В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 13
Текст из файла (страница 13)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ3.2.2. Общая схема решения задачI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат (из соображений удобства).3. Изобразить и обозначить все силы и необходимые кинематические характеристики системы.4. Провести анализ действующих на тела системы сил (потенциальные и непотенциальные силы), используя законы,описывающие их индивидуальные свойства.5. Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано вусловии задачи).6.
Выбрать механическую систему и рассматриваемый интервал (начальный и конечный моменты) времени.II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.1. Выбрать законы сохранения и записать их в выбраннойсистеме отсчета для выбранной механической системы ивыбранного интервала времени в рамках выбранной модели.2. Записать уравнения кинематических связей.3.
Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.Примечание.Пункты I.6 – II.2 в случае необходимости выполняются неоднократно.мулируется так – если работа внешних сил и внутренних непотенциальных силравна нулю, то механическая энергия системы сохраняется.Глава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии913.3. Примеры решения задачЗадача 3.1(Закон сохранения импульса)Ствол игрушечной пушки направлен под углом α = 45° к горизонту. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если она незакреплена и может скользить по абсолютно гладкой поверхности.Модуль скорости снаряда относительно пушки сразу после выстрела равен υ0 = 2,2 м/с, а его масса в k = 10 раз меньше массы пушки.РешениеДля решения задачи воспользуемся общей схемой решениязадач механики с помощью законов сохранения.I. Выберем систему отсчета, связанную с горизонтальной поверхностью.
Ось X декартовой системы координат направим горизонтально, а ось Y – вертикально вверх. Определимся с моделямиматериальных объектов и явлений. Система тел «пушка + снаряд»является замкнутой вдоль оси X в течение интервала времени отмомента, предшествующего выстрелу пушки, до момента временисразу после выстрела, поскольку в соответствии с условиями задачи сил трения, действующих на тела системы, нет.II.
Запишем закон сохранения проекции импульса (3.13) наось X для выбранной системы тел и рассматриваемого интервалавремени:(3.41)mпυ п + mсυ сx = 0 .Здесь υп и υсx – проекции скоростей пушки и снаряда после выстрела на ось X.Проекция на ось X неизвестной скорости снаряда относительно лабораторной системы отсчета υсx связана с проекциямискорости пушки υп и относительной скорости снаряда υ0 следующим образом:υ сx = υп + υ 0 cos α .(3.42)Используем также заданное в условии задачи соотношениемежду массами снаряда и пушки:mп=k.(3.43)mс92МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧIII. Решая систему уравнений (3.41) – (3.43), находим искомое выражение для проекции скорости пушки на ось X после выстрела:mс1= −υ0 cos αυп = −υ0 cos α.(3.44)mс + mп1+ kПодставляя в (3.44) значения физических величин, заданныхв условии задачи, получаемυп ≅ −0,14 м/сек .(3.45)Задача 3.2(Закон сохранения импульса)Две одинаковые тележки, на каждой из которых находится почеловеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу попараллельным рельсам.
Когда тележки поравнялись, с каждой изних на другую перепрыгнул человек в направлении, перпендикулярном к движению тележек. В результате первая тележка остановилась, а скорость второй стала равна V. Найти модули первоначальных скоростей тележек V1 и V2 , если масса каждой тележкиравна М, а масса каждого человека – m .РешениеI. В соответствии с общей схемой решения задач на законысохранения определимся с моделями материальных объектов и явлений.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, будем считать, чтоскорость каждого человека сразу после прыжка равна его скоростинепосредственно перед приземлением на другую тележку.На рис. 3.4 показано состояние системы тел для трех моментов времени: t1 – непосредственно перед прыжком, t2 – момент,когда оба человека находятся в полете, t 3 – сразу после приземления.На рис.
3.4 также изображена выбранная система координатXY, жестко связанная с рельсами, и обозначены скорости всех телв указанные моменты времени.На временном интервале (t1, t2) будем рассматривать две системы тел: «первый человек + первая тележка» и «второй человек + вторая тележка». Поскольку человек прыгнул в направлении,перпендикулярном движению тележки, то после отрыва от тележкипроекция его скорости на ось X (совпадающую с направлениемГлава 3. Законы изменения импульса и механической энергии93движения первой тележки; см. рис. 3.4) равна скорости тележкипосле его прыжка.XYV12xV1V12xV12yV22xV22xV2t = t1V22yVt = t2t = t3Рис.
3.4На временном интервале (t2, t3) также рассмотрим две системы тел: «первый человек + вторая тележка», «второй человек + первая тележка».Поскольку все внешние по отношению к рассматриваемымсистемам тел силы (силы тяжести и силы реакции рельсов) направлены перпендикулярно направлению оси X, то эти системы телзамкнуты в направлении данной оси, и для них выполняется законсохранения проекции импульса на соответствующих им временныхинтервалах.II.
Запишем законы сохранения проекции импульса для выбранных систем тел и выбранных временных интервалов.Система тел «первый человек + первая тележка, временнойинтервал (t1 , t2 ) :( M + m)V1 = MV12 x + mV12 x .(3.46)Из уравнения (3.46) следует, что скорость тележки после прыжкачеловека не изменится:V12 x = V1 .(3.47)Аналогичный вывод можно сделать и для второй тележки,рассматривая тот же временной интервал и систему тел «второйчеловек + вторая тележка»:94МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧV 22 x = V 2 .(3.48)Система тел «второй человек + первая тележка, временнойинтервал (t 2 , t 3 ) :MV1 − mV2 = 0 .(3.49)В (3.49) учтено, что первая тележка остановилась после приземления второго человека.Для системы тел «первый человек + вторая тележка» и тогоже временного интервала имеем:mV1 − MV2 = −(m + M )V .(3.50)III. Решая систему уравнений (3.49) – (3.50), находим искомые модули скоростей тележек в начальный момент времени:mMV1 = V, V2 = V.(3.51)M −mM −mПроанализируем полученное решение. Если массы тележекразные, то (3.51) дает однозначный ответ на вопрос задачи.
В случае, когда M = m обе тележки останавливаются (V = 0). При этомначальные скорости тележек могут быть любыми по величине, норавными друг другу: V1 = V2 .Задача 3.3(Движение тел с переменной массой)По двум горизонтальным рельсам движутся с постояннойскоростью υ0 = 1 м/с без трения (по инерции) две одинаковые тележки массой M0 = 100 кг каждая. В некоторый момент времениt0 = 0 на обе тележки сверху непрерывной струйкой начинает сыпаться песок так, что масса сыплющегося песка растет линейно позакону m = kt, где k = 10 кг/с.
В первой тележке есть устройство длянепрерывного выброса всего ссыпанного на нее песка в направлении, перпендикулярном скорости тележки. Из второй тележки песок не выбрасывается. Как будут зависеть от времени скорость иперемещение каждой тележки? За какое время каждая тележкапройдет расстояние L = 9 м?РешениеI.
В соответствии с общей схемой решения задач на законысохранения рассмотрим особенности процессов для обеих тележек.В обоих случаях система тел «тележка + ссыпающийся на нее завремя dt песок» является замкнутой в направлении движения те-Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии95лежки, следовательно, можно использовать закон сохранения проекции импульса. Выберем системы координат так, как показано нарис. 3.5.II.
Закон сохранения проекции импульса на ось X для системы тел «тележка + ссыпающийся на нее за время dt песок» и интервала времени [t, t + dt] в обоих случаях имеет вид:M (t )υ (t ) + d m ⋅ 0 = (M (t ) + d m )(υ (t ) + d υ ) .(3.52)Здесь M(t) и υ (t ) – мгновенные значения массы и скорости тележки в момент времени t; dm – приращение массы тележки за малыйпромежуток времени dt, dυ – приращение скорости тележки.Рис. 3.5Из условия задачи следует, что(3.53)dm = kdt .Аналогично тому, как это было сделано в теоретическом введении при рассмотрении движения тел с переменной массой, пренебрежем в (3.52) членами второго порядка малости:0 = M (t )dυ (t ) + υ (t )dm .(3.54)Следовательно:dυk dt.(3.55)=−υ (t )M (t )Далее рассмотрим движение каждой тележки в отдельности.Тележка №1.
В соответствии с условием задачи масса первойтележки не меняется со временем (M(t) = M0), поэтому, интегрируя(3.55), получим:kυln 1 = −t.(3.56)M0υ0Таким образом, зависимость скорости первой тележки отвремени имеет вид:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ96υ1 (t ) = υ0e−ktM0.(3.57)Закон движения первой тележки получаем, интегрируя (3.57):kktt−t−t⎞M 0υ0 ⎛⎜M0M0 ⎟x1 (t ) = ∫ υ1 (t ) d t = ∫ υ0 edt =1− e.(3.58)⎟k ⎜00⎠⎝Воспользовавшись законом движения (3.58), находим время,за которое первая тележка пройдет расстояние L = 9 м:M1t1 = 0 ln(3.59)≅ 23,0 с.Lkk1−M 0υ0Тележка 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
