В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 36
Текст из файла (страница 36)
рис. 7.15).υ1υmrMr2r1υ2Рис. 7.15Известны наименьшее r1 и наибольшее r2 расстояния отспутника до центра планеты, а также модуль его скорости υ1 в наиболее близкой к планете точке траектории. Найти массу планетыM, а также радиусы кривизны траектории спутника и в наиболееблизкой R1 и наиболее удаленной R2 от планеты точках его траектории.РешениеI. Лабораторную систему отсчета, связанную с планетой, будем считать инерциальной. При дальнейшем рассмотрении будемсчитать спутник материальной точкой, а планету − сферическисимметричным телом. Движение спутника по эллиптической траектории происходит под действием одной силы – силы гравитационного взаимодействия (см. п. 2.1.2.А в Главе 2) спутника и планеты.
Поскольку эта сила является центральной (п. 3.1.2.А в Главе 3),то момент импульса спутника относительно оси, проходящей черезцентр планеты перпендикулярно плоскости траектории спутника, всоответствии с законом сохранения момента импульса механической системы относительно оси (см. п. 7.1.
Теоретический материал) не меняется со временем.Будем считать, что система тел «спутник + планета» являетсяизолированной, а центральные силы взаимодействия тел системы −Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии257потенциальны (п. 3.1.2.А в Главе 3). В этом случае можно воспользоваться законом сохранения механической энергии рассматриваемой системы (п.
7.1. Теоретический материал).II. Запишем закон сохранения момента импульса спутникаотносительно оси, проходящей через центр планеты перпендикулярно плоскости траектории спутника (см. рис. 7.15), для моментоввремени нахождения спутника на минимальном r1 и максимальномr2 расстоянии от планеты:r2 mυ 2 − r1mυ1 = 0 ,(7.89)где υ 2 − модуль скорости спутника при максимальном удалении отпланеты. При записи (7.89) было учтено, что скорость υ и радиусвектор r спутника относительно центра планеты в рассматриваемые моменты времени взаимно перпендикулярны. Заметим, что востальные моменты времени угол между скоростью υ и радиусвектором r не равен π / 2 (рис.
7.15).Запишем закон сохранения механической энергии системытел «спутник + планета» для моментов времени нахождения спутника на минимальном r1 и максимальном r2 расстоянии от планеты:mυ 22mυ12+ E2p −− E1p = 0 .(7.90)22Здесь E1p и E2p − потенциальные энергии системы тел «спутник + планета» в рассматриваемые моменты времени.Определим потенциальную энергию системы при произвольном расстоянии r между спутником и центром планеты.Выберем ноль отсчета потенциальной энергии, соответствующий положению спутника на физически бесконечно большомрасстоянии от планеты.
Тогда в соответствии с определением потенциальной энергии механической системы (см. (3.32) в Главе 3)можно записать:∞mMmMd r = −G.(7.91)2rrrСледовательно, потенциальная энергия системы тел «спутник + планета» в моменты нахождения спутника на минимальномr1 и максимальном r2 расстоянии от планеты равна:mM,(7.92)E1P = −Gr1E = ∫−GpМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ258mM.(7.93)r2Для определения радиуса кривизны траектории спутника запишем уравнение его движения в проекции на нормальную ось,направленную к центру кривизны траектории перпендикулярноскорости спутника, в рассматриваемые моменты времени:mMυ2m 1 =G 2 ,(7.94)R1r1E2P = −Gυ 22mM.(7.95)R2r22III.
Решая записанную в п. II систему уравнений(7.89) − (7.95) получаем искомое выражения для массы планеты⎛r ⎞υ2M = 1 (r2 + r1 )⎜⎜ 1 ⎟⎟(7.96)2G⎝ r2 ⎠m=Gи радиусов кривизны траектории в рассматриваемые моменты времениrrR1 = R2 = 2 1 2 .(7.97)r1 + r2Заметим, что обе искомые физические величины не зависятот массы спутника, что дает возможность нахождения массы планеты, исходя из измерений только кинематических характеристикспутника.7.3.2.
Гироскопы. Гироскопические силыЗадача 7.7Электродвигатель закреплен на подставке так, что его ось иобщий центр масс находятся посередине между опорами подставки, расстояние между которыми равно l. Двигатель с подставкойпоставили на гладкую горизонтальную поверхность. Найти силыдавления опор подставки на поверхность, если после включенияротор двигателя раскручивается с угловым ускорением β вокругего геометрической оси, а его момент инерции относительно этойоси равен J. Масса двигателя с подставкой равна m.Глава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии259РешениеI. Задачу решаем в лабораторнойсистеме отсчета. Ось Z декартовой сисZтемы координат направим вертикальновверх. Ось, относительно которой записываем моменты сил и импульса тел,выберем совпадающей с геометрической осью ротора и направленной за F1F2плоскость чертежа (см. рис. 7.16).При включении электродвигателямомент сил, действующих на ротор состороны статора, закрепленного наРис. 7.16подставке, изменяет момент импульсаротора.
В соответствии с третьим законом Ньютона такой же повеличине момент сил действует со стороны ротора на статор с подставкой. При этом на подставку действуют также моменты сил реакции со стороны поверхности, на которой она находится. Подставка с закрепленным на ней статором остается в покое, поэтомусуммарный момент всех внешних сил, действующих на них относительно произвольно выбранной оси, равен нулю.II. Для ротора двигателя запишем уравнение моментов относительно выбранной оси:dL=M,(7.98)dtгде L − момент импульса ротора относительно оси его вращения.Поскольку момент силы тяжести относительно оси ротораравен нулю, суммарный момент внешних сил M равен моментусил, действующих на ротор со стороны статора с подставкой.Условия равновесия для статора и подставки запишем в следующем виде:ll− M + F1 − F2 = 0 ,(7.99)22F1 + F2 − mg = 0 .(7.100)где F1 и F2 – силы, действующие на подставку со стороны поверхности (см.
рис. 7.16).Момент импульса ротора, вращающегося с угловой скоростью ω относительно своей геометрической оси, равен(7.101)L = Jω .МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ260В соответствии с определением углового ускорения запишем:dω.(7.102)β=dtВ результате получена полная система уравнений для нахождения сил, действующих на подставку со стороны поверхности. Всоответствии с третьим законом Ньютона эти силы равны по величине искомым силам, действующим со стороны подставки на поверхность.III. Решая полученную систему уравнений (7.98) – (7.102) относительно F1 и F2, получаем:mg JβF1 =+,(7.103)2lmg JβF2 =−.(7.104)l2mglЗаметим, что при угловом ускорении ротора β ≥правая2Jопора подставки двигателя отрывается от поверхности.Задача 7.8Массивный цилиндрический каток (бегун) массой m, который может вращаться вокруг своей геометрической оси, приведенво вращение вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω и катится без скольжения по горизонтальной опорной плите(см.
рис. 7.17).m, J0ωrРис. 7.17Радиус катка r. Момент инерции катка относительно геометрической оси равен J0. Вычислить полную силу давления катка наопорную плиту.Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии261РешениеI. Выберем оси декартовой системы координат так, как показано на рис. 7.18. Каток участвует в двух движениях – вращениивокруг вертикальной оси Z с угловой скоростью ω и вокруг собственной геометрической оси AA' с угловой скоростью ω1. Направления угловых скоростей показаны на рис. 7.18.
Неподвижной остается точка крепления катка к вертикальной оси – точка C.ZACRωA'mgYω1NXРис. 7.18На каток действуют сила тяжести mg, сила реакции опоры Nи сила реакции со стороны вертикальной оси, приложенная в точкеС (не изображенная на рис. 7.18). Будем считать стержень, с помощью которого каток крепится к вертикальной оси, невесомым. Поусловию задачи цилиндрический каток движется без проскальзывания, это означает, что толщина катка существенно меньше расстояния R от катка до вертикальной оси вращения. Трением качения, возникающим при неупругих деформациях, пренебрегаем. Поусловию задачи требуется найти полную силу давления катка наопорную плиту, которая в соответствии с третьим законом Ньютона равна по модулю силе нормальной реакции опорной плиты N,действующей на каток.II.
Отличные от нуля моменты относительно точки C имеютдве силы – сила тяжести M mg и сила нормальной реакции со стороны горизонтальной поверхности M N . Запишем уравнение моментов для катка относительно точки C крепления катка к вертикальной оси:dL= M N + M mg .(7.105)dtМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ262При качении катка по горизонтальной поверхности происходит постоянное изменение направления его оси, что определяетизменение направления вектора момента имω1Lxyпульса. Горизонтальная составляющая момента импульса LXY (см.
рис. 7.19) повора- ωчивается вокруг оси Z (см. рис. 7.20), а вертикальная составляющая LZ остается неизLzLменной:Рис. 7.19dL = dLXY + dLZ = dLXY .(7.106)Lxy(t)ZLxy(t)dαdLxyLxy(t+dt)Lxy(t+dt)Рис. 7.20Моменты силы тяжести M mg и силы нормальной реакцииопорной плиты M N относительно точки C направлены в противоположных направлениях вдоль оси Y (см. рис. 7.18). Следовательно, для величины скорости изменения горизонтальной составляющей момента импульса LXY с учетом (7.105) и (7.106) можно записать:dLXY(7.107)= M N + M mg = RN − Rmg .dtПоскольку составляющая момента импульса LXY направленавдоль собственной геометрической оси катка AA', то в соответствии с формулой (6.30) Главы 6:LXY = J 0ω1 .(7.108)В соответствии с условием задачи качение происходит безпроскальзывания, следовательно, скорости точек катка, соприкасающихся с горизонтальной поверхностью, равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
