В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Используя (5.76) при Δt ′ = 0 , получим:t −tt −tV cΔtβ= == c 2 1 и V = c2 2 1 .(5.77)x2 − x1x2 − x1c ΔxПодставив численные значения пространственно-временныхкоординат событий в (5.75) и (5.77), получим значения искомыхвеличин:33Δx′ min = 4 м, β = и V = c .55МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ174Задача 5.10(Преобразования скоростей)Два стержня одинаковой собственной длиной l0 движутся впродольном направлении навстречу друг другу параллельно общейоси с одной и той же по величине скоростью V относительно лабораторной системы отсчета S (рис. 5.12).
Чему равна длина каждогостержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем.SYY' S'υ1υ2X'Рис. 5.12XРешениеI. Свяжем систему отсчета S' с первым стержнем (см.рис. 5.12). Скорость этой системы отсчета относительно лабораторной системы S совпадает со скоростью первого стержня υ1 иравна V. Скорость второго стержня относительно той же системы Sравна υ 2 = −V .Определим длину второго стержня относительно системы отсчета S', связанной с первым стержнем. Для этого необходимо провести измерение координат концов второго стержня в системе S'одновременно.
Пусть события А и В состоят в том в системе S' одновременно фиксируются положения двух концов второго стержня.II. В соответствии со следствием преобразований Лоренца –"сокращением длины" – в системе отсчета S', для которой событияА и В происходят одновременно, наблюдается сокращение пространственного интервала – длины второго стержня:2⎛ υ′ ⎞= l0 1 − ⎜ 2 ⎟ ,(5.78)γ⎝ c ⎠где υ 2′ – скорость второго стержня относительно системы отсчетаS'.
Определим эту скорость, используя формулу преобразованияскоростей (5.21):l2′ =l0Глава 5. Кинематика в теории относительностиυ2 − V1752V.(5.79)2VV1 − 2 υ21+ 2ccIII. Подставив найденную скорость υ 2′ (5.79) в соотношение(5.78), получим:υ 2′ =l2′ = l0 1 −=−4V 2= l0c2 − V 2.c2 + V 2(5.80)2⎛ V2 ⎞ 2⎜1 + 2 ⎟ c⎜c ⎟⎠⎝Связав систему отсчета S' со вторым стержнем, аналогичнымобразом можно получить длину первого стержня в системе отсчета,связанной со вторым стержнем:c2 − V 2l1′ = l0 2.(5.81)c +V 2Задача 5.11(Преобразования скоростей)Два неподвижных прожектора излучают узкие пучки света впротивоположных направлениях относительно оси Y лабораторнойсистемы отсчета (см. рис.
5.13). С какой скоростью U эти прожекторы должны двигаться в направлении, перпендикулярном оси Y,чтобы пучки света распространялись под углом α = 90° друг к другу?YYXUUXРис. 5.13РешениеI. В соответствии с условием задачи направим ось Y лабораторной системы отсчета S вдоль пучка света, излучаемого одним изпрожекторов (рис.
5.13), а ось X − в направлении их движения.Свяжем систему отсчета S′ с прожекторами, движущимися со ско-МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ176ростью U относительно лабораторной системы S, и направим ееоси X' и Y' вдоль осей X и Yсоответственно.II. Поскольку прожектора покоятся относительно системы S',то проекции скоростей распространения двух пучков света относительно этой системы в соответствии с условием задачи равны:υ1′x = υ 2′ x = 0 , υ1′y = c и υ 2′ y = −c .(5.82)Запишем формулы преобразования (сложения) скоростей(5.22) для определения проекций скоростей распространения пучков света относительно лабораторной системы отсчета S:U + υ1′xU + υ 2′ x,(5.83), υ2 x =υ1x =Uυ ′Uυ ′1 + 21x1 + 22 xcc22⎛U ⎞⎛U ⎞1 − ⎜ ⎟ υ1′y1 − ⎜ ⎟ υ 2′ y⎝c⎠⎝c⎠υ1 y =, υ2 y =.(5.84)Uυ ′Uυ ′1 + 21x1 + 22 xccДля того чтобы пучки света распространялись под угломα = 90° в лабораторной системе отсчета, необходимо выполнениеследующих условий:υ1x = υ1 y и υ 2 x = −υ 2 y .(5.85)III.
Определим проекции скоростей распространения пучковотносительно системы отсчета S (5.83) и (5.84) с учетом соотношений (5.82):22⎛U ⎞⎛U ⎞υ1x = υ 2 х = U , υ1 y = c 1 − ⎜ ⎟ , υ 2 y = −c 1 − ⎜ ⎟ .(5.86)⎝c⎠⎝c⎠Подставив полученные значения проекций скоростей в(5.85), определим, с какой скоростью U должны двигаться прожекторы в направлении, перпендикулярном лучам, для того, чтобыпучки света распространялись под углом 90° друг к другу:2⎛U ⎞U = c 1− ⎜ ⎟ .⎝c⎠СледовательноcU=.2(5.87)(5.88)Глава 5.
Кинематика в теории относительности177Задача 5.12(Преобразования скоростей)Стержень АВ ориентирован параллельно оси X' в системе отсчета S' и движется в этой системе со скоростью U ′ = 0,7c , направленной противоположно оси Y' (см. рис. 5.14). Система S' в своюочередь движется со скоростью V = 0,6c относительно лабораторной системы отсчета S в направлении ее оси Х, совпадающей понаправлению с осью X'. Найти угол между стержнем и осью Х всистеме S.YSY'S'VABU'XX'Рис.
5.14РешениеI. Пусть интересующими нас событиями будут события C иD, состоящие в том, что в некоторый момент времени концыстержня совпали с осью X' в системе отсчета S'. Пространственновременные координаты событий C и D в системе отсчета S равны( x1 , y1 , t1 ) и ( x2 , y 2 t2 ), а в системе отсчета S' – ( x1′ , y1′ , t1′ ) и( x2′ , y ′2 , t2′ ) (см. рис. 5.15).YSY'S'Vx1′x 2′U'Рис.
5.15XX'МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ178II. События C и D в системе отсчета S' происходят одновременно, то естьΔt ′ = t2′ − t1′ = 0 .(5.89)В отличие от системы S' в системе S события C и D происходят не одновременно. В соответствии с преобразованиями Лоренцаинтервал времени Δt между событиями C и D в системе S с учетом(5.89) равен:VΔt ′ + 2 Δx′cΔt = t 2 − t1 =.(5.90)21 − (V / c )Поскольку Δx′ = x2′ − x1′ > 0 , то Δt = t2 − t1 > 0 . Это означает,что в системе отсчета S концы стержня A и B пересекут некоторуюпроизвольную прямую y = y0 в разные моменты времени, сначалаА, потом через интервал времени Δt – B (см.
рис. 5.16).Yy0SBAϕUyx1Δyx2XРис. 5.16Таким образом, в системе отсчета S стержень оказываетсянаклоненным к оси Х под углом ϕ. В тот момент времени, когдаконец А достиг прямой y = y0, конец В оказался выше этой прямойна расстоянииΔy = U y Δt ,(5.91)где U y – скорость, с которой стержень движется вдоль оси Y всистеме S. При этом согласно (5.7), в системе отсчета S произойдетсокращение интервала Δx = x2 − x1 :Δx′2Δx == Δx′ 1 − (V / c ) .(5.92)γГлава 5. Кинематика в теории относительности179Угол поворота стержня в системе S определяется следующимобразом:⎛ Δy ⎞(5.93)ϕ = arctg⎜ ⎟ .⎝ Δx ⎠Проекция скорости стержня U y на ось Y лабораторной системы отсчета S в соответствии с одной из формул преобразования(сложения) скоростей (5.22) равна1 − (V / c ) ⋅ U ′yUy =.V1 + 2 U ′xcВ соответствии с условиями задачиU x′ = 0 , U ′y = −U ′ .2(5.94)(5.95)III.
Искомый угол ϕ между стержнем и осью Х в системе Sнаходим, решая полученную систему уравнений (5.90) − (5.95):⎛⎞U ′V⎟.ϕ = arctg⎜(5.96)⎜ c 2 1 − (V / c )2 ⎟⎝⎠Подставляя в (5.96) численные значения скоростей движениястержня и системы S', заданные в условии задачи, получаем:ϕ ≅ 27,7° .ϕ,ο906030ϕпред = 36,927,71o2o3000.20.40.6V/cРис. 5.170.81МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ180Проанализируем зависимость угла ϕ (5.96) от скорости движения V системы отсчета S' при различных скоростях движениястержня U'.
На рис. 5.17 изображены графики зависимости ϕ (V / c )при трех значениях параметра U ′ / c . График 1 соответствует значению U ′ / c = 0,999 , график 2 − заданному в условии задачи значению U ′ / c = 0,7 , а график 3 − U ′ / c = 0,3 .Как видим, при заданной скорости движения системы отсчета S' в лабораторной системе отсчета S угол между движущимсястержнем и осью X имеет предельное значение ϕпред , определяемоеграфиком 1 на рис. 5.17.5.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость V = c/2, длина l = 1 м и угол между ним инаправлением движения ϑ = 45°.()()Ответ: l0 = l 1 − (V / c ) sin 2 ϑ 1 − (V / c ) = 1,08 м .22Задача 2Два стержня одинаковой собственной длиной l0 движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси.
В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток временимежду моментами совпадения левых и правых концов стержнейоказался равным Δt. Какова скорость одного стержня относительнодругого?2l0c 2 Δt.Ответ: V =(cΔt )2 + l02Задача 3Стержень, длина которого в системе отсчета S равна L, расположен в ней так, что составляет с осью X угол ϑ. Система отсчета S' движется относительно системы S со скоростью V = c/2 в сторону, противоположную оси Y. Определить какой угол ϑ' составляет стержень с осью X' системы отсчета S' и чему равна длина L'стержня в этой системе.Глава 5. Кинематика в теории относительностиОтвет: tg ϑ ′ =18133 + cos 2 ϑtg ϑ , L′ = L.22Задача 4Космонавт спустя время τ 0 (по собственным часам) послестарта получает радиограмму с сообщением о рождении внука.Тотчас же, для того, чтобы внук получил поздравление вовремя, онпосылает ответную радиограмму, в которой поздравляет внука ссовершеннолетием (возраст равен Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
