В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Моды и нормальные частоты355где υ s 0 – амплитуда скорости движения источника относительносреды, c – скорость распространения волны в среде.При движении тележки по гармоническому закону амплитудаее скорости, а, следовательно, и амплитуда скорости источника,равна:υs 0 = Aω .(9.112)В случае удаления источника от приемника частота ν min ,воспринимаемая приемником, будет минимальной и равнойcν sν min =.(9.113)c + υs 0III. Искомая ширина частотного интервала звука Δν, воспринимаемого неподвижным приемником, согласно (9.111) и (9.113)равна:cυ(9.114)Δν = ν max −ν min = 2ν s 2 s 0 2 .c − υs0Используя взаимосвязь амплитуды скорости источника с амплитудой его колебаний вместе с тележкой (9.112), получаем:cAωΔν = 2ν s 2.(9.115)c − A2ω 2Решая уравнение (9.115) относительно ω , находим ее величину:−ν c ± c ν s2 + (Δν )ω= s.(9.116)AΔνПоскольку частота колебаний является положительной величиной,то для частоты колебаний тележки окончательно получаем:2⎛⎞⎛ Δν ⎞νc ⎜⎟⎟⎟ − 1⎟ .ω = s ⎜ 1 + ⎜⎜(9.117)AΔν ⎜ν⎟⎝ s ⎠⎝⎠В соответствии с условием задачи Δν << ν s , следовательно(9.117) можно упростить, ограничиваясь в разложении квадратного22⎛ Δν ⎞⎟⎟ линейным члекорня в ряд по степеням малого параметра ⎜⎜⎝ νs ⎠ном ряда:МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ356cΔν.(9.118)2 Aν sПодстановка численных значений физических величин, заданных в задаче, дает:ω ≅ 3,4 рад/с .ω≅Задача 9.7В упругой однородной среде с плотностью ρ распространяются две плоские гармонические продольные волны смещений соскоростью c, одинаковыми амплитудами a и частотами ω , одна –вдоль оси X, другая – вдоль оси Y некоторой декартовой системыкоординат. Найти среднее значение плотности потока энергии результирующего волнового поля вдоль прямой y = x в плоскостиXY, считая одинаковыми начальные фазы колебаний частиц средыв начале координат, обусловленных каждой волной в отдельности.РешениеI. По условию задачи задана декартова система координат,вдоль осей X и Y которой распространяются две плоские продольные гармонические волны.II.
Запишем в соответствии с условием задачи законы распространения бегущих плоских продольных гармонических волнсмещений (в соответствии с (9.8)):ξ1 (t , x ) = ae x cos(ω t − kx + ϕ0) ,(9.119)ξ 2 (t , y ) = ae y cos(ω t − ky + ϕ0) ,(9.120)где e x и e y − единичные векторы вдоль осей X и Y, k =ω− волcновое число для обеих волн, ϕ 0 − начальные фазы колебаний частиц среды в начале координат, обусловленных каждой волной вотдельности.Определим амплитуду A результирующего волнового полясмещений вдоль прямой y = x в плоскости XY:ξ (t , x, y ) = ξ1 (t , x ) + ξ 2 (t , y ) == ae x cos(ωt − kx + ϕ 0 ) + ae y cos(ωt − ky + ϕ 0 ) == ae x cos(ωt − kx + ϕ0 ) + ae y cos(ωt − kx + ϕ 0 ) =()= a e x + e y cos(ωt − kx + ϕ 0 ) .(9.121)Глава 9.
Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты357Направим вспомогательную ось Γ вдоль прямой y = x вплоскости XY и обозначим единичный вектор вдоль этого направления как eγ . Поскольку e x + e y = 2eγ , тоξ = a 2eγ cos(ωt − kx + ϕ 0 ) = Aeγ cos(ωt − kx + ϕ 0 ) ,(9.122)где амплитуда волнового поля A вдоль оси Γ равна:A = 2a .(9.123)Подставляя в выражение (9.122) для смещения частиц средывдоль оси Γ соотношение координат вдоль осей X и Γ − x =γ2,получаем:⎛ ⎛⎞γ ⎞ξ = Aeγ cos⎜⎜ ω ⎜ t −(9.124)⎟ + ϕ 0 ⎟⎟ .2c ⎠⎝ ⎝⎠Как видим, волновое поле вдоль оси Γ можно интерпретировать как бегущую продольную волну смещений с амплитудой A(9.123) и скоростьюcγ = 2c .(9.125)Среднее значение плотности потока энергии волнового возмущения вдоль прямой y = x в соответствии с (9.48) можно записать в виде:A2 ρω 2I = S ( x, t ) T =cγ .(9.126)2III. Подставив в (9.126) амплитуду колебаний A (9.123) и скорость распространения волны cγ (9.125), получим искомое среднеезначение плотности потока энергии результирующего волновогополя вдоль прямой y = x в плоскости XY:I = 2a 2ρω 2c .(9.127)Задача 9.8Источник звуковых колебаний S с частотой ν 0 = 1700 Гц находится между плоским отражателем и приемником D (см.рис.
9.11). Источник и приемник неподвижны и расположены наодной и той же нормали к отражателю, который удаляется от источника со скоростью u = 6 см/с. Скорость звука с = 340 м/с. Найтичастоту биений, регистрируемых приемником.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ358DcSРис. 9.11ucXРешениеI. Выберем направление оси X декартовой системы координат, совпадающим с направлением движения отражателя, как показано на рис. 9.11. Приемник регистрирует суперпозицию двух звуковых волн: испущенной источником и отраженной от движущегося отражателя.II. При решении задачи воспользуемся формулой (9.51), связывающей частоты колебаний движущихся источника и приемниказвуковой волны:c − υdνd =νs ,(9.128)c − υsгде υ s и υ d – скорости движения источника и приемника относительно среды, c – скорость распространения волны в среде, ν s –частота излучаемой источником звуковой волны, ν d – частота волны, которую регистрирует детектор.
Все скорости направлены водну сторону.Частота волны, которую зафиксировал бы детектор, находящийся на движущемся отражателе, определяется в соответствии с(9.128) выражением:c − υdc −u=ν 0ν1 =ν 0.(9.129)ccСчитая, что отражатель не меняет частоту волны при отражении, запишем выражение для частоты волны, отраженной от отражателя и зарегистрированной неподвижным приемником согласно (9.128):cc−u=ν 0ν 2 =ν1.(9.130)c + υsc+uЗнак плюс в знаменателе формулы (9.130) обусловлен тем,что в этом случае скорость отражателя (источника отраженнойГлава 9.
Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты359волны) и скорость отраженной волны направлены в противоположные стороны.Для частоты биений (см. решение задачи 8.10 в Главе 8), возникающих в результате суперпозиции волны с частотой ν 0 , испущенной неподвижным источником, и волны с частотой ν 2 , отраженной от движущегося отражателя, запишем:ν биен = ν 0 −ν 2 .(9.131)III. Решая систему уравнений (9.130) и (9.131), находим искомую величину частоты биений:2uc−uν биен = ν 0 −ν 0.(9.132)=ν 0c+uc+uПодставляя в (9.132) заданные в условии задачи численныезначения физических величин, получим значение частоты биений,зарегистрированных приемником:ν биен = 0,6 Гц .Задача 9.9Стальная струна длиной L = 110 см, плотностью ρ = 7,8 г/см3и диаметром d = 1 мм натянута между полюсами электромагнита.При пропускании по струне переменного тока частотой ν = 256 Гцв ней возбуждается упругая поперечная волна, причем на длинеструны "укладывается" n = 5 полуволн.
Найти силу натяженияструны.РешениеI. Будем считать, что относительное изменение силы натяжения струны, вызванное упругой поперечной волной, пренебрежимомало (см. п. 9.1.4.Б). Задачу решаем в лабораторной системе отсчета, ось X декартовой системы координат которой направим вдольструны (см. рис. 9.12).L0Рис. 9.12XМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ360II. Запишем взаимосвязь скорости распространения упругихпоперечных волн в струне и силы натяжения струны (см.
(9.27) вп. 9.1.4.В)Tc=,(9.133)ρSгде площадь поперечного сечения струны S равна:πd 2S=.(9.134)4Для нахождения искомой силы натяжения струны необходимо определить скорость распространения упругих поперечныхволн в струне (см. (9.133)).По условию задачи на длине струны "укладывается" n полуволн:L=nλ.(9.135)2Частота колебаний и длина волны связаны соотношением:c(9.136)λ= .νIII. Решая систему уравнений (9.133) − (9.136), получим искомую силу натяжения струны:πd 2 L2ν 2 ρT=.(9.137)n2Подставляя численные значения заданных в условии задачифизических величин, входящих в (9.137), окончательно получим:T ≅ 77,7 Н .Задача 9.10Найти частоты ν n , на которых будет резонировать трубадлиной L = 1,7 м, закрытая с одного конца, если скорость звука ввоздухе равна c = 340 м/с.РешениеI.
Частоты, на которых будет резонировать труба, совпадаютс частотами нормальных колебаний частиц воздуха в трубе, образующих стоячие волны.Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты361Выберем декартову систему координат лабораторной системы отсчета, связанной с трубой, ось X которой направим вдольтрубы (см. рис.
9.13).L0XРис. 9.13II. Запишем уравнение стоячей волны (см. (9.53)):ξ (t , x) = C cos(kx + ψ 0 ) cos(2πνt + ϕ0 ) .(9.138)Поскольку у закрытого конца трубы частицы не испытываютсмещения из положения равновесия, то в любой момент времени:ξ (t ,0) = C cos(ψ 0 ) cos(2πνt + ϕ0 ) = 0 .(9.139)Частицы, находящиеся вблизи открытого конца трубы, испытывают одинаковое максимальное смещение из положения равновесия. При этом не происходит изменение плотности воздуха. Следовательно, в соответствии с (9.34), можно записать:∂ξ (t , x)Δρ=−= 0.(9.140)∂x x = Lρ x=LПодставляя результат дифференцирования (9.138) по x в(9.140), получим:∂ξ (t , x)= kC sin (kL + ψ 0 ) cos(2πνt + ϕ 0 ) = 0 .(9.141)∂x x = LIII.
Решая совместно систему уравнений (9.139) и (9.141) длялюбого момента времени, получим:⎛ 2πν ⎞(9.142)cos⎜L⎟ = 0 .⎝ c⎠Следовательно, искомые частоты нормальных колебанийчастиц воздуха в трубе, на которых резонирует труба, равны:cν n = (2n + 1), n = 1, 2, 3, ….(9.143)4LЗаметим, что такими же собственными частотами обладаетстержень, закрепленный с одного конца (см. табл. 9.1).362МЕХАНИКА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
