В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В системе отсчета S',связанной с движущимся стержнем, угол между стержнем и на-МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ164правлением его движения составляет ϕ0 = 45° (рис. 5.7). Найтидлину стержня l и угол его наклона ϕ в системе S.YSY'S'Vl0ϕ0XX'Рис. 5.7РешениеI.
Поскольку в соответствии с условием задачи, необходимоопределить длину стержня в системе отсчета S, определим следующие два события – А и В. Эти события состоят в том, что одновременно измерены положения двух концов стержня в системе S.Пусть пространственно-временные координаты этих событий всистеме отсчета S равны ( x1 , y1 , t1 ) и ( x 2 , y2 , t2 ), причем t1 = t2 . Всистеме отсчета S' события А и В происходят не одновременно, ихпространственно-временные координаты равны соответственно( x1′ , y1′ , t1′ ) и ( x 2′ , y2′ , t2′ ).II.
Собственная длина стержня (длина стержня в неподвижной относительно него системе отсчета S') равна:222l0 = (Δx′) + (Δy′) .(5.44)Интервалы Δx′ и Δy ′ связаны с собственной длиной стержняl0 и углом его наклона ϕ0 в системе отсчета S' следующими соотношениями:Δx′ = l0 cos ϕ 0 и Δy′ = l0 sin ϕ 0 .(5.45)Поскольку события A и B происходят одновременно в системе отсчета S, для определения длины стержня в системе отсчета Sвоспользуемся следствием преобразований Лоренца – "сокращением длины" (см. п.
5.1.3). Согласно (5.7):1(5.46)Δx = Δx′ .γГлава 5. Кинематика в теории относительности165При этом в соответствии с преобразованиями Лоренца (5.4)сокращение интервала Δy между координатами y1 и y2 наблюдаться не будет: Δy = Δy′ .Длина стержня l определяется его проекциями на оси системы отсчета S:22l 2 = (Δx ) + (Δy ) .(5.47)Угол наклона стержня в системе S связан с интервалами Δxи Δy следующим образом:⎛ Δy ⎞(5.48)⎟.⎝ Δx ⎠III. Подставив в формулу (5.47) соотношения (5.45) и (5.46),получим длину стержня в системе отсчета S:ϕ = arctg⎜cos 2 ϕ 02⎛V ⎞= l0 1 − ⎜ ⎟ cos 2 ϕ 0 .(5.49)2γ⎝c⎠Воспользовавшись соотношениями (5.46) и (5.48) получимугол наклона стержня в той же системе отсчета:⎛⎞1⎛ γΔy′ ⎞ϕ = arctg⎜tg ϕ 0 ⎟ .(5.50)⎟ = arctg⎜⎜ 1 − (V / c )2⎟⎝ Δx′ ⎠⎝⎠Подставив в (5.49) и (5.50) заданные в условии задачи значения l0 и V, получим численные значения искомых величин:l ≈ 0,935 м , ϕ ≈ 49° .(5.51)l = l0 sin 2 ϕ 0 +Задача 5.6(Преобразования Лоренца или их следствия)Космический корабль летит со скоростью V = 0,6с от одногонеподвижного космического маяка к другому.
В тот момент, когдаон находится посередине между маяками, каждый из них испускаетв направлении корабля световой импульс. Найти, какой промежуток времени пройдет на корабле между моментами регистрацииэтих импульсов. Расстояние между маяками свет проходит за времяτ = 60 сут.РешениеI. Свяжем систему отсчета S' с космическим кораблем, а систему отсчета S с неподвижными маяками (рис.
5.8).МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ166YSY'AL/2S'VBL/2X, X'Рис. 5.8Пусть события А и В состоят в том, что на корабле происходит последовательная регистрация двух испущенных маяками световых импульсов. В системе отсчета S сначала в момент времени t1в точке с координатой x1 происходит регистрация импульса, испущенного маяком В.
Регистрация импульса, испущенного маяком А,происходит в последующий момент времени t2 в точке с координатой x2.II. Для наблюдателя, находящегося в системе отсчета S, моменты времени регистрации сигналов определяются соотношениями:Lct1 = − Vt1 ,(5.52)2Lct2 = + Vt 2 .(5.53)2Тогда интервал времени между событиями А и В в системеотсчета S будет равен:L⎛ 11 ⎞LV.(5.54)Δt = t 2 − t1 = ⎜−⎟= 22 ⎝ c −V c +V ⎠ c −V 2Здесь L – расстояние между космическими маяками, причем в соответствии с условием задачи(5.55)L = cτ .Воспользуемся следствием преобразований Лоренца – "замедлением времени". Поскольку в системе отсчета S' события А иВ происходят в одной точке пространства, то, согласно (5.6), должно наблюдаться сокращение интервала времени между рассматриваемыми событиями в этой системе:Δt ′ =2⎛V ⎞= Δt 1 − ⎜ ⎟ .γ⎝c⎠Δt(5.56)Глава 5.
Кинематика в теории относительности167III. Воспользовавшись соотношениями (5.54) – (5.56), определим искомый промежуток времени между моментами регистрации световых импульсов на корабле:2LVc2 − V 2cτV⎛V ⎞Δt ′ = Δt 1 − ⎜ ⎟ = 2⋅==2cc −V⎝c⎠c c2 − V 2V=τ.(5.57)c2 − V 2Подставляя в (5.57) заданные в условии задачи значения скорости космического корабля V = 0,6с и времени, необходимого дляпрохождения света между маяками τ = 60 сут., получаем:Δt ' = 45 сут.Задача 5.7(Преобразования Лоренца или их следствия)Корабль, летящий по направлению к Земле, испускает последовательно два коротких световых импульса с интервалом времениτ1 = 1 мин.
Отраженный от Земли первый импульс возвращается накорабль через время T = 1,5 месяца. При этом временной интервалмежду принятыми сигналами составляет τ2 = 15 с. Промежуткивремени τ1, τ2 и T отсчитываются по часам корабля. Найти скоростькорабля и время TЗ, которое пройдет на Земле от момента регистрации земным наблюдателем первого светового импульса до прилета корабля.РешениеI. Определим интересующие нас события:А – испускание кораблем первого светового импульса;В – испускание кораблем второго светового импульса;А1 – отражение первого импульса от поверхности Земли;В1 – отражение второго импульса от поверхности Земли;А2 – регистрация первого импульса кораблем;В2 – регистрация второго импульса кораблем;С – прилет корабля на Землю.На рис.
5.9 схематично (без соблюдения масштаба) изображена временная последовательность указанных событий в системах отчета, связанных с Землей (верхняя на рисунке ось времени t)и с кораблем (нижняя ось t').МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ168LA/VLA/cTЗΔtBA BA2 B2A1 B1γτ1CtCt'γτ2γT = ΔtAΔtB/γA BA2 B2A1 B1τ1τ2TРис. 5.9События, произошедшие на корабле, обозначены незакрашенными кружками, а события, произошедшие на Земле, – закрашенными кружками.
На рисунке изображены также интервалывремени между событиями, заданные в условии задачи по часамкорабля, – τ1, τ2 и T. В соответствии со следствием преобразованийЛоренца – так называемым "замедлением времени" (см. Теоретический материал, формула (5.6)) – интервалы времени, соответствующие тем же парам событий, измеренные по земным часам, увеличиваются в γ раз (см. рис. 5.9).II. Поскольку по условию задачи задан интервал времени Тмежду событиями А и А2 в системе отсчета, связанной с кораблем,запишем интервал времени ΔtA между теми же событиями в системе отсчета, связанной с Землей, как функцию скорости корабля:L + (LA − VΔt A ),(5.58)ΔtA = Acгде LA – расстояние между Землей и кораблем в момент времени,когда произошло событие А в системе отсчета, связанной с Землей.Глава 5. Кинематика в теории относительности169С другой стороны, используя следствие преобразований Лоренца,"замедление времени", можно записать:ΔtA = γT .(5.59)Уравнение, аналогичное (5.58), запишем для интервала времени ΔtB между событиями B и B2 в системе отсчета, связанной сЗемлей:L + (LB − VΔtB ),(5.60)ΔtB = Bcгде LB – расстояние между Землей и кораблем в момент времени,когда произошло событие B в системе отсчета, связанной с Землей.Как видно в верхней части рис.
5.9, интервал времени Δt B можетбыть выражен через заданные в задаче интервалы τ1, τ2 и T:ΔtB = γT − γτ 1 + γτ 2 .(5.61)Запишем пройденный кораблем путь с момента испусканияпервого светового импульса до момента испускания второго светового импульса (пространственный интервал между событиями A иB) в системе отсчета, связанной с Землей (за время γτ 1 ):LA − LB = Vγτ 1 .(5.62)Искомый интервал времени между событиями A1 и CLLTЗ = A − A .(5.63)VcIII.
Решая систему уравнений (5.58) – (5.63), находим скорость движения корабля V и время TЗ, которое пройдет на Земле отмомента регистрации земным наблюдателем первого световогоимпульса до прилета корабля:τ −τV =c 1 2 ,(5.64)τ1 + τ 2TЗ = Tτ 1τ 2.τ1 − τ 2(5.65)Подставляя численные значения интервалов времени, заданных в условии задачи, получим:V = 0,6c , TЗ ≅ 1 месяц .МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ170Задача 5.8(Преобразования Лоренца или их следствия)Два звездолета с выключенными двигателями движутся навстречу друг другу (см. рис. 5.10). На носу и на корме первогозвездолета периодически, каждые τ1 = 1 с, по часам этого звездолета одновременно зажигаются сигнальные огни.
На втором звездолете каждые τ2 = 0,5 с наблюдают две вспышки с интервалом времени Δτ = 1 мкс. Найти собственную длину l0 первого звездолета искорость U относительного движения звездолетов.SUS'l0Рис. 5.10РешениеI. Свяжем систему отсчета S с первым звездолетом, тогдавторой звездолет, с которым свяжем систему отсчета S', будет двигаться относительно системы S со скоростью U (рис. 5.10).Определим интересующие нас события:А и В – две ближайшие по времени вспышки, происходящие на носу первого звездолета;А1 и В1 – регистрация этих вспышек на втором звездолете;C – вспышка на корме первого звездолета, которая произошла одновременно в системе отсчета S со вспышкойна носу этого звездолета (событие А);С1 – регистрация на втором звездолете вспышки, произошедшей на корме первого звездолета.На рис.
5.11 схематично изображена временная последовательность указанных событий в системах отчета, связанных с первым (верхняя на рисунке ось времени t) и со вторым звездолетом(нижняя ось t').События, произошедшие на первом звездолете, обозначенынезакрашенными кружками, а события, произошедшие на второмзвездолете, – закрашенными кружками.Глава 5. Кинематика в теории относительности171ΔtBΔtAACγτ2A1 С1Bτ1B1tB1t'γ ΔτΔtCCAτ2BA1 С1γτ1ΔτРис. 5.11На рис. 5.11 изображены также интервалы времени междусобытиями, заданные в условии задачи, – τ1, τ2 и Δτ. Эти интервалывремени относятся к событиям, происходящим в одной точке пространства, – A и B в системе S (интервал τ1), A1 и B1 в системе S'(интервал τ2), A1 и C1 в системе S' (интервал Δτ).
В соответствии соследствием преобразований Лоренца – "замедлением времени" (см.Теоретический материал, формулу (5.6)) – эти интервалы времени,соответствующие тем же парам событий, измеренные по часамдругой системы отсчета, увеличиваются в γ раз (см. рис.
5.11), где1γ=.21 − (U / c )II. Пусть в момент в момент вспышки света на носу первогозвездолета (событие A) второй звездолет находился на расстоянииLA в системе отсчета S. Тогда интервал времени ΔtA между событиями A и A1 в этой системе отсчета с учетом скорости сближениязвездолетов равен:LΔtA = A .(5.66)c +UВспышка света на корме первого звездолета (событие С),произошедшая одновременно с первой вспышкой на его носу (событие A) будет зарегистрирована на втором звездолете через времяΔtC по часам первого звездолета:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ172LA + l0.(5.67)c +UИнтервал времени ΔtB между событиями B и B1 в системе отсчета S с учетом уменьшения расстояния между звездолетами завремя τ1 равен:L − Uτ 1ΔtB = A.(5.68)c +UКак видно на рис.
5.11, рассматриваемые интервалы временисвязаны между собой соотношениями:ΔtC = Δt A + γΔτ ,(5.69)ΔtB = ΔtA − τ 1 + γτ 2 .(5.70)III. Решаем полученную систему уравнений (5.66) – (5.70)относительно искомых величин l0 и U:ΔtC =τ1,τ2(5.71)τ 12 − τ 2 2c.τ 2 2 + τ 12(5.72)l0 = cΔτU=Подставив в (5.71) и (5.72) заданные численные значения τ1,τ2 и Δτ, определим собственную длину первого звездолета l0 и скорость относительного движения звездолетов U:3(5.73)l0 = 600 м, U = c .5Задача 5.9(Инвариантность пространственно-временных интервалов)В некоторой системе отсчета происходят два события со следующими пространственно-временными координатами: x1 = 0;t1 = 0 (событие А) и x2 = 5 м; t2 = 10−8 c (событие В). Определить:1) в какой системе отсчета эти события происходят на минимальном расстоянии друг от друга Δx ′ min , найти это расстояние искорость движения системы отсчета V;2) в какой системе отсчета эти события происходят с минимальным временным интервалом Δt ′ min , найти этот интервал искорость системы отсчета V;Глава 5.
Кинематика в теории относительности3) могут ли этиследственной связи.событиянаходиться173впричинно-РешениеI. В условии задачи заданы пространственно-временные координаты событий А и В в системе отсчета S. Определим величинуквадрата пространственно-временного интервала (5.9) между этимисобытиями:2S12 = Δx 2 − c 2 Δt 2 = 16 м 2 > 0 ,(5.74)где Δx = x2 − x1 и Δt = t 2 − t1 .2Так как S12 > 0 , то интервал между рассматриваемыми событиями – пространственно-подобный, и поэтому события А и Вне могут быть связаны причинно-следственной связью (см.п. 5.1.4. Пространственно-временной интервал)II. Поскольку пространственно-временной интервал инвари′ ), то величина Δx′ будет минимальна в системе S',антен ( S12 = S12когда Δt ′ = 0 :′ = S12 =Δx′ min = S12(x2 − x1 )2 − c 2 (t2 − t1 )2 .(5.75)Очевидно, что Δt ′ min = 0 в той же системе отсчета S'.Для определения скорости системы отсчета S' можно воспользоваться одним из преобразований Лоренца (5.4):Δx ⎞⎛(5.76)Δt ′ = ⎜ Δt − β⎟γ .c ⎠⎝III.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
