В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 28
Текст из файла (страница 28)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ194L = L′ = J 0ω .(6.32)Здесь J 0 – тензор инерции абсолютно твердого тела относительноего центра масс.Следовательно, выражение для момента импульса механической системы относительно неподвижной точки в лабораторнойсистеме отсчета равен:L = Lцм + J 0ω .(6.33)Момент импульса Ln механической системы относительно некоторой оси – проекция на эту ось момента импульса относительно произвольной точки, лежащей на данной оси:Ln = (nL ) ,(6.34)где n – единичный вектор, задающий направление оси.Найдем связь между моментом импульса тела Ln относительно некоторой оси в заданной системе отсчета и моментом импульса тела L0, n относительно оси, проходящей через центр масс ипараллельной заданной оси, в системе отсчета, связанной с центром масс. Умножая скалярно на единичный вектор n левую иправую части соотношения L = Lцм + L0 , получаем:Ln = Lцм, n + L0, n ,(6.35)где Lцм, n – момент импульса центра масс тела относительно заданной оси в лабораторной системе отсчета.Точка приложения силы – материальная точка, на которуюдействует сила.Момент силы относительно точки M – векторное произведение радиус-вектора r точки приложения силы на силу F :M = [rF ] .(6.36)Момент силы относительно оси M n – проекция на эту осьмомента силы относительно произвольной точки, лежащей на данной оси:M n = (nM ) .(6.37)Глава 6.
Кинематика и динамика абсолютно твердого тела195Равнодействующая силВ ряде случаев, когда несколько сил действует на абсолютнотвердое тело, их действие можно заменить действием одной равнодействующей силы. Это возможно, поскольку движение абсолютнотвердого тела определяется в общем случае совокупностью двухуравнений – уравнением движения центра масс тела и уравнениеммоментов относительно некоторой точки, неподвижной относительно инерциальной системы отсчета.Понятие равнодействующей силы можно ввести только длясовокупности сил, действующих на абсолютно твердое тело, еслисумма этих сил не равна нулю и если существует точка пространства, относительно которой сумма моментов действующих на телосил равна нулю.Равнодействующая Fp совокупности сил {Fi } , действую-щих на абсолютно твердое тело, – сила, равная сумме этой совокупности сил Fp = ∑ Fi ; точка приложения равнодействующейiсилы совпадает с точкой, относительно которой сумма моментовэтих сил равна нулю.
Точка приложения равнодействующей силыне обязательно должна совпадать с одной из материальных точектела, на которое действует совокупность сил.Под силой инерции, действующей на произвольно движущееся абсолютно твердое тело, в дальнейшем понимается равнодействующая сил инерции для материальных точек этого тела(см. Главу 4) в неинерциальной системе отсчета, которая движетсяпоступательно относительно инерциальной системы отсчета. Вэтом случае равнодействующая сил инерции приложена к центрумасс тела.Центр тяжести тела – точка приложения равнодействующейсил тяжести, действующих на материальные точки этого тела приего произвольной ориентации в однородном поле сил тяжести (например, вблизи земной поверхности).
Центр тяжести тела определяется только распределением массы в этом теле и может не совпадать ни с одной из материальных точек данного тела.Уравнения движения абсолютно твердого тела – уравнение движения центра масс (см. Главу 3) и уравнение моментов дляэтого тела относительно инерциальной системы отсчета.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ196Уравнение моментов (закон изменения момента импульса) для механической системы относительно точки – скоростьизменения момента импульса системы L относительно данной точки в инерциальной системе отсчета равна сумме моментов внешних сил M ex , действующих на систему:dL= M ex ,(6.38)dtгде M ex = ∑ M iex = ∑ ri Fi ex .[i]iУравнение моментов (закон изменения момента импульса) для механической системы относительно неподвижной оси– скорость изменения момента импульса системы Ln относительноданной оси в инерциальной системе отсчета равна сумме моментоввнешних сил M nex , действующих на систему:dLn= M nex .(6.39)dtМомент инерции тела относительно оси – физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек, изкоторых состоит тело, на квадрат расстояния их до оси:J = ∑ mi ri2 .(6.40)iВ случае непрерывного распределения в пространстве массытела, расчет момента инерции тела сводится к вычислению интеграла:J = ∫ r 2 dm = ∫ r 2 ρdV ,(6.41)Vгде r – расстояние от элемента тела объемом dV и массой dm , ρ– плотность тела.Теорема Гюйгенса − Штейнера – момент инерции тела Jотносительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела J 0 относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:J = J 0 + ma 2 .(6.42)Глава 6.
Кинематика и динамика абсолютно твердого тела197Вычислим моменты инерции однородных тонкого стержня,цилиндра и шара относительно осей, проходящих через их центрымасс.Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню, в соответствиис (6.41) равен:l/2J ст =∫x2− l/2ml 2mdx =,12l(6.43)где m − масса стержня, l − его длина, x − декартова координата материальной точки стержня с началом отсчета в центре стержня.Момент инерции однородного цилиндра (диска) относительно его оси в соответствии с (6.41) равен:L/2 R 2πJц =∫∫2∫ r ρrdϕdrdz =− L/2 0 0mR 2,2(6.44)где m, R и L − масса, радиус и длина цилиндра, r и z − цилиндрические координаты материальной точки цилиндра.Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр, в соответствии с (6.41) равен:π R 2πJш = ∫ ∫2∫ (r sin ϑ ) ρr sinϑdϕdrdϑ = 5 mR222,(6.45)0 0 0где m и R − масса и радиус шара, r, ϕ и ϑ − сферические координаты материальной точки шара.Плоское движение абсолютно твердого телаЕсли в качестве оси вращения выбрать ось n , проходящуючерез центр масс абсолютно твердого тела, то его уравнениямидвижения будут:- уравнение движения центра масс (см.
Главу 3)maцм = F ex ;(6.46)- уравнение моментов относительно оси n , проходящей через центр массdωJ 0, n= M 0,exn .(6.47)dt198МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗдесь m – масса тела, aцм – ускорение центра масс тела, F ex –сумма всех внешних сил, действующих на тело, J 0, n – моментинерции тела относительно оси, проходящей через центр масс иперпендикулярной плоскости движения, ω – угловая скоростьexвращения тела относительно этой оси, M 0,n– сумма моментоввнешних сил, действующих на тело, относительно той же оси.Вращательное движение абсолютно твердого телаВ случае вращательного движения абсолютно твердого телавокруг неподвижной относительно инерциальной системы отсчетаоси уравнением движения тела будет уравнение моментов дляэтого тела относительно данной оси, которое принимает вид:dωJn= M nex ,(6.48)dtгде J n – момент инерции тела относительно оси, ω – угловая ско-рость вращения тела, M nex – сумма моментов внешних сил, действующих на тело.Заметим, что при рассмотрении плоского движения абсолютно твердого тела в ряде случаев удобно записывать уравнение моментов (6.45) относительно неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения.6.2.
Основные типы задач и методы их решения6.2.1. Классификация задач кинематики и динамикиабсолютно твердого телаБольшинство задач кинематики и динамики твердого теламожно условно отнести к следующим типам задач или их комбинациям.1. Кинематика абсолютно твердого тела:а) определение линейной скорости некоторой точки твердоготела,б) определение угловой скорости вращения для плоскогодвижения твердого тела,в) определение мгновенной оси вращения при плоском движении,Глава 6.
Кинематика и динамика абсолютно твердого тела199г) определение угловой скорости вращения твердого тела присложном (не плоском) движении твердого тела.2. Динамика абсолютно твердого тела:а) определение углового ускорения при плоском движениитвердого тела,б) определение ускорения центра масс твердого тела при одновременном вращательном и поступательном плоском движениитвердого тела,в) определение сил взаимодействия между твердыми теламипри их движении (силы трения, силы упругости).6.2.2. Общая схема решения задач кинематики и динамикиабсолютно твердого телаI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1.
Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат, а также точку (ось), относительно которой будет рассматриваться вращение тела (из соображений удобства).3. Изобразить и обозначить на чертеже все необходимые силы и кинематические характеристики системы.4. Выбрать модели тел (если это не сделано в условии задачи)и рассмотреть особенности их движения.5.
Провести анализ действующих на тела системы сил и ихмоментов относительно выбранной точки (оси) вращения.II. Записать полную систему уравнений по отношению к искомым величинам.1. Записать уравнения движения для тел системы в выбранной системе отсчета.2.
Записать уравнения моментов для тел системы относительно выбранных осей.3. Записать законы, описывающие индивидуальные свойствасил.4. Записать моменты сил, действующих на тела системы.5. Записать моменты инерции тел относительно выбранныхосей вращения.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2006.
Записать уравнения кинематической связи.7. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.Примечание.В задачах на кинематику движения абсолютно твердого телап. I.5 и пп.
II.1 – II.5 можно опустить.6.3. Примеры решения задач6.3.1. Кинематика абсолютно твердого телаЗадача 6.1Колесо радиусом R катится с проскальзыванием по горизонтальной поверхности. Модуль скорости верхней точки обода колеса А, лежащей на вертикальном диаметре, равен υ A . Модуль скорости точки обода колеса B, лежащей на горизонтальном диаметре,равен υ B = 5υ A . Определить угловую скорость вращения колеса ω ,скорость движения его центра υ 0 и положение мгновенной осивращения колеса M (рис. 6.5).AυAy0Oυ0 ByMMYωα0ωRυ0αυBXРис. 6.5Глава 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
