s, получаем подстановкой в(9.98) объемной плотности энергии волны (9.99) с учетом (9.106):ξ 2 ρω 2ΔP 2 ρω 2ΔP02=.(9.107)J = s w(t , x) T c = s 0c=s 0cs222cρ2(cρω )Подставив в (9.107) численные значения физических величин, заданных в условии задачи, окончательно получим:J = 4.6⋅10–5 Вт.Задача 9.5Точечный изотропно излучающий источник звука S находится на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через егоцентр P (см.
рис. 9.9).ρ+dρρRPα(ρ)LРис. 9.9SГлава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты353Расстояние между точкой P и источником S равно L = 1 м,радиус кольца – R = 0,5 м. Найти средний поток энергии через плоскую поверхность, ограниченную кольцом, если в точке P интенсивность звуковой волны I0 = 30 мкВт/м2. Затуханием волн пренебречь.РешениеI. Для решения задачи используем полярную систему координат с центром в точке P, являющейся центром кольца.Поскольку источник звука S является точечным и изотропноизлучающим, то он возбуждает сферическую волну, амплитуда которой изменяется обратно пропорционально расстоянию от источника (см.
(9.13)), а значит, интенсивность звуковой волны обратнопропорциональна квадрату расстояния от источника до точки наблюдения.II. Разобьем рассматриваемую поверхность на концентрические кольцевые зоны, заключенные между окружностями с радиусами ρ и ρ+dρ (0 ≤ ρ ≤ R) с центрами в точке P.Поскольку интенсивность сферической волны обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до точки наблюдения, то интенсивность волны, проходящей через кольцевую зонурадиусом ρ (см.
рис. 9.9), равна:L2I (ρ ) = I 0 2.(9.108)ρ + L2Поток энергии dJ через выделенную физически бесконечнотонкую кольцевую зону (см. рис. 9.9) в соответствии с определением интенсивности волны (см. п. 9.1.5), равен:LdJ = I ( ρ ) cos α ( ρ )2πρdρ = I ( ρ )2πρdρ .(9.109)2ρ + L2III.
Искомый поток энергии J через поверхность, ограниченную кольцом радиусом R, определим, интегрируя (9.109) с учетом (9.108):RJ = ∫ I (ρ )0RLρ +L222πρdρ = ∫ I 00(ρπL32+ L2)3( )d ρ2 =2МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ354⎛⎞⎜⎟1⎟.= 2 I 0πL ⎜1 −(9.110)2⎜⎟R+1 ⎟⎜L2⎝⎠Подставив в (9.110) численные значения расстояния L междуточкой P и источником S, радиуса кольца R и интенсивности звуковой волны I0 в точке P, окончательно получим:J = 20 мкВт.2Задача 9.6На оси X находятся приемник D и источник S звуковых гармонических волн с частотой νs = 2000 Гц.
Источник установлен натележке, совершающей гармонические колебания вдоль этой оси сугловой частотой ω и амплитудой А = 50 см. Скорость звукас =340 м/с. При каком значении ω ширина частотного интервалазвука, воспринимаемого неподвижным приемником, будет составлять Δν = 20 Гц?РешениеI. Задачу решаем в лабораторной системе отсчета, ось X декартовой системы координат которой направлена от источника кприемнику (см. рис. 6.1).
Поскольку в условии задачи не оговаривается иное, будем считать, что среда, вυsкоторой распространяется звуковаяволна, неподвижна относительно лабоcраторной системы отсчета.SDИзменения частоты звуковой волны, воспринимаемой неподвижнымXприемником, обусловлено эффектомРис. 9.10Доплера (см. п. 9.1.6).II. Ширина частотного интервала Δν звуковых волн, воспринимаемых приемником, определяется разностью максимальной иминимальной частот этих волн.В случае, когда источник приближается к приемнику, максимальная частота ν max регистрируемой неподвижным приемникомволны, в соответствии с (9.51), равнаcν sν max =,(9.111)c − υs 0Глава 9. Бегущие и стоячие волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
