В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 33
Текст из файла (страница 33)
6.1 Теоретический материал в Главе 6.вращениядановМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ234где ri – радиус-векторы материальных точек, из которых состоиттело, относительно закрепленной точки этого тела. Если восполь22зоваться математическим соотношением [ab] = a 2 b 2 − (ab ) , то:2112E k = ∑ mi [ωri ] = ∑ mi ω 2 ri2 − (ωri ) =2 i2 i()2⎛⎞1⎜ ω 2 r 2 − ⎛⎜ ω x ⎞⎟ ⎟ =m∑∑α iα ⎟ ⎟i⎜∑ α i⎜2 i⎝α⎠ ⎠⎝α⎛⎛⎞⎞1= ∑ mi ⎜ ⎜ ∑ δ αβ ωα ω β ⎟ri2 − ∑ ωα xiα ω β xiβ ⎟ =⎟⎜ ⎜ α ,β⎟2 iα ,β⎠⎝⎝⎠⎫1 ⎧1= ∑ ⎨∑ mi δ αβ ri2 − xiα xiβ ⎬ωα ωβ = ∑ J αβ ωα ωβ ,2 α ,β ⎩ i2 α ,β⎭=(Ek =1∑ Jαβ ωα ωβ .2 α ,β(Здесь J αβ = ∑ mi δαβ ri2 − xiα xiβ)(7.13))– тензор инерции тела, характе-iризующий распределение массы тела относительно точки; δαβ –символ Кронекера.Кинетическая энергия абсолютно твердого тела закрепленного на оси:1E k = J nω 2 ,(7.14)2где J n – момент инерции тела относительно оси.В данной главе рассматриваются системы, состоящие из совокупности абсолютно твердых тел и материальных точек.
Этисистемы являются частными случаями механической системы, длякоторой в Главе 3 сформулированы законы изменения и сохранения механической энергии.Закон изменения механической энергии системы – изменение механической энергии системы равно работе внутреннихГлава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии235Fi np,in и внешних Fi np,ex непотенциальных сил4:()dE = − δAnp,in + δAnp, ex = δAnp ,(7.15)или для конечного интервала времениΔE = ΔAnp .(7.16)Закон сохранения механической энергии системы – еслиработа всех непотенциальных сил равна нулю, то механическаяэнергия системы относительно инерциальной системы отсчета сохраняется:ΔE ≡ E (t2 ) − E (t1 ) = 0илиE (t1 ) = E (t2 ) .(7.17)ГироскопыГироскоп – это аксиально-симметричное тело, вращающеесяс большой угловой скоростью ω вокруг своей оси симметрии (см.рис.
7.1).ΩdtLωΩOϑdLMmgРис. 7.1. Гироскоп в поле сил тяжестиПрецессия гироскопа – вращение оси симметрии гироскопас угловой скоростью Ω под действием момента внешних сил наряду с его собственным вращением вокруг оси симметрии (см.рис. 7.1).4Определение механической энергии системы, внутренних ивнешних непотенциальных сил даны в п. 3.1 Теоретический материал вГлаве 3.236МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОсновные физические допущения элементарной теории гироскопа:- угловая скорость вращения гироскопа и его момент импульса направлены вдоль оси симметрии гироскопа;- величина угловой скорости вращения гироскопа вокругсвоей оси ω гораздо больше величины угловой скорости прецессии Ω .В рамках принятых допущений момент импульса гироскопаL равенL = J zω ,(7.18)а уравнение моментов (6.38) относительно его неподвижной точкиO (см.
рис. 7.1) имеет вид:dL=M,(7.19)dtгде Jz – момент инерции гироскопа относительно своей оси симметрии, M – сумма моментов внешних сил (в том числе силы тяжести), действующих на гироскоп.В соответствии с (7.19) ось гироскопа вместе с моментом Lпрецессирует вокруг вертикального направления с угловой скоростью Ω .На рис.
7.1 видно, что:dL = L sin ϑ ⋅ Ωdt ,(7.20)dL = [ΩL]dt .(7.21)Следовательно, прецессия гироскопа описывается уравнением:dL= [ΩL] .(7.22)dtС учетом уравнения моментов (7.19) для гироскопа получим:M = [ΩL] = J z [Ωω] .(7.23)Заметим, что момент импульса определяет угловую скорость,а не ускорение прецессии, т.е. прецессионное движение являетсябезинерционным!Гироскопические силы – силы, действующие на крепление(рамку, подшипник, руки экспериментатора и т.д.) несвободногогироскопа при вынужденном вращении оси (вынужденной прецессии) гироскопа.Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии237В соответствии с третьим законом Ньютона на креплениедействует момент гироскопических сил:M г = − M = −[ΩL] = − J z [Ωω] .(7.24)Правило Н.Е.
Жуковского – гироскопические силы стремятся совместить момент импульса гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота.7.2. Основные типы задач и методы их решения7.2.1. Классификация задачБольшинство задач, относящихся к теме "Законы сохранениямомента импульса и механической энергии. Гироскопы. Гироскопические силы" можно условно отнести к следующим типам задачили их комбинациям. Задачи на1) законы сохранения момента импульса и механическойэнергии системы (в том числе включающей в себя абсолютно твердые тела),2) гироскопы и гироскопические силы.7.2.2.
Общая схема решения задачI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета (из соображений удобства), относительно которой будут рассматриваться законы сохранения (изменения) механической энергии и момента импульса механической системы, изобразить на чертеже еесистему координат, а также точку (ось), относительно которой записываются моменты импульсов и сил.3. Изобразить и обозначить силы и необходимые кинематические характеристики системы.4. Выбрать механическую систему и рассматриваемый интервал (начальный и конечный моменты) времени.5.
Выбрать модели тел (если это не сделано в условии задачи)и рассмотреть особенности их движения на рассматривае-238МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧмых интервалах времени (непосредственно перед соударением, сразу после соударения, и т.д.).6. Провести анализ действующих на тела системы сил и ихмоментов относительно выбранной точки (оси) вращения.II. Записать полную систему уравнений по отношению к искомым величинам.1. Выбрать законы сохранения (изменения) и записать их ввыбранной системе отсчета для выбранной механическойсистемы и выбранных интервалов времени в рамках выбранной модели движения тел системы.2.
Записать выражения для моментов сил, моментов инерциии импульса тел и механической энергии системы тел сучетом характера их движения.3. Записать уравнения кинематической связи.4. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.7.3. Примеры решения задач7.3.1.
Законы сохранениямомента импульса и механической энергииЗадача 7.1Вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку закрепления математического маятника массой m и длиной l, может вращаться без трения однородный стержень массой M и длиной L ≥ l,шарнирно закрепленный в той же точке (см. рис. 7.2).
Маятник отпускают из горизонтального положения. Найти максимальный уголотклонения стержня αmax после абсолютно упругого соударения cмаятником.Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии239РешениеI. Выберем лабораторную инерциmπ/2 lальную систему отсчета, жестко связанную с точкой подвеса математическогомаятника и стержня. Направим горизонтальную ось вращения за плоскость чер- M, Lтежа (см. рис.
7.2).Выберем четыре момента времени:Рис. 7.2t1 – момент начала движения математического маятника, t2 – момент непосредственно перед соударениеммаятника со стержнем, t3 – момент сразу после соударения, t4 – момент, соответствующий максимальному отклонению стержня. Втечение временного интервала (t1, t2) сохраняется механическаяэнергия математического маятника.
В промежутке времени (t2, t3)сохраняются механическая энергия и момент импульса системытел «маятник + стержень». Импульс системы тел в этом промежутке не сохраняется, поскольку в точке подвеса стержня во время соударения возникают дополнительные силы, импульс которых отличен от нуля. В промежутке времени (t3, t4) сохраняется механическая энергия стержня вследствие отсутствия сил трения.Потенциальные энергии математического маятника и стержня будем считать равными нулю при их вертикальной ориентации.II.
Запишем закон сохранения механической энергии (7.17)для математического маятника на интервале времени (t1, t2):2J1ω1mgl =.(7.25)2Здесь mgl – потенциальная энергия маятника в его исходном гори2J1ω1– кинетиче2ская энергия маятника непосредственно перед соударением (в момент времени t2), J1 – момент инерции маятника относительно осивращения, ω1 – его угловая скорость перед соударением.Для временного интервала (t2, t3) закон сохранения моментаимпульса (7.4) и механической энергии (7.17) для системы тел «маятник + стержень» имеют вид:J1ω1 = J 2ω2 + J1ω3 ,(7.26)зонтальном положении (в момент времени t1),МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ240222JωJ1ω1Jω(7.27)= 2 2 + 1 3 ,222где J2 – момент инерции стержня, ω2 и ω3 – угловые скорости вращения стержня и маятника сразу после соударения.Запишем также закон сохранения механической энергии(7.17) для стержня на интервале времени (t3, t4):2J 2ω2MgL(1 − cos α max ) .=(7.28)22Моменты инерции маятника J 1 и стержня J 2 относительновыбранной оси вращения равны:J1 = ml 2 ,(7.29)1J 2 = ML 2 .(7.30)3III. Решая систему уравнений (7.25) – (7.30) относительно искомого максимального угла отклонения стержня, получаем:⎛⎞⎜⎟⎜⎟L⎟24α max = arccos⎜1 −⋅.(7.32)2⎜ ⎛⎟2l⎞⎜ ⎜ 3 + M ⎛⎜ L ⎞⎟ ⎟⎟⎟⎜ ⎜⎟ml⎝⎠⎠⎝ ⎝⎠Поскольку α max не может превышать π / 2 , то на соотношения масс M / m и длин L / l стержня и математического маятниканакладывается условие:24L⋅ <1,(7.33)22⎛⎞ lML⎞⎛⎜3 + ⎜ ⎟ ⎟⎜m ⎝ l ⎠ ⎟⎠⎝при нарушении которого стержень ударится о потолок.На рис.
7.3 изображены области значений отношений длин имасс маятника и стержня, при которых максимальный угол отклонения стержня в результате соударения с математическим маятником меньше или равен π / 2 . Кривая, изображенная на рис. 7.3 соответствует значениям отношений длин l / L и масс m / M маятника и стержня, при которых стержень принимает горизонтальноеположение, не соударяясь с потолком. Область значений отноше-Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии241ний длин и масс, расположенная выше изображенной кривой, соответствует случаю соударения стержня с потолком.l/L10.8α max = π / 20.60.4α max < π / 20.2000.40.8 1.2m/M1.62Рис.
7.3На рис. 7.4 изображены зависимости максимального угла отклонения стержня после соударения от отношения длин маятника истержня α max (l / L ) при различных значениях отношения их масс(m / M ) .α max ,°90m/M = 210,5600,30,130000.20.40.60.81l/LРис. 7.4Как видим, при увеличении отношения длин маятника истержня максимальный угол отклонения стержня возрастает, при-МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ242чем скорость возрастания увеличивается с увеличением отношениямасс маятника и стержня.На рис. 7.5 изображены зависимости максимального угла отклонения стержня после соударения от отношения масс маятника истержня α max (m / M ) при различных значениях отношения их длин(l / L) .α max ,°90l/L = 10,30,5600,2300,1000.40.8 1.2m/M1.62Рис.
7.5Как видим, при увеличении отношения масс маятника истержня максимальный угол отклонения стержня возрастает, причем скорость возрастания увеличивается с увеличением отношениядлин маятника и стержня.⎛⎞⎜⎟⎜⎟L⎟24⋅.Ответ: α max = arccos⎜1 −⎜ ⎛2 2 l ⎟⎞⎜ ⎜ 3 + M ⎛⎜ L ⎞⎟ ⎟⎟⎟⎜ ⎜⎟ml⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎝⎠Задача 7.2На гладкой горизонтальной поверхности лежат небольшаяшайба массой m и тонкий однородный стержень длиной L и массойM. Шайбе сообщили скорость υ в горизонтальном направленииперпендикулярно стержню (см. рис. 7.6). Шайба абсолютно упругосоударяется со стержнем в точке B на расстоянии l от его центра(точка O).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
