В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 21
Текст из файла (страница 21)
По стержню АС скользит безСтрения муфта массой т, связанная Впружиной жесткостью k с вершиной Атреугольника.Длинанерастянутойпружины l. Определить при какомзначении модуля угловой скорости ωмуфта будет в равновесии принедеформированной пружине? Будет лиАэто равновесие устойчивым?144Ответ: ω =МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧg 2mg, равновесие устойчиво, если kl >.l2Задача 6Из ружья произведен выстрел вверх (параллельно линии отвеса). Географическая широта места ϕ = 60°, начальная скоростьпули V0 = 100 м/с.
Определить насколько восточнее или западнееот места выстрела упадет пуля.Ответ: пуля отклонится к западу на расстояние4 V 3ω cos ϕx= ⋅ 0 2≈ 0,5 м.3gЗадача 7Поезд массой m движется вдоль меридиана на северной широте ϕ со скоростью V . Определить величину и направление силыбокового давления поезда на рельсы.Ответ: F = 2mVω sin ϕ (на правый по ходу поезда рельс).Задача 8На экваторе на рельсах стоит пушка. Рельсы направлены сзапада на восток, и пушка может двигаться по ним без трения.Пушка стреляет вертикально вверх.
Какую скорость будет иметьпушка после выстрела? Масса пушки М, масса снаряда m, длинаствола l. Считать, что в стволе снаряд движется с постоянным ускорением а.2mlω0Ответ: V =, ω0 – угловая скорость вращения Земли.M +mЗадача 9Под каким углом к вертикали надо произвести выстрелвверх, чтобы пуля упала обратно в точку, из которой был произведен выстрел? Начальная скорость пули V0 = 100 м/c, географическая широта места φ = 60°.Ответ: ствол ружья надо наклонить к востоку под углом2V ω cos ϕα= 0≈ 51′′ .3gГлава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах145Задача 10На экваторе с высоты H на поверхность Земли падает тело снулевой начальной скоростью. Пренебрегая силой сопротивлениявоздуха, определить в какую сторону и на какое расстояние отклонится тело при падении от вертикали.
Угловую скорость вращенияЗемли ω считать заданной.22HОтвет: Отклонится на восток на расстояние x ≈ ωH.3gЗадача 11Поезд массой m движется вдоль экватора с постоянной скоростью υ. Определить силу N нормального давления поезда нарельсы. Решить задачу в двух неинерциальных системах отсчета: всистеме, связанной с поверхностью Земли, и в системе, связанной споездом.
Радиус Земли R и ее угловую скорость вращения ω считать заданными.⎛(ωR ± υ ) 2 ⎞⎟.Ответ: N = m⎜⎜ g −⎟R⎝⎠146МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГЛАВА 5КИНЕМАТИКА В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ5.1. Теоретический материал5.1.1. Постулаты и основные понятия(специальной) теории относительностиI. Принцип относительности: любое физическое явление вприроде протекает одинаковым образом во всех инерциальныхсистемах отсчета. Следовательно, любой закон природы одинаково формулируется во всех инерциальных системах отсчета (уравнения, описывающие законы природы в различных инерциальныхсистемах отсчета, имеют один и тот же вид).II. Принцип постоянства скорости света: скорость распространения электромагнитных волн (в том числе света) в вакуумеодинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависитот скоростей движения источника и приемника излучения.СобытиеЛюбое событие, произошедшее в некоторой точке пространства, определяется пространственными координатами (x,y,z) этойточки и моментом времени t, когда оно произошло.Пространственно-временные координаты события –(x,y,z,t) или ( r ,t).Синхронизация часов в системе отсчетаДля того чтобы часы, неподвижно расположенные во всехточках системы отсчета S, показывали одно и то же время с точкизрения наблюдателя, неподвижного в той же системе отсчета, необходимо их синхронизовать.
В этом случае можно говорить оедином времени в системе отсчета.Условие синхронизации часов A и B, расположенных впроизвольных точках системы отсчета S (в предположении об изотропности пространства):t A + t 2AtB = 1.(5.1)2Глава 5. Кинематика в теории относительности147Здесь (см. рис. 5.1) t1A – момент времени излучения из точки A светового сигнала (кванта света) по часам в точке A, t B – момент времени регистрации этого сигнала в точке B по часам в точке B, t 2A –момент времени регистрации в точке A отраженного в точке B сигнала по часам в точке A.StBt2At1AРис.
5.1. Синхронизация часов,расположенных в разных точках инерциальной системы отсчета SBA5.1.2. Преобразования ЛоренцаПреобразования Лоренца – это взаимосвязь пространственно-временных координат одного и того же события относительноразличных инерциальных систем отсчета (см. рис. 5.2).YSY'S'( r ,t)( r ′ ,t')VXZX'Z'Рис.
5.2. Взаимная ориентация осей координат движущихся относительно друг друга инерциальных систем отсчета ипространственно-временные координаты событияПусть система отсчета S' движется относительно системы S спостоянной скоростью V вдоль оси X (рис. 5.2). При этом оси систем ориентированы в пространстве одинаково и часы синхронизованы так, что событие с пространственно-временными координатами ( r = 0 , t = 0) в системе S имеет координаты ( r '= 0 , t' = 0) всистеме S'.
Тогда в соответствии с постулатами теории относитель-148МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧности и из однородности времени, а также однородности и изотропности пространства пространственно-временные координатылюбого события (x,y,z,t) и (x',y',z',t') в этих системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца:x − Vtx′ + Vt ′⎧ ′⎧,x=,⎪x =⎪22()()1−/VcVc1−/⎪⎪⎪ y′ = y,⎪ y = y′,⎪⎪и ⎨ z = z′,(5.2)⎨ z′ = z,⎪⎪VV⎪⎪t− 2 xt ′ + 2 x′⎪t ′ =⎪t =cc;;⎪⎪22()()1/VcVc−−1/⎩⎩или⎧ x′ = γ (x − Vt ),⎧ x = γ (x′ + Vt ′),⎪ y′ = y,⎪ y = y′,⎪⎪⎪⎪и ⎨ z = z′,(5.3)⎨ z′ = z,⎪⎪⎪t ′ = γ ⎛⎜ t − V x ⎞⎟;⎪t = γ ⎛⎜ t ′ + V x′ ⎞⎟.2⎪⎩⎪⎩c2 ⎠⎝ c ⎠⎝11V⎛⎞=> 1 − Лоренц-фактор ⎜ β ≡ < 1⎟ .Здесь γ ≡22c⎝⎠1− β1 − (V / c )В силу линейности преобразований Лоренца (5.3) аналогичные соотношения можно записать и для интервалов пространственных координат Δx = x2 − x1 , Δy = y2 − y1 , Δz = z2 − z1 иΔx′ = x2′ − x1′ , Δy′ = y2′ − y1′ , Δz′ = z′2 − z1′ , а также интервалов времени Δt = t 2 − t1 и Δt ′ = t2′ − t1′ между двумя любыми событиями:⎧Δx′ = γ (Δx − VΔt ),⎧Δx = γ (Δx′ + VΔt ′),⎪Δy′ = Δy,⎪Δy = Δy′,⎪⎪⎪⎪′и(5.4)zzΔ=Δ,⎨⎨Δz = Δz ′,⎪⎪⎪Δt ′ = γ ⎛⎜ Δt − V Δx ⎞⎟;⎪Δt = γ ⎛⎜ Δt ′ + V Δx′ ⎞⎟.2⎪⎩⎪⎩cc2⎠⎠⎝⎝Заметим, что величины интервалов пространственных координат и времени зависят от выбора системы отсчета.Глава 5.
Кинематика в теории относительности1495.1.3. Следствия преобразований Лоренца1. Предельная скорость распространения взаимодействийСкорость распространения любых взаимодействий (а значити скорость движения физических объектов) в природе не превышает скорость распространения электромагнитных волн (в томчисле света) в вакууме.2. "Относительность одновременности"События, происходящие одновременно в одной инерциальной системе отсчета и имеющие различные пространственные координаты вдоль направления движения другой инерциальной системы, не являются в ней одновременными.Это утверждение непосредственно следует из (5.4).3.
"Замедление времени"Рассмотрим два события, происходящие в одной и той жеточке пространства в движущейся системе S' (например последовательное "тиканье" часов системы S') (рис. 5.3).YSY'S'Vx1,t1x2,t2x1′ , t1′x 2′ , t 2′XZX'Z'Рис. 5.3. Взаимная ориентация осей координат движущихся относительно друг друга инерциальных систем отсчета ипространственно-временные координаты рассматриваемых событийПринципиально важно, что эти два события происходят водной и той же точке пространства в системе S': x1′ = x2′ ,Δx′ = x1′ − x2′ = 0 .
Для системы S эти события будут происходить вразных точках пространства. В этом случае (см. (5.4)):МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ150Δt =Δt ′1 − (V / c )2= γΔt ′ или Δt ′ =Δtγ.(5.5)Здесь Δt' – интервал времени между событиями, происходящими водной и той же точке пространства в системе S', по часам системыS', Δt – интервал времени между теми же событиями по часам системы S.Другими словами, для системы отсчета, в которой событияпроисходят в одной точке пространства, наблюдается сокращение интервала времени между этими событиями (по сравнению с любой другой системой отсчета).Если T0 ≡ Δt' – период хода движущихся часов (часов системы S') по часам системы S', а T ≡ Δt – период хода движущихся часов по часам системы S, то можно утверждать, что движущиесячасы идут медленнее неподвижных часов:TT0= γ T0 , T0 = .(5.6)T=2γ1 − (V / c )4. "Сокращение длины"Рассмотрим два события, происходящие одновременно относительно некоторой системы отсчета S.
Этими событиями могутбыть, например, измерения координат правого x2 и левого x1 концов движущейся вместе с системой S' линейки, расположеннойвдоль осей X и X' (см. рис. 5.4).YSY'S'VZx1,t1x2,t2x1′ , t1′x 2′ , t 2′XX'Z'Рис. 5.4. Взаимная ориентация осей координат движущихся относительно друг друга инерциальных систем отсчета ипространственно-временные координаты рассматриваемых событийГлава 5. Кинематика в теории относительности151Принципиально важно, что эти два события происходят одновременно в системе S: t1 = t2, Δt = t2 –t1 = 0. Для системы S' этисобытия будут происходить не одновременно.
В соответствии с(5.4) для пространственных интервалов Δx = x2 − x1 и Δx′ = x′2 − x1′можно записать:ΔxΔx′Δx′ == γΔx или Δ x =.(5.7)2γ1 − (V / c )Другими словами, для системы отсчета, в которой событияпроисходят одновременно, наблюдается сокращение пространственного интервала между этими событиями (по сравнению слюбой другой системой отсчета) вдоль направления относительного движения систем.Если событиями являются измерения координат линейки (см.рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
