В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 17
Текст из файла (страница 17)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ118a = A + [ω& r ′] +′]][1ωω4r34[214444центростре244мительное443[2+ 21ω3υ′] +Кориолисаa{′=относительноепереносное= aпер + a Кор + a ′ .(4.9)Здесь υпер = V + [ωr ′] – переносная и υ′ – относительная скоростидвижения материальной точки; aКор = 2[ωυ′] – ускорение Корио-aцс = [ω[ωr ′]]–центростремительное,aпер = A + [ω& r ′] + [ω[ωr ′]] – переносное и a ′ – относительное ускорения материальной точки.Если материальная точка покоится относительно системы S',тоr = R + r′ ,(4.10)[ω4υ = υпер = V+2r ′] ,(4.11)143лиса,переноснаяa = aпер = A + [ω& r ′] +′]][1ωω4r34[2(4.12)центростремительное14444244443переносноеУравнение движения материальной точки относительнонеинерциальной системы отсчетаПусть система отсчета S является инерциальной (см.
Главу 2). Запишем уравнение движения материальной точки M, на которую действуют силы F i , относительно системы отсчета S – 2-ойзакон Ньютона:ma = ∑ Fi .(4.13)iПодставим в уравнение (4.13) полученное выражение (4.9)для ускорения материальной точки относительно произвольнодвижущейся системы отсчета S' и несколько его преобразуем:mA + m[ω& r ′] + m[ω[ωr ′]] + 2m[ωυ′] + ma ′ = ∑ Fi ,ima′ = ∑ Fi − mA − m[ω& r ′] − m[ω[ωr ′]] − 2m[ωυ′] ,14243 14243iцентробежная14444244443 Кориолисапереносная(4.14)Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системахma ′ = ∑ Fi + Fпер + FКор .119(4.15)iВ результате мы получили уравнение движения материальной точки относительно в общем случае неинерциальной системыотсчета S'.
Как видим, в неинерциальной системе отсчета такжеможно использовать второй закон Ньютона, если к "материальным" силам, действующим на материальную точку со стороны материальных тел, добавить так называемые силы инерции:переносную –Fпер = − mA − m[ω& r ′] − m[ω[ωr ′]] = − mA − m[ω& r ′] + Fцб ,(4.16)14243центробежнаяКориолиса –FКор = −2m[ωυ′] .(4.17)Заметим, что силы инерции вызваны не взаимодействием материальных объектов, а выбором неинерциальной системы отсчета,относительно которой рассматривается движение тел. В отличие от"материальных" сил для сил инерции нельзя указать тела, со стороны которых они действуют, следовательно, к ним не применимтретий закон Ньютона (см. Главу 2).Переносная сила инерции связана как с ускоренным движением начала системы отсчета S', так и с вращением этой системыотносительно инерциальной системы отсчета. Сила Кориолиса возникает только при движении материальной точки относительновращающейся неинерциальной системы отсчета S'.Любую задачу можно решать как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета, пользуясь либо уравнениями движения, либо законами сохранения (см.
Главу 3). При этом необходимо учитывать силы инерции, их импульс и работу точно так же,как и для "материальных" сил – сил взаимодействия материальныхобъектов.4.2. Основные типы задач и методы их решения4.2.1. Классификация задачБольшинство задач на движение тел в неинерциальных системах отсчета можно условно отнести к следующим типам задачили их комбинациям. Задачи на движение тел в:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1201) поступательно движущейся неинерциальной системе отсчета,2) вращающейся неинерциальной системе отсчета.4.2.2. Общая схема решения задач механики внеинерциальных системах отсчета с использованиемзаконов НьютонаI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать неинерциальную систему отсчета и изобразить начертеже ее систему координат (из соображений удобства).3.
Изобразить и обозначить все силы, в том числе и силыинерции, а также необходимые кинематические характеристики системы.4. Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано вусловии задачи).II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.1. Записать уравнения движения в проекциях на оси координат выбранной неинерциальной системы отсчета для всехтел системы.2. Использовать третий закон Ньютона для материальныхсил, если это не было сделано ранее в п.
3.3. Использовать законы, описывающие индивидуальныесвойства сил.4. Записать уравнения кинематической связи.5. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2.
Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах121Примечания.В случае решения задач на динамику материальной точки впп. I.3 – I.5 речь идет о характеристиках материальной точки, ап. II.2 надо опустить.В случае решения задач на динамику простейших механических систем в пп. I.3 – II.2 речь идет о характеристиках и уравнениях движения тел и силах (в том числе силах инерции), действующих между телами рассматриваемой системы.Пункты II.1 – II.4 можно выполнять в той или иной последовательности в зависимости от решаемой задачи.4.3. Примеры решения задачЗадача 4.1(Поступательно движущаяся неинерциальная система отсчета)Два небольших шарика с одинаковой массой m, соединенныенерастянутой пружинкой длиной l0, лежат на гладкой горизонтальной поверхности.
На один из шариков начинает действовать постоянная сила F, направленная вдоль оси пружинки (см. рис. 4.3).FинFинFX, X'Рис. 4.3Через некоторое время длина пружинки становится максимальной и равной lmax. Определить коэффициент упругости пружинки k.РешениеI. Приложим силу F к переднему по направлению действиясилы шарику (см. рис. 4.3), поскольку в соответствии с условиемзадачи в результате действия силы происходит растяжение пружинки. При решении задачи будем использовать две системы отсчета: лабораторную инерциальную систему, связанную с неподвижной поверхностью, по которой скользят рассматриваемые тела,и поступательно движущуюся неинерциальную систему отсчета,связанную с центром масс системы «два шарика + пружинка».Направим ось X лабораторной системы отсчета и ось X' неинерциальной системы отсчета вдоль направления действия силы122МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧF (рис. 4.3). В инерциальной системе отсчета система тел движется под действием одной внешней силы F . В неинерциальной системе к указанной силе добавляются две переносные силы инерцииFпер. Силами трения и сопротивления воздуха пренебрегаем.II. Используя теорему о движении центра масс (см. (3.6) вГлаве 3), найдем ускорение центра масс системы «два шарика + пружинка» в инерциальной системе отсчета:Faцм =.(4.18)2mПереносные силы инерции (4.16), действующие на каждый изшариков в неинерциальной системе отсчета, равны:Fпер = −maцм .(4.19)Запишем закон изменения механической энергии системы«два шарика + пружинка» в неинерциальной системе отсчета наинтервале времени от начала движения до момента максимальногорастяжения пружины (см.
(3.39) в Главе 3):k (lmax − l0 ) 2(4.20)= − Fпер Δx1′ + F − Fпер Δx′2 .2Здесь Fпер – модуль силы инерции, Δx1′ и Δx′2 – изменения координат заднего и переднего шариков (по отношению к направлениюдействия силы) за указанный промежуток времени. Левая частьуравнения (4.20) представляет собой изменение потенциальнойэнергии упруго деформированной пружинки.
В момент максимального растяжения пружинки относительная скорость шариковстановится равной нулю, следовательно, в системе отсчета, связанной с центром масс, кинетическая энергия шариков обращается вноль и ее изменение за указанный интервал времени также равнонулю. Правая часть уравнения (4.20) представляет собой суммарную работу постоянных внешних сил, действующих на тела системы (включая силы инерции).III. Решая систему уравнений (4.18) – (4.20) с учетомΔx2 − Δx1 = lmax − l0 , получаем искомый коэффициент упругостипружинки:Fk=.(4.21)lmax − l0Решение этой же задачи в инерциальной системе отсчета,предложено в Главе 3 (задача 3.5).()Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах123Энергетический подход, реализованный нами при решениизадач (3.5) и (4.1), не позволяет проанализировать характер движения тел системы.
В нашем случае при движении шариков длинапружинки изменяется по гармоническому закону, периодическидостигая своего максимального значения. Законы движения шариков и изменения длины связывающей их пружинки будут полученыпри решении задачи (8.11) в Главе 8.Задача 4.2(Поступательно движущаяся неинерциальная система отсчета)Математический маятник длиной l и массой m подвешен кпотолку кабины лифта, опускающегося вниз с ускорением a ≤ g(см. рис. 4.4).XOO'y0X'α FперτTY'mgYaРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
