В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Для этого сначаланайдем угловые скорости движения маятников, дифференцируя(8.193) и (8.194) по времени:AωAωα&1 (t ) = − 1 1 sin(ω1t + ϕ1 ) − 2 2 sin(ω2 t + ϕ 2 ) ,(8.195)22ω2 =ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания315A1ω1Aωsin(ω1t + ϕ1 ) + 2 2 sin(ω2 t + ϕ 2 ) .(8.196)221. В случае, когда оба маятника отклонили в одну сторону наодинаковый угол α 0 от положения равновесия в момент времениt = 0 и отпустили с нулевой начальной скоростью, начальные условия записываются в виде:α1 (t = 0) = α 0 , α 2 (t = 0) = α 0 ,(8.197)α&1 (t = 0) = 0 , α& 2 (t = 0) = 0 .(8.198)Воспользовавшись формулами (8.193) − (8.196) для параметров A1 , A2 и ϕ1 , ϕ 2 получаем:A1 = 2α 0 , A2 = 0 ,(8.199)ϕ1 = 0 , ϕ 2 = 0 .(8.200)При этом искомые законы движения маятников принимаютвид:gα1 (t ) = α 0 cost,(8.201)lα& 2 (t ) = −gt.(8.202)lКак видим, в первом случае задания начальных условий маятники колеблются по гармоническому закону с одинаковой частоgтой ω1 =, амплитудой α 0 и нулевой начальной фазой.l2.
Во втором случае, когда маятники отклонили в разныестороны на одинаковые углы α 0 от положения равновесия в момент времени t = 0 и отпустили с нулевой начальной скоростью,начальные условия имеют вид:α1 (t = 0) = α 0 , α 2 (t = 0) = −α 0 ,(8.203)α&1 (t = 0) = 0 , α& 2 (t = 0) = 0 .(8.204)Как и в первом случае начальных условий, воспользовавшисьформулами (8.193) − (8.196) для параметров A1 , A2 и ϕ1 , ϕ 2 получаем:A1 = 0 , A2 = 2α 0 .(8.205)ϕ1 = 0 , ϕ 2 = 0 .(8.206)При этом искомые законы движения маятников имеют вид:α 2 (t ) = α 0 cosМЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ316g 2ka 2+t,lml 2α1 = α 0 cos(8.207)g 2ka 2(8.208)t.+lml 2Как видим, во втором случае задания начальных условий маятники колеблются по гармоническому закону в противофазе сα 2 = −α 0 cosg 2ka 2+и амплитудой α 0 .lml 23. В случае, когда в начальный момент времени t = 0 одномуиз покоящихся в положении равновесия шариков сообщили начальную скорость υ 0 , направленную от положения равновесия,начальные условия записываются в виде:α1 (t = 0) = 0 , α 2 (t = 0) = 0 ,(8.209)одинаковой частотой ω2 =υ0, α& 2 (t = 0) = 0 .(8.210)lКак и в предыдущих случаях начальных условий, воспользовавшись формулами (8.193) − (8.196) для параметров A1 , A2 и ϕ1 ,ϕ 2 получаем:α&1 (t = 0) =A1 =ϕ1 =υ0glπ, A2 =, ϕ2 =υ02ka 2gl +m.(8.211)π.(8.212)22При этом искомые законы движения маятников принимаютвид:α1 =α2 =υ02 glυ02 glsingt+lsingt−lυ02ka 22 gl +mυ02ka 22 gl +msing 2ka 2+t,lml 2(8.213)sing 2ka 2+t.lml 2(8.214)ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания317Как видим, в третьем случае задания начальных условийдвижение маятников представляют собой суперпозицию двух гарgg 2ka 2и ω2 =.+llml 2Для анализа полученного решения законы движения маятников удобно записать в виде:α1 = C1 sin ω1t + C2 sin ω2t ,(8.215)α 2 = C1 sin ω1t − C2 sin ω2t ,(8.216)гдемонических колебаний с частотами ω1 =C1 =υ02 gl, C2 =υ02ka 22 gl +m.(8.217)mglчастоты ω12и ω2 оказываются близкими по величине (см.
(8.191) и (8.192))ω2 − ω1 << ω1 ,(8.218)а законы движения маятников (8.216) и (8.217) имеют вид:α1 (t ) = C1 (sin ω1t + sin ω2t ) + (C2 − C1 ) sin ω2t ≅При слабой связи между маятниками ka 2 <<⎛ ω + ω2 ⎞ ⎛ ω1 − ω2 ⎞≅ 2C1 sin ⎜ 1t ⎟ cos⎜t⎟ =⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ω⎛⎞= 2C1 cos⎜ биен t ⎟ sin ωt ,2⎝⎠α 2 (t ) = C1 (sin ω1t − sin ω2t ) − (C2 − C1 ) sin ω2t ≅(8.219)⎛ ω + ω2 ⎞ ⎛ ω1 − ω2 ⎞≅ 2C1 cos⎜ 1t ⎟ sin ⎜t⎟ =⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ω⎛⎞(8.220)= 2C1 sin ⎜ биен t ⎟ cos ωt ,2⎝⎠где введены обозначенияω + ω2ω= 1, ωбиен = ω2 − ω1 .(8.221)2Как видим, при слабой связи между маятниками движениемаятников носит характер биений и его можно представить как ко-МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ318лебания с частотой ω и медленно меняющейся амплитудой с пе2πωи частотой ν биен = биен .риодом Tбиен =ωбиен2πБиения – это периодическое изменение амплитуды колебаний, возникающее при сложении двух гармонических колебаний сблизкими частотами.На рис.
8.32 в качестве примера таких колебаний изображенывременные зависимости углов отклонения маятников приα1(t)ω2= 1,1 .ω1Tбиенtα2(t)tРис. 8.32Для сравнения на рис. 8.33 представлены временные зависимости углов отклонения маятников при сильно различающихсячастотахω2= 9 , что соответствует наличию сильной связи междуω1маятниками.Заметим, что при специальном выборе начальных условийвсе элементы системы колеблются по гармоническому закону с одной и той же частотой, при этом фаза и амплитуда колебаний различных элементов системы могут различаться (первые два случаязадания начальных условий в данной задаче).
Такие колебания и ихГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания319частоты называются нормальными (см. п. 9.1. Теоретический материал в Главе 9).α1(t)tα2(t)tРис. 8.33В общем случае при определенных начальных условиях возбуждаются все нормальные колебания (третий случай задания начальных условий в данной задаче).Задача 8.11(Свободные незатухающие колебания системыс двумя степенями свободы)Два шарика одинаковой массой m, соединенные нерастянутой пружинкой длиной l0 и жесткостью k, лежат на гладкой горизонтальной поверхности.
На один из шариков начинает действовать постоянная сила F, направленная вдоль оси пружинки. Определить законы движения шариков, а также закон изменения длиныпружинки l(t).РешениеI. Приложим силу F к переднему по направлению действиясилы шарику (см. рис. 8.34). Задачу решаем в лабораторной инерциальной системе отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью. Направим ось X декартовой системы координат вдоль направления действия силы и совместим начало отсчета с центромМЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ320масс системы тел «два шарика + пружинка» в начальный моментвремени (рис. 8.34).FупрOFупрx1x2FXРис. 8.34На шарики в процессе движения действуют силы упругостисо стороны пружинки, удовлетворяющие закону Гука (см.п. 2.1. Теоретический материал в Главе 2). Будем считать пружинкуневесомой и, следовательно (в соответствии со вторым и третьимзаконами Ньютона) силы упругости, приложенные к разным шарикам, равными по модулю. Уравнения движения шариков в проекции на ось X выбранной системы координат имеют вид:m&x&1 = k ( x 2 − x1 − l0 ) ,(8.222)m&x&2 = F − k ( x 2 − x1 − l0 ) ,(8.223)где x2 и x1 – координаты переднего и заднего (по направлению действия силы) шариков.Полученная система уравнений (8.222) – (8.223) являетсясистемой двух связанных дифференциальных уравнений второгопорядка, которую легко свести к двум независимым уравнениямдля длины пружинки l и координаты центра масс системы xцм :l (t ) = x2 (t ) − x1 (t ) ,(8.224)x (t ) + x1 (t )xцм (t ) = 2.(8.225)2Вычитая из (8.222) уравнение (8.223), получаем уравнениедля длины пружинкиm&l& = F − 2k (l − l0 ) .(8.226)Сделаем замену переменной l (t ) на z (t ) :Fl (t ) = z (t ) + l0 +.(8.227)2kПри этом уравнение (8.226) сводится к уравнению гармоническихколебаний (8.1):2k&z& +z=0.(8.228)mГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебанияРешение этого уравнения имеет вид:z = A cos(ω0t + ϕ 0 ) ,где угловая частота ω0 гармонических колебаний равна321(8.229)2k,(8.230)mа амплитуда A и начальная фаза ϕ 0 определяются начальными условиями, заданными в задаче:llx1 (t = 0) = − 0 , x2 (t = 0) = 0 ,(8.231)22x&1 (t = 0) = 0 , x& 2 (t = 0) = 0 .(8.232)В результате решения системы уравнений (8.224), (8.227),(8.231) и (8.232) получаем закон изменения длины пружинки:F(1 − cos ω0 t ) + l0 .(8.233)l (t ) =2kНа рис.
8.35 изображенаl (t )зависимость длины пружинки отвремени l(t). Как видим, пруFжинка в процессе движения ша- l0 +kриков находится в растянутомсостоянии, периодически меняясвою длину по гармоническомуl0закону от l0 (длины нерастянутой пружинки) до значенияt0T0FРис. 8.35l0 + .kСложение уравнений (8.222) и (8.223) с учетом выражениядля координаты центра масс (8.225) дает уравнение для ускоренияцентра масс:F.(8.234)&x&цм =2mРешение этого уравнения с учетом начальных условий (8.231),(8.232) имеет вид:Ft 2.(8.235)xцм (t ) =4mω0 =322МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПереходя от переменных l (t ) и xцм (t ) к координатам шариков с помощью (8.224) и (8.225) из (8.233) и (8.235) получаем законы движения шариков:l (t ) F 2l(8.236)x1 (t ) = xцм (t ) −=t − 1 + cos(ω0t ) − 0 ,24m2l (t ) F 2lx2 (t ) = xцм (t ) +=t + 1 − cos(ω0t ) + 0 .(8.237)24m2На рис.
8.36 изображеx (t )ны зависимости координатx 2 (t )шариков от времени. Как видим, движение шариков является суперпозицией равноусx1 (t )коренного движения с ускорением центра масс системыFи колебательного&x&цм =l0 / 22mдвижениясчастотой02kω0 =, при этом колеба- − l / 20mния шариков происходят впротивофазе.t0T0Заметим, что, если приРис.
8.36ложить силу F к заднему поотношению к ее направлению шарику, то пружинка в процесседвижения шариков находится в сжатом состоянии, периодическименяя свою длину по гармоническому закону от l0 до значенияFl0 − .k()()8.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1В бочке с жидкостью плотностью ρ в вертикальном положении плавает пробирка массой М.
В пробирку падает кусочек пластилина массой ò . Пролетев по вертикали расстояние h , он прилипает к дну пробирки. Пренебрегая трением, найти амплитудуГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания323колебаний пробирки, если площадь ее поперечного сечения равнаS.Ответ: A =m ⎛ m2mh ⎞⎜⎜⎟.+ρS ⎝ ρS M + m ⎟⎠Задача 2На тележке массой М закреплен горизонтальный стержень,по которому может без трения скользить муфта массой т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
