В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 15
Текст из файла (страница 15)
3.8):dαυ отн = − R.(3.87)dtВ соответствии с принципом суперпозиции движений (см.формулу (1.26) в главе 1,) скорость шайбы относительно лабораторной системы отсчета равна:υ = υ0 + υотн .(3.88)mГлава 3. Законы изменения импульса и механической энергии103III. Система уравнений (3.83) – (3.88) позволяет определитьвсе кинематические характеристики движения шайбы.
Сначала спомощью уравнений (3.85) – (3.88) преобразуем (3.84):gR cos αsin α d α .(3.89)δA = −3mυ02Находим работу A силы нормальной реакции опоры в лабораторной системе отсчета на интервале времени от начала движения до момента нахождения шайбы в нижней точке своей траектории, интегрируя (3.89) по α в пределах отπ2до 0:A = m 2 gRυ0 .(3.90)С использованием полученного выражения (3.90) для работыA, закон изменения механической энергии (3.83) принимает вид:mυ 2 mυ02− mgR +−= m 2 gRυ0 .(3.91)22В результате решения (3.91) относительно модуля скоростишайбы в нижней точке траектории получим:υ = υ0 + 2 gR .(3.92)Существенно проще можно решить задачу, используя законсохранения механической энергии (3.40) шайбы в инерциальнойсистеме, связанной с движущейся чашей, поскольку в этой системеотсчета работа силы нормальной реакции N равна нулю:2mυотн− mgR = 0 .(3.93)2Следовательно, модуль скорости относительного движения шайбыв момент прохождения нижней точки траектории равенυотн = 2 gR .(3.94)Используя принцип суперпозиции движений (см.
(3.88)), сразу получаем искомое значение скорости движения шайбы:υ = υ0 + υотн = υ0 + 2 gR ,(3.95)которое естественно совпадает с полученным ранее решением(3.92).Как видим, сопоставление двух приведенных вариантов решения задачи еще раз показывает, насколько важным является разумный выбор системы отсчета.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ104Задача 3.7(Законы сохранения импульса и механической энергии.)В некоторый момент времени два шарика массами m1 и m2,удаленные от всех остальных тел, находятся на расстоянии l0 другот друга и имеют скорости υ1 и υ2 , направленные вдоль линии,соединяющей центры шаров так, как показано на рис.
3.9.υ2 m2m1l0υ1XРис. 3.9Найти наибольшее расстояние lmax между шариками в процессе их движения.РешениеI. Поскольку рассматриваемая система тел изолирована,удобно решать задачу в системе отсчета, связанной с центром масс,которая является инерциальной. В этой системе отсчета тела подmmдействием сил гравитационного взаимодействия F = G 1 2 2 двиlгаются по прямой, при этом на максимальном расстоянии друг отдруга l = lmax скорости тел одновременно обращаются в ноль. Положительное направление оси X системы координат выберем совпадающим с направлением движения первого тела в начальныймомент времени.II. Запишем закон сохранения проекции импульса (3.13) системы двух тел для начального (соответствующего рис. 3.9) и конечного (соответствующего максимальному удалению частиц) моментов времени в системе центра масс, используя принцип суперпозиции движений:0 − (m1 (υ1 − υцм ) + m2 (υ 2 − υцм ) ) = 0 ,(3.96)где υ1 , υ 2 и υцм – проекции скоростей шариков и их центра масс наось X.Закон сохранения механической энергии (3.40) для рассматриваемой системы и выбранного интервала времени имеет вид:Глава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии105ΔE k + ΔE p = 0 ,(3.97)где⎛ m (υ − υ ) 2 m (υ − υ ) 2 ⎞ΔE k = 0 − ⎜ 1 1 цм + 2 2 цм ⎟ ,(3.98)⎜⎟22⎝⎠а изменение потенциальной энергии запишем с учетом выражениядля работы парных центральных сил (см. п. 3.1) гравитационноговзаимодействия равноΔE p =l max∫Gl0⎛11 ⎞m1m2⎟⎟ .d l = Gm1m2 ⎜⎜ −2l⎝ l0 lmax ⎠(3.99)III. Решая записанную систему уравнений (3.96) – (3.99), находим искомое расстояние между телами lmax в момент их максимального удаления:l0.(3.100)lmax =2l0 (υ1 + υ 2 )1− ⋅G 2(m1 + m2 )Поскольку наибольшее расстояние между шариками в процессе их движения lmax > 0, то полученное выражение (3.100) имеетсмысл при2(m1 + m2 )l0 < G.(3.101)(υ1 + υ2 )2Иначе шарики разлетятся на бесконечно большое расстояние.Задача 3.8Две одинаковые гантели скользят погладкой горизонтальной поверхности навстречу друг другу со скоростями υ1 и υ2 так,как изображено на рис.
3.10. Расстояние между шариками каждой гантели – l. Как будутдвигаться гантели после абсолютно упругогосоударения?υ2DCABυ1Рис. 3.10РешениеI. Будем считать шарики A, B, C и D рассматриваемых гантелей (см. рис. 3.10) материальными точками, а стержни, соединяющие эти шарики, невесомыми и нерастяжимыми. Задачу решаем вМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ106двух системах отсчета: лабораторной системе, ось X декартовойсистемы координат которой направим так, как показано нарис.
3.11, и системе, связанной с центром масс системы тел, состоящей из двух гантелей. Направление оси X' системы центрамасс, изображенной на рис. 3.12, совпадает с направлением оси X.По условию задачи гантели движутся по гладкой горизонтальной поверхности, следовательно, центр масс системы тел, состоящей из двух гантелей, движется с постоянной скоростью, исистема отсчета, связанная с центром масс, является инерциальной.υ2DuCAυ1CXABBРис. 3.11DX'uРис. 3.12Поскольку рассматриваемая система тел замкнута, а соударение абсолютно упругое, то выполняются законы сохранения механической энергии и импульса для этой системы в любой из выбранных систем отсчета.II.
В лабораторной системе отсчета гантели движутся поступательно со скоростями υ1 и υ2, следовательно, скорость центрамасс (см. Главу 3) равнаυ −υυцм = 1 2 ,(3.102)2а скорости шариков uA , uB , uC и uD в системе центра масс определяются выражениями:υ +υuA, B = υ1 − υцм = 1 2 = u ,(3.103)2υ +υuC, D = −υ 2 − υцм = − 1 2 = −u .(3.104)2Как видим, в системе центра масс гантели сближаются с равнымипо величине скоростями (см. рис.
3.12).Силы, действующие на шарики A и C со стороны стержней втечение малого времени соударения, не изменяют их импульс иГлава 3. Законы изменения импульса и механической энергии107кинетическую энергию на этом интервале времени. Запишем законы сохранения импульса и механической энергии для шариков A иC на интервале времени ("до соударения", "сразу после соударения") в системе центра масс:muA + muC = mu A′ + muC′ ,(3.105)muA2 muC2 muA′2 muC′2+=+,(3.106)2222где uA′ и uC′ – скорости шариков A и C сразу после соударения, m –масса каждого из шариков.На указанном интервале времени скорости шариков B и D неизменяются и равны скоростям первоначального поступательногодвижения гантелей:uB′ = u , uD′ = −u .(3.107)III. Решим систему уравнений (3.103) – (3.106) относительноскоростей шариков A и C после соударения:uA′ = −u , uC′ = u .(3.108)На рис. 3.13 и рис.
3.14 изображены скорости шариков в системе центра масс до соударения и сразу после него в соответствиис (3.103), (3.104), (3.107) и (3.108).uuABDCuuРис. 3.13uuX'DCuABX'uРис. 3.14Как видим, после соударения шарики A и C изменяют своискорости на противоположные, в результате гантели начинаютвращаться вокруг собственных центров масс, причем угловые скорости вращения гантелей совпадают. Через время половины оборота произойдет второе соударение гантелей (см.
рис. 3.15).МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ108CuuDACuuBuBuDX'uuAРис. 3.15X'Рис. 3.16Скорости uD′′ и uB′′ , приобретаемые шариками D и B послевторого соударения гантелей, определяются уравнениями, аналогичными (3.105), (3.106), и становятся равными:uD′′ = −u , uB′′ = u .(3.109)Скорости шариков A и C не изменяются в результате второгосоударения и равны скоростям первоначального поступательногодвижения гантелей (см. рис.
3.16):uA′′ = u , uC′′ = −u .(3.110)Как видим, скорости шариков каждой гантели становятсяравными после второго соударения, следовательно, гантели начинают двигаться поступательно, сохраняя направление и величинускорости первоначального движения. Рис. 3.17 иллюстрирует последнее утверждение в системе отсчета, связанной с центром масссистемы.CuCυ2BCυ2BBDX'DuAAРис. 3.17Xυ1Рис. 3.18DAυ1Рис.
3.19В лабораторной системе отсчета скорости гантелей υ1′′ и υ 2′′после второго соударения равны:υ1′′ = u + υцм = υ1 ,(3.111)υ 2′′ = −u + υцм = −υ 2 .(3.112)Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии109Итак, две одинаковые гантели, скользящие по гладкой горизонтальной поверхности навстречу друг другу со скоростями υ1 иυ2 испытывают абсолютно упругое соударение, в результате которого каждая начинает вращаться вокруг собственного центра масс,причем угловые скорости вращения гантелей одинаковы и по величине, и по направлению. Через время, равное времени половиныоборота гантелей, происходит второе соударение, после котороговосстанавливается первоначальное поступательное движение гантелей со скоростями υ1 и υ2 (рис.
3.18 и 3.19).Задача 3.9(Абсолютно упругое столкновение)Частица массой m1 и импульсом p1 налетает на вторую покоящуюся частицу массой m2 и испытывает с ней абсолютно упругое столкновение. Найти импульсы p1′ и p′2 этих частиц послестолкновения, в результате которого вторая частица отлетает подуглом ϑ к первоначальному направлению движения налетающейчастицы.РешениеВыберем направление оси X лабораторной системы отсчета,совпадающим с направлением импульса налетающей частицы (см.рис. 3.20).p2′p1ϑβXp1′YРис. 3.20Поскольку система рассматриваемых частиц является изолированной, и нет внутренних диссипативных сил, воспользуемсязаконами сохранения импульса (3.12) и механической энергии(3.40).МЕХАНИКА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
